Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция f (x) непрерывна и положительна на [ a; b ]. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD, интегральная сумма

дает сумму площадей прямоугольников с основаниями                                 . Ее можно принять за приближенное значение площади криволинейной трапеции ABCD, т.е.

Данное равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при

В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

1.4. Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель выносим за знак интеграла, т.е. если c – некоторое число, то

Доказательство:

2. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых

Доказательство:

 

3. Для любых трех чисел a, b, c справедливо следующее равенство

если все эти интегралы существуют.

 составим интегральную сумму так, чтобы точка с была точкой деления, тогда:

 

Переходя к пределу при  получили доказательство.

Если a<b<c, то, по только что доказанному получим:

Или

 

4. Если на [ a; b ] (a < b) f (x)≤ g (x), то

Следствия:

1. Если a < b и

2. Если a<b

3. Теорема об оценке определенного интеграла

Если m и M – наименьшее и наибольшее значения   функции f (x) на [ a; b ], a < b, то

Доказательство:

т.к. , то по 4 свойству

отсюда мы знаем, что

Следовательно:

4. Теорема о среднем

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то на этом отрезке найдется такая точка

Доказательство:

Пусть a<b, m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на [a;b].  По свойству 5 получаем:

Тогда

Так как функция f (x) Непрерывна на [a;b], она принимает на нем все промежуточные значения между m и M, то есть существует . Тогда:

Глава 2. Вычисление определенного интеграла

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом

(теорема Барроу)

Теорема.

Если функция f(x) непрерывна на [a;b], то интеграл с переменным верхним пределом

имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

Доказательство. 

Пусть  - приращение аргумента x. тогда по свойству 3 определенного интеграла

 

 

 

По теореме о среднем (свойство 6) , при чем

При  и по непрерывности функции

Таким образом,

Замечание.

Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом  является первообразной для подынтегральной функции f(x) на отрезке [a;b]:

То есть, установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.

Формула Ньютона-Лейбница

В предыдущем пункте показано, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a;b], имеет первообразную. В качестве первообразной можно взять следующую функцию

то есть интеграл с переменным верхним пределом.

Теперь поставим обратную задачу, то есть зная одну из первообразных Ф(х) функции f (x) на [ a; b ], вычислить определенный интеграл от f(x) на этом отрезке или найти определенный интеграл по известному неопределенному.

Следующая теорема показывает основную формулу интегрального исчисления, то есть формулу Ньютона-Лейбница (выражает определенный интеграл, через неопределенный).

Теорема.

Если F (x) является первообразной непрерывной функции f (x), то справедлива формула:

Доказательство.

По теореме Барроу  - первообразная функции f (x), поэтому F (x) и    отличаются на константу C, то есть

Пусть x = a, тогда

Но приняв в этом равенстве x = b, получается формула Ньютона – Лейбница:

Символ  называется двойной подстановкой в функцию F(x) в пределах от a до b, таким образом формулу:

Можно записать в виде:

 

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Замена переменных

Теорема.

Рассмотрим

 где f (x) непрерывна на [a,b]. Введем новую функцию , заданную на  и удовлетворяющую следующим условиям:

1.  непрерывны на ;

2. может быть определена сложная функция ;

3. .

Тогда:

Доказательство.

Для проверки можно заметить, что если F(x) является первообразной для f(x), то очевидно  - первообразная для подынтегральной функции в правой части полученной формулы, значит:

Пример 1.

Сделаем замену . Найдем

 и вычислим новые пределы интегрирования  Тогда:

Пример 2.

Сделаем замену . Вычислим новые пределы интегрирования  Тогда:

Интегрирование по частям

Теорема.

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на отрезке [a;b], то справедлива следующая формула:

Или в компактной форме можно записать:

 

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Доказательство.

Применим формулу Ньютона – Лейбница и формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле:

Теорема доказана.

Пример 1.Вычислить:

Решение: пусть , тогда . По формуле интегрирования по частям:

Пример 2. Найти:

Решение: , тогда , и по формуле интегрирования по частям: