Краткие сведения о среде Scilab

Оформление отчета

Содержание отчёта представлено в приложении. Оформляйте отчет по мере выполнения лабораторной работы. Отчет обязательно должен содержать:

- номер варианта;

- краткое описание исследуемых звеньев;

- результаты выполнения всех пунктов инструкции, которые выделены серым фоном (см. ниже): результаты вычислений, графики, ответы на вопросы.

При составлении отчета рекомендуется копировать необходимую информацию через буфер обмена из рабочего окна среды Scilab. Для этих данных используйте шрифт Courier New, в котором ширина всех символов одинакова.

Все формулы, передаточные функции и матрицы, набираются в редакторе формул текстового процессора.

Передаточные функции в отчёте должны быть записаны в стандартной форме – по убывающим степеням переменной (начиная со старшей степени).

Все числовые значения округляются до трёх знаков в дробной части (например, вместо 0,123987678 пишем 0,124). Если значение меньше 1, нужно оставить 3 значащие цифры, например, 0,000123.

 

Краткие сведения о среде Scilab

Scilab — пакет прикладных математических программ, предоставляющий открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчётов. Это самая полная общедоступная альтернатива MATLAB.

Scilab содержит сотни математических функций, и есть возможность добавления новых, написанных на различных языках (C, C++, Fortran и т. д.). Также имеются разнообразные структуры данных (списки, полиномы, рациональные функции, линейные системы), интерпретатор и язык высокого уровня.

Scilab был спроектирован как открытая система, и пользователи могут добавлять в него свои типы данных и операции путём перегрузки.

Свободно распространяемую версию пакета вместе с полной документацией на английском языке можно получить на сайте программы www.scilab.org.

Основные теоретические сведения

Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определённым дифференциальным уравнением. Под типовым динамическим звеном понимают звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Звенья подразделяются на позиционные, интегрирующие и дифференцирующие.

Позиционными называют звенья, у которых передаточная функция отвечает условию

                   ,

то есть передаточная функция при  равна константе, которая не равна нулю и плюс/минус бесконечности.

Типы позиционных звеньев

1) безынерционное звено (усилительное звено)

          ;

2 ) инерционное (апериодическое) звено первого порядка

              ;

3) консервативное, колебательное, инерционное (апериодическое) звенья второго порядка

  ,

где  – параметр затухания,

 – постоянная времени,

 – коэффициент передачи.

При  звено называется консервативным, при  – колебательным, при  – инерционным второго порядка;

4) форсирующее звено

   

Интегрирующие звенья:

1) идеальное интегрирующее звено

    ;

2) интегрирующее звено с замедлением

            ;

 

3) изодромное звено (ПИ-регулятор)

               ,

             .

Дифференцирующие звенья

1 ) идеальное дифференцирующее звено

                    ;

2) реальное дифференцирующее звено (звено с замедлением)

              .

 

При исследовании САУ одним из наиболее распространенных способов является подача на ее вход возмущающего воздействия определенной формы. Зная реакцию системы на возмущающий сигнал той или иной формы, можно рассчитать все необходимые качественные показатели САУ, т.е. определить ее поведение в самых различных условиях.

Типовыми возмущающими воздействиями являются:

а) единичная ступенчатая функция

,

 

где

 

 

Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию  выходная величина будет равна

Умножение какой-либо функции времени x (t) на единичную ступенчатую функцию 1(t) означает, что функция времени x (t) будет существовать только при  при t <0 она обращается в нуль.

б) единичная импульсная функция (функция Дирака, дельта-функция)

 

 ;

 

Дельта-функция равна нулю повсюду, кроме точки t =0, где она стремится к бесконечности.

,   .

 

Основное свойство дельта - функции заключается в том, что т.е. она имеет единичную площадь.

В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная функция x ₁= G d (t), на выходе звена получим x ₂= Gw (t).

 

в) гармоническое возмущение

.

Для определения динамических характеристик исследуемого звена или АСР на вход подается одно из перечисленных воздействий.

При подаче на вход гармонического возмущающего воздействия после окончания переходного процесса выходная величина также изменяется по гармоническому закону, но с другими амплитудой и фазой. Это свойство позволяет определить частотные характеристики звена или АСР.

Временными характеристиками САУ являются переходная и весовая функции.

Импульсная характеристика

Импульсной характеристикой (весовой функцией)  называется реакция системы на единичный бесконечный импульс (дельта-функцию или функцию Дирака) при нулевых начальных условиях. Дельта-функция определяется равенствами

,   .

Это обобщенная функция – математический объект, представляющий собой идеальный сигнал, никакое реальное устройство не способно его воспроизвести. Дельта-функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса единичной площади с центром в точке  при стремлении ширины импульса к нулю.

Второе название – весовая функция – связано с тем, что для произвольного входного сигнала  выход системы  вычисляется как свертка

.

Здесь функция  как бы «взвешивает» входной сигнал в подынтегральном выражении.

Импульсная характеристика отражает лишь вход-выходные соотношения при нулевых начальных условиях, то есть, не может полностью описывать динамику системы.

Понятие импульсной характеристики используется главным образом для систем, передаточные функции которых строго правильные.

Передаточная функция W (λ) называется правильной, если степень ее числителя не больше, чем степень знаменателя; строго правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя. Например, функция – строго правильная и одновременно правильная; – правильная, но не строго правильная (иногда такие функции называют биправильными), а – неправильная.

Если передаточная функция правильная, но не строго правильная коэффициент прямой передачи с входа на выход не равен нулю, поэтому бесконечный импульс на входе в момент  передается на выход. Такую (бесконечную по величине) импульсную характеристику невозможно построить. Система Scilab в этом случае просто добавляет значение D к импульсной характеристике строго правильной части (для которой ), то есть «поднимает» импульсную характеристику на величину D. Это один из тех случаев, когда компьютер выдает качественно неверный результат.

Если система не содержит интеграторов, импульсная характеристика стремится к нулю. Это следует из теоремы о предельном значении:

,

где  – передаточная функция системы, которая является преобразованием Лапласа для .

Импульсная характеристика системы с одним интегратором стремится к постоянной величине, равной статическому коэффициенту передачи системы без интегратора. Для системы с двумя интеграторами импульсная характеристика асимптотически стремится к прямой, с тремя интеграторами – к параболе и т.д.

 

Переходная характеристика

Переходной характеристикой (переходной функцией)  называется реакция системы (при нулевых начальных условиях) на единичный ступенчатый сигнал (единичный скачок)

 

.

Импульсная и переходная функции связаны выражениями

, .

Для систем без интеграторов переходная характеристика стремится к постоянному значению. Переходная характеристика системы с дифференцирующим звеном (числитель передаточной функции имеет нуль в точке ) стремится к нулю. Если система содержит интегрирующие звенья, переходная характеристика асимптотически стремится к прямой, параболе и т.д., в зависимости от количества интеграторов.

По определению предельное значение переходной функции  при  есть статический коэффициент усиления:

.

Эта величина имеет смысл только для устойчивых систем, поскольку при неустойчивости переходный процесс не сходится к конечному значению.

Если передаточная функция правильная, но не строго правильная, скачкообразное изменение входного сигнала мгновенно приводит к скачкообразному изменению выхода. Величина этого скачка равна отношению коэффициентов при старших степенях числителя и знаменателя передаточной функции (или матрице  модели в пространстве состояний).

По переходной характеристике можно найти важнейшие показатели качества системы – перерегулирование (overshoot) и время переходного процесса (settling time).

Перерегулирование определяется как

,

где  – максимальное значение функции , а  – установившееся значение выхода.

Если установившееся значение отрицательное, при вычислении перерегулирования нужно выполнить «зеркальное отражение» сигналов – поменять знаки у  и . В формуле вместо максимального значения нужно взять минимальное:

.

Время переходного процесса – это время, после которого сигнал выхода отличается от установившегося значения не более, чем на заданную малую величину (обычно 2% или 5% от установившегося значения).

 Частотные динамические характеристики

При описании частотных характеристик широко используются комплексные переменные. Необходимые сведения о комплексных переменных приведены в приложении А.

Частотные характеристики описывают реакцию на выходе звена в установившемся режиме при подаче на вход звена синусоидального сигнала.

Будем рассматривать следующие частотные характеристики:

- амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

- амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

- фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

- логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ),

- логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ).

Частотные характеристики получаются из передаточных функций. АФЧХ получается заменой в передаточной функции оператора  на , где  – мнимая единица,  – частота.

Если передаточная функция – , то АФЧХ обозначается . Пример.

                     ,                      (1)

                  .                   (2)

Выражение (2) можно представить без мнимости в знаменателе двумя способами:

1) числитель и знаменатель умножить на функцию, комплексно сопряжённую знаменателю;

2) представить выражение (2) в показательной форме. Для этого надо модуль числителя разделить на модуль знаменателя, а из аргумента числителя вычесть аргумент знаменателя. Для первого и второго случаев будем иметь

,

где  – действительная часть,

 – мнимая часть,

 – модуль,

 – аргумент.

Взаимосвязь между перечисленными переменными представлена на рисунке 2.

 

 

Рисунок 2. Взаимосвязь составляющих АФЧХ

 

    

 

     

В ТАУ  называется АЧХ,  – ФЧХ.

    

АЧХ показывает, как изменяется амплитуда сигнала на каждой частоте при его прохождении через звено. АЧХ равна зависимости от частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала.

 

 

Рисунок 3. Пример графика АЧХ

 

Косвенной характеристикой уровня колебательности системы служит показатель колебательности

M = ,

 

представляющего собой отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики системы в замкнутом состоянии к значению этой характеристики при ω = 0.

Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 4.

Рисунок 4. График модуля АЧХ замкнутой системы

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. в этом случае величина перерегулирования обеспечивается в районе от 20% до 40%. При увеличении значения M колебательность в системе возрастает.

ФЧХ – зависимость от частоты сдвига по фазе выходного сигнала по отношению к входному сигналу.

 

 

 

Рисунок 5. Пример графика ФЧХ

 

Рассмотрим экспериментальное определение АЧХ и ФЧХ.

Пусть  – входной и выходной сигналы звена (рис. 6). В соответствии с принятыми обозначениями и определениями

   .

 

 

Рисунок 6. Модель звена САУ

 

Для различных значений частоты  строятся графики АЧХ и ФЧХ по зависимостям. Чтобы определить по графику фазовый сдвиг φ, нужно найти расстояние Δ t по оси времени между соответствующими точками синусоид (например, точками пересечения с осью t или вершинами). Если Δ t умножить на частоту ω, получаем сдвиг фазы φ (в радианах).

               .                 (6)

 

 

Рисунок 7. Примеры графиков АЧХ и ФЧХ

 

По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

1) фильтр низких частот – пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковым коэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

2) фильтр высоких частот – пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналы низкой частоты;

3) полосовой фильтр – пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω ₁ до ω₂;

4) полосовой режекторный фильтр – блокирует только сигналы с частотами в полосе от ω₁ до ω₂, остальные пропускает.

 

Задание 1.

Теоретически исследовать усилительное звено и инерционное (апериодическое) звено первого порядка

Усилительное звено задано уравнением

Необходимо построить:

- передаточную функцию,

- переходную характеристику и график,

- импульсную характеристику,

- амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) и ее график,

- амплитудная частотная характеристика (АЧХ) и ее график,

- фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и ее график,

Инерционное (апериодическое) звено первого порядка задано уравнением

Необходимо построить:

- передаточную функцию,

- переходную характеристику и график,

- импульсную характеристику,

- амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),

- амплитудная частотная характеристика (АЧХ),

- фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

 

Таблица коэффициентов

Вариант
	0.110	3.3000	3.4760	1.3100
	0.499	2.8280	2.9492	1.2120
	0.096	2.3957	2.2486	0.9182
	0.100	2.2228	2.0466	0.9181
	0.254	1.8506	1.5440	0.7008
	-0.238	1.6833	1.3647	0.7031
	-0.222	1.3408	0.9058	0.4617
	0.206	1.1975	0.7749	0.4637
	0.436	1.2100	0.7720	0.3592
	-0.395	1.3366	0.8798	0.3591
	-0.356	1.2120	0.7480	0.2761
	0.318	1.3382	0.8363	0.2761
	0.622	1.3089	0.7762	0.2097
	-0.574	1.4377	0.8485	0.2096
	-0.477	1.3972	0.7606	0.1568
	0.505	1.5150	0.8166	0.1558
	-0.772	1.2543	0.6200	0.1119
	-0.808	1.1481	0.5774	0.1119
	-0.832	0.8080	0.3737	0.0505
	0.879	0.7070	0.3535	0.0505

 

 

Описание системы

Исследуется система, описываемая математической моделью в виде передаточной функции

Результаты исследования

· коэффициент усиления звена в установившемся режиме

k =...

· переменная %pi обозначает

 

 

· Импульсная характеристика системы:

· Переходный процесс системы:   

 

· амплитудная частотная характеристика замкнутой системы

 

· показатель колебательности системы

 

Описание системы

Исследуется система, описываемая математической моделью в виде передаточной функции

Результаты исследования

· Импульсная характеристика системы:

· Переходный процесс системы   

· амплитудная частотная характеристика замкнутой системы

 

Контрольные вопросы к защите

1. Что такое

• передаточная функция
• импульсная характеристика (весовая функция)
• переходная функция
• частотная характеристика
• коэффициент усиления в статическом режиме
• полоса пропускания системы
• время переходного процесса

2. Как получить краткую справку по какой-либо команде Scilab?

3. Как найти

• коэффициент усиления в установившемся режиме по АЧХ
• полосу пропускания системы по АЧХ

4. Как скопировать график из окна Scilab в другую программу?

5. Как построить массив из 200 значений в интервале от  до  с равномерным распределением на логарифмической шкале?

6. Какие величины откладываются по осям на графике АЧХ?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Формы представления комплексных функций

Формы представления комплексных функций п риведены ниже:

– алгебраическая форма

(мнимая единица);

– тригонометрическая форма

   модуль комплексного числа,

            аргумент комплексного числа,

тригонометрическая форма;

– показательная форма

Складывать комплексные переменные лучше в алгебраической форме, а умножать и делить в показательной. Причём модуль произведения (частного) двух функций равен произведению (частному) модулей, а аргумент равен сумме (разности) аргументов сомножителей.

 

 

Приложение Б. Сохранение и запись данных в среде Scilab

С помощью команды save или с помощью меню File-Save данные в файл записываются в бинарном формате. По-видимому, следует давать этому файлу и соответствующее расширение.

 Синтаксис

 save(filename [,x1,x2,...,xn]) save(fd [,x1,x2,...,xn])

Параметры:

filename: имя файла, включающее пути к нему(тип character string);

 fd: файловый дескриптор для последующего вызова командой mopen;

xi: имена записываемых Scilab переменных;

 save(filename) без указания переменных запишет в файл все текущие переменные.

 save(fd) запишет все текущие переменные в файл, определенный дескриптором fd.

save(filename,x,y) или save(fd,x,y) запишет только поименованные переменные x и y.

Загрузка переменных из образованного с помощью команды save файла на магнитном диске в пакет Scilab осуществляется командой load.

Синтаксис:

load(filename [,x1,...,xn]) load(fd [,x1,...,xn])

Параметры:

filename строка, содержащая путь к файлу;

fd: файловый дескриптор, связанный с открытием файла;

xi: имена Scilab-переменных, заданные в виде строк.

load(filename,'x','y') или load(fd,'x','y') загружает только переменные x,y.

[1] Черным цветом обозначается ввод пользователя, синим – ответ среды Scilab.

[2] Все коэффициенты надо взять из таблицы в конце файла.

[3] Точка с запятой в конце команды подавляет вывод на экран результата выполнения. Это удобно при работе с большими массивами.

[4] Точка с запятой в конце команды подавляет вывод на экран результата выполнения. Это удобно при работе с большими массивами.

Оформление отчета

Содержание отчёта представлено в приложении. Оформляйте отчет по мере выполнения лабораторной работы. Отчет обязательно должен содержать:

- номер варианта;

- краткое описание исследуемых звеньев;

- результаты выполнения всех пунктов инструкции, которые выделены серым фоном (см. ниже): результаты вычислений, графики, ответы на вопросы.

При составлении отчета рекомендуется копировать необходимую информацию через буфер обмена из рабочего окна среды Scilab. Для этих данных используйте шрифт Courier New, в котором ширина всех символов одинакова.

Все формулы, передаточные функции и матрицы, набираются в редакторе формул текстового процессора.

Передаточные функции в отчёте должны быть записаны в стандартной форме – по убывающим степеням переменной (начиная со старшей степени).

Все числовые значения округляются до трёх знаков в дробной части (например, вместо 0,123987678 пишем 0,124). Если значение меньше 1, нужно оставить 3 значащие цифры, например, 0,000123.

 

Краткие сведения о среде Scilab

Scilab — пакет прикладных математических программ, предоставляющий открытое окружение для инженерных (технических) и научных расчётов. Это самая полная общедоступная альтернатива MATLAB.

Scilab содержит сотни математических функций, и есть возможность добавления новых, написанных на различных языках (C, C++, Fortran и т. д.). Также имеются разнообразные структуры данных (списки, полиномы, рациональные функции, линейные системы), интерпретатор и язык высокого уровня.

Scilab был спроектирован как открытая система, и пользователи могут добавлять в него свои типы данных и операции путём перегрузки.

Свободно распространяемую версию пакета вместе с полной документацией на английском языке можно получить на сайте программы www.scilab.org.