Основные законы алгебры логики

Закон	Для ИЛИ	Для И
Переместительный	x\/y=y\/x	x▪y=y▪x
Сочетательный	x\/(y\/z)=(x\/y)\/z	x▪(y▪z)=(x▪y)▪z
Распределительный	x▪(y\/z)=x▪y\/x▪z	x\/(y▪z)=(x\/y)▪(x\/z)
Правила де Моргана	(x\/y)=x ▪y	(x▪y)= x\/y
Идемпотенции	x\/x=x	x▪x=x
Поглощения	x\/(x▪y)=x	x▪(x\/y)
Склеивания	(x▪y)\/(x▪y)=y	(x\/y)▪(x\/y)=y
Операции переменной с инверсией	x\/x=1	x▪x=0
Операция с константами	x\/0=x, x\/1=1	x▪0=0, x▪1=x
Двойного отрицания	x=x

 

ДНФ. Построение совершенной дизъюнктивно нормальной формы по таблице истинности (СДНФ).

А	B	С	F(A,B,C)=	A&B&C V A&B&C V A&B&C - СДНФ
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1	A&B&C V
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1	A&B&C V
1	1	1	1	A&B&C

Проведем преобразования СДНФ данной функции F(A,B,C).

A&B&C V A&B&C V A&B&C = A& B&C V A& B&C V A&B &C V A&B &C = (AVA)& B&C V A&B &(C V C) = 1&B&C V A&B&1 = B &C V A& B = B &(C V A)

F(A,B,C)= B&(C V A)

Примеры: запись логических выражений на языке ПАСКАЛЬ

А&В   —® А and В

ù А V B —® not А or В

A Å B —® A xor B

Условия могут комбинироваться. 1<a<3 выполняется, когда а >1 и а <3.

Упражнения.

1. Трех аргументные функции F(a,b,c) заданы в виде таблиицы исстинности.

a	b	c	F1	F2	F3	Написать формулу, нарисовать контактную схему и Эйлеровы множества для этих функций.
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	0
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

 

2. Написать таблицу истинности и контактную схему для заштрихованной области, ДНФ–формулу, минимизировать и нарисовать контактную схему.

а) б) в) г) д)

3. Написать логическую формулу, принимающую значение true для точек, принадлежащих заштрихованной области и false для точек, не принадлежащих заштрихованной области.

4. Написать логическую формулу, принимающую значение true для точек, принадлежащих заштрихованной области, и значение false для точек, не принадлежащих заштрихованной области.

а)

б)

 

в)                          г)                      д)

5. Записать следующие логические выражения на языке ПАСКАЛЬ и построить их таблицы истинности:

А) ùA & B          Б)A & ùB

В) ùA V ùB         Г)A V ùB

Д) ù (A & B)       Е) ù (ùA & ùB)

Ж) (A & B) V (ùA & ùB) З) ù (A & B) V C & ù B

И) ù (A & B) V ù C & ù B К) (ù A & B) V (A & ù B)

Л) В Å B Å B    М) A Å B Å B

Н) A ® B ® B  О) ùA ® (ùB & C V (A ® B))

П) ù(A ® ùB) & C V (A ® B) Р) ù(A ® ù(B & C) V (A ® B)

6. Какие из приведенных записей ошибочны и почему

а) NOT A; б) NOT_ABC; в) NOT NOT B; г) C NOT V;

д) A NOT OR B;  е) NOT A XOR B; ж) A XOR B ANDC.

7. По заданным булевским выражениям на языке ПАСКАЛЬ написать соответствующие выражения математической логики:

А) not not A and (B xor C)       Б) A or true and ùB

В) not A and not B or A and B Г) not (A or not (B or not C))

8. Чему равно значение выражения

А) (A<B) AND (C<=D) AND not E, где A=2, B=3, C=5, D=4, E=FALSE

Б) A DIV TRUNC(B/(2*C)), если A=9, B=26, C=3

В) (X*9)-A, где X=3.2, A=8.7

Г) B OR FALSE, где B=TRUE

Д) X MOD 10 + 1, если X=11

9. С помощью эквивалентных преобразований показать, что
B V A&ùB = B V A.

10. Какие из следущих выражений равны между собой?

А) A|A; A|A|A; A|A|A|A; A|A|A|A|A; A|B; B|A.

Б) A|B|C; A|(B|C); A|A|B|B|C|C.

В) (A ® B) ® С; A ® (B ® С); A ® B; B ® A;

11. Верны ли следующие равенства?

А) (A&ùB V C)&(ùA V B) = B V A;

Б) (A V B V C)&(ùA V B) = B V A

12. Докажите эквивалентность

А) A&B V A&С = A&(B V C);

Б) (A V B)&(A V C) = A V B&C

B) (A → B)&(A → C) = A → B&C

Г) (A → B) V (A → C) = A → (B V C)

13. Написать следующие выражения на языке ПАСКАЛЬ, которые для точек с координатами (Х,Ү), находящихся в заштрихованной области,[1] принимают значение true, а за пределами этой области принимают значение false.

А)				Б)				В)
2				2				2
1				1				1
0	1	2		0	1	2		0	1	2

Г)                    Д)

4					4
3					3
2					2
1					1
0	1	2	3	4	0	1	2	3	4

 

Е)                    Ж)

4					4
3					3
2					2
1					1
0	1	2	3	4	0	1	2	3	4

14. Для каждого из заданных множеств А и В написать логическое выражение на языке ПАСКАЛЬ, принимающее для элемента Х принимает значение 1, тогда и только тогда, когда Х находится в заштрихованной области А[2], иначе принимает значение 0.

15. Написать логические выражения, принимающие значение true тогда и только тогда, когда точка (Х,Ү) находится в заштрихованной на рисунке области

16. Написать логические выражения, принимающие значение true, когда точка (Х,Ү) находится в заштрихованной на рисунке области, где окружность радиуса 1 и кривая соответствует Ү=X².

1)

2)

3)

4)

17. Записать следующие высказывания в виде логических выражений.

А) Если А верно, то В верно;

В) Если из истинности А следует истинность В, то и С истинно

18. Записать функцию из трех переменных F(x₁,x₂,x₃), которое принимает значение 1(истина) в следующих случаях:

А) Если среди значений аргументов есть значение 0(ложь);

Б) Если среди значений аргументов есть значение 1(истина);

В) Если среди значений аргументов значение 1(истина) больше;

Г) Если среди значений аргументов значение 0(ложь) больше;

Д) Если все значения аргументов 0(ложь);

Е) Если все значения аргументов 1(истина);

19. Написать логические выражения для следующих таблиц истинности.

A	B	С	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	1	0	0
0	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	1	0	1	1	0
1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1

20. Написать логические выражения двоичного сумматора на языке ПАСКАЛЬ.

C=A+B, где i-тый разряд суммы определяется следующей таблицей

Ai	Bi	Pi	Ci	Pi+1
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

21. Через таблицы истинности определить значения А и В после выполнения следующих трех операторов: A:=АÅB; B:=АÅB; A:=АÅB?

По аналогии с языками программирования Паскаль, С++ можно использовать конструкции похожие на условный оператор или использовать конструкции, используемые только в PYTHON

 

if	If-else	If-elif	If-elif-else
if <условие>: <инструкция>	if <условие>: <инструкция1> else: <инструкция2>
	if <условие1>: <инструкция1> else: if <условие2>:    <инструкция2>	if <условие1>: <инструкция1> elif <условие2>: <инструкция2>
	if <условие1>: <инструкция1> else: if <условие2>:    <инструкция2> else:    <инструкция3>		if <условие1>: <инструкция1> elif <условие2>:  <инструкция2> else:    <инструкция3>

 

Для вычисления c=max(a,b) можно применить следующие фрагменты программ:

if a>b then c:=a else c:=b; // – на языке Pascal

if (a>b) c=a; else c=b; // – на языке С ++

Данная конструкция на языке Python может быть записана следующим образом:

if a>b: c=a

else: c=b

В виде условного выражения можно записать следующим образом:

с = (a if a>b else b)

Задача 1. Во входной строке записаны три натуральных числа через пробел. Каждое из чисел не превышает 10¹⁰⁰. Нужно вывести максимальное целое число.

По аналогии с языком Паскаль было бы следующее решение[3]:

x,y,z=map(int,input().split()

if x>=y and y>=z: print(x)

elif y>=z: print(y)

else: print(z)

 

Используя условные выражения можно написать следующую программу:

x,y,z=map(int,input().split()

print(x if x>=y and y>=z else y if y>=z else z)

Используя потоковые функции, можно написать следующую программу:

print(max(map(int,input().split())))

Ввод-вывод