Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2019-05-27 | 140 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
IV. Функциональные ряды.
1. Основные сведения.
1.1) Пусть имеем функциональный ряд
(x) (1)
члены которого определены на множестве М. Пусть x0 M. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в x0, если сходится числовой ряд (x0)
Множество X всех значений x0 M, в которых ряд (1) сходится называется областью сходимости функционального ряда (1), а функция
S(x)= , x X
называется суммой функционального ряда (1).
Поскольку в каждой фиксированной точке из X ряд (1) будет числовым, то все признаки числовых рядов применимы к ряду (1).
1.2) Равномерная сходимость. Последовательность {fn(x)} называется равномерно сходящейся к функции f(x) на промежутке X, если e>0 n0(e) n>n0
справедливо e для всех x X одновременно.
Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся на промежутке X к функции S(x), если последовательность его частичных сумм сходится на X к S(x) равномерно, т.е. если
e>0 n0 (e) n>n0 e для всех x X.
Критерий Коши а) Для равномерной сходимости {fn(x)} на промежутке X необходимо и достаточно, чтобы e>0 n0 (e) n>n0, p N выполнялось неравенство
e сразу для всех x X.
б) Для равномерной сходимости функционального ряда (1) на промежутке X необходимо и достаточно, чтобы e>0 n0 (e) n>n0, p N выполнялось неравенство
e сразу для всех x X.
Признак Вейерштрасса. Если для функционального ряда (1) на промежутке X выполнены неравенства
(n=1,2,…)
и числовой ряд - сходится, то ряд (1) сходится на X равномерно и абсолютно.
Признак Дирихле. Функциональный ряд сходится равномерно на X, если
а) частичные суммы равномерно ограничены, т.е. L >0, что при всех n=1,2,… и всех x X;
б) последовательность монотонна для каждого x X и равномерно стремиться к 0 на X.
|
Признак Абеля. Функциональный ряд сходится равномерно на X, если
а) ряд сходится равномерно на X;
б) последовательность ограничена на X и монотонна при каждом x X.
1.3) Свойства равномерной сходимости.
Если последовательность непрерывных на X функций сходится равномерно на X, то предельная функция непрерывна на X.
Если все члены функционального ряда непрерывны на X, и ряд сходится равномерно на X, то сумма ряда непрерывна на X.
Если последовательность {fn(x)} непрерывных функции на X сходится равномерно на X к f(x), то
, .
Если все члены функционального ряда непрерывны на X, и ряд сходится к S(x) равномерно на X, то
= , ,
причем последний ряд сходится равномерно на X.
Если последовательность {fn(x)} непрерывно дифференцируемых функций сходится на X к f(x), а последовательность {fn¢ (x)} сходится равномерно на X, то f(x) дифференцируема на X, причем f ¢(x)= fn¢ (x).
Если функциональный ряд , члены которого непрерывно дифференцируемы на X, сходится на X к S(x), а ряд из производных ¢(x) сходится на X равномерно, то S(x) дифференцируема на X, причем
S¢(x)= ¢(x) или ¢= ¢(x).
1.4) Степенные ряды. Ряд вида
(2)
называется степенным рядом. Он является частным случаем функционального ряда, поэтому все теоремы и свойства, справедливые для функциональных рядов, справедливы и для степенного ряда.
Для каждого степенного ряда (2) существует интервал сходимости , где R≥0 – радиус сходимости, который в случае может быть вычислен по формулам R= , R= если эти пределы существуют (конечные или бесконечные). Для выяснения поведения степенного ряда на концах интервала сходимости надо исследовать числовые ряды, получаемые из (2) при подстановке x=x0 + R.
Сумма степенного ряда в интервале сходимости является непрерывной функцией.
Теорема Абеля. Если степенной ряд (2) сходится в точке x=x0+R (правый конец), то его сумма S(x) есть непрерывная слева функция в этой точке, т.е.
|
S(x0+R)= = .
Аналогично для левого конца, т.е. для x=x0-R.
Внутри интервала сходимости степенной ряд (2) можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е.
¢ = ,
,
причем радиус сходимости не меняется.
1.5) Ряд Тейлора. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора
(3)
на интервале (x0 –R, x0 +R) необходимо и достаточно, чтобы она на этом интервале была бесконечно дифференцируема, и остаточный член формулы Тейлора для этой функции на (x0 –R, x0 +R) стремится к нулю при n .
При x0=0 ряд Тейлора (3) имеет вид
и называется рядом Маклорена. Справедливы следующие 5 основных разложений в ряд Маклорена:
ex = = 1+x+ +…+ +…, ;
sin x = = x - + - … +(-1)n +…, ;
cos x = = 1 - + - … + (- 1)n +…, ;
ln (1+x) = = x - + - … +(-1)n-1 +…, -1< x 1;
(1+x)a = 1+ = 1+ +…+ + …,
<1
1.6) Литература
, ч. II, стр. 13-55
, т. II, стр. 73-151.
, т. II, стр. 300-304, 366-376, 422-495.
2. Примеры.
2.1) Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда , где q > 0, 0 < < .
Решение. Если x q, то , т.е. ряд расходится. Значит, для сходимости ряда необходимо, чтобы x < q.
а) Рассмотрим ряд . (*)
Так как , а ряд сходится при
q – x > 1, то при x < q – 1 ряд (*) сходится (по признаку сравнения). Значит, данный ряд при x < q – 1 сходится абсолютно.
Так как ; - расходится при q – x 1, а ряд сходится при q – x > 0 (по признаку Дирихле), то , а с ним и ряд (по признаку сравнения), расходится при 0 < q – x 1, т.е. при q – 1 x < q данный ряд абсолютно сходится не может.
б) . Для него - ограничена для и
, т. к. x<q. Значит, по признаку Дирихле ряд сходится, т.е. при q – 1 x <q данный ряд сходится условно. Итак, при x q – ряд расходится; при x<q – 1 ряд сходится абсолютно; при q – 1 x < q – ряд сходится условно.
2.2) Определить область сходимости (абсолютной и условной) ряда .
Решение. К ряду из абсолютных величин применим признак Коши
= = .
Если <1, то ряд из абсолютных величин сходится, а тогда данный ряд сходится абсолютно.
< , - < sin x < , < x ,
При оба ряда расходятся.
Рассмотрим x= . Подставив в данный ряд, получим числовые ряды
= . Но поскольку сходится, то эти ряды сходятся абсолютно.
Итак, данный ряд сходится абсолютно при , где k – любое целое и расходится при всех других x.
2.3) Исследовать на равномерную сходимость последовательность на .
|
Решение. Поскольку f(x) = существует при всех , то , . Но тогда, т.к. при , то e > 0 n0 (e) n>n0 < e сразу для всех x, т.е. по определению последовательность на сходится равномерно.
2.4) Исследовать на равномерную сходимость последовательность на .
Решение. . Тогда . Но это выражение достигает наибольшего значения при x = при любом n. Значит,
, т.е. равномерной сходимости нет.
2.5) Исследовать на равномерную сходимость ряд на промежутке .
Решение. = = , т.е. . Тогда , т.е. равномерной сходимости нет.
2.6) Исследовать на равномерную сходимость ряд на .
Решение. На справедливо , а сходится (по интегральному признаку). Тогда сходится (по теореме сравнения). Значит, по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на .
2.7) Исследовать на равномерную сходимость ряд для .
Решение. при . Значит, , но сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей числовой оси и абсолютно.
2.8) Найти область определения функции и исследовать ее на непрерывность.
Решение. а) По признаку Коши ряд сходится при и расходится при . При ряд расходится, т.к. при . Значит, область определения есть интервал (-1,1).
б) Возьмем произвольно и заключим эту точку в отрезок .
Поскольку , а - сходится, т.к. промежутку сходимости, то данный ряд на сходится равномерно. Кроме того на непрерывны при любом n. Тогда на непрерывна, а, значит, непрерывна в x0. Но тогда непрерывна в (-1,1).
2.9) Исследовать на дифференцируемость функцию .
Решение. Так как , а ряд - сходится, то данный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. область определения .
Рассмотрим ряд из производных
, для x ¹ 0.
Возьмем произвольно x0>0. Тогда можно выбрать отрезок такой, что . Значит, . А так как - сходится, то ряд из производных сходится на равномерно. Значит,
на ,
т.е. дифференцируема на , а, следовательно, в точке x0. Но тогда дифференцируема на , а значит, и на , т.к. - четная. Итак,
для x 0
Пусть теперь x0 = 0. Тогда по определению (*)
Ряд сходится равномерно при (по признаку Вейерштрасса). Тогда по свойству равномерно сходящегося ряда имеем
.
Значит, предел (*) не существует, т.е. в x0 = 0 недифференцируема, хотя
|
,
2.10) Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Воспользуемся известным разложением функции в ряд Маклорена: Для .
Но из этого разложения видно, что если данную функцию доопределим в x=0 по непрерывности, т.е. , то функция будет в x=0 бесконечно дифференцируема.
2.11) Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение. Функция определена и непрерывна . В точке функция терпит разрыв типа конечного скачка. Следовательно, существует окрестность точки x=0, где функция бесконечно дифференцируема, т.е. ряд Маклорена существует. Вопрос лишь в том, как он себя ведет: сходится или расходится и, если сходится, то к чему?
Поэтому поступим так: найдем производную . Но для нее мы можем применить известное разложение . Тогда получим для . Но степенной ряд можно интегрировать. Значит,
для .
для .
Но при ряд сходится (по теореме Лейбница), а тогда его сумма в (по теореме Абеля) непрерывна, т.е.
для .
3. Задание N XXIV.
1. Найти область сходимости ряда , где an:
1.1. 1) ; 2) ; 3) .
1.2. 1) ; 2) ; 3) .
1.3. 1) ; 2) ; 3) .
1.4. 1) ; 2) ; 3) .
1.5. 1) ; 2) ; 3) .
1.6. 1) ; 2) ; 3) .
1.7. 1) ; 2) ; 3) .
1.8. 1) ; 2) ; 3) .
1.9. 1) ; 2) ; 3) .
1.10. 1) ; 2) ; 3) .
1.11. 1) ; 2) ; 3) .
1.12. 1); 2) ; 3) .
1.13. 1) ; 2) ; 3) .
1.14. 1) ; 2) ; 3) .
1.15. 1) ; 2) ; 3) .
1.16. 1) ; 2) ; 3) .
1.17. 1) ; 2) ; 3) .
1.18. 1) ; 2) ; 3) .
1.19. 1) ; 2) ; 3) .
1.20. 1) ; 2) ; 3) .
1.21. 1) ; 2) ; 3) .
1.22. 1) ; 2) ; 3) .
1.23. 1) ; 2) ; 3) .
1.24. 1) ; 2) ; 3) .
1.25. 1) ; 2) ; 3) .
1.26. 1) ; 2) ; 3) .
1.27. 1) ; 2) ; 3) .
1.28. 1) ; 2) ; 3) .
1.29. 1) ; 2) ; 3) .
1.30. 1) ; 2) ; 3) .
1.31. 1) ; 2) ; 3) .
2. Доказать, исходя из определения, равномерную сходимость ряда на . Найти , где Rn(x) – остаток ряда. Задано a n:
2.1. | 7n – 11 | 2.11. | 7n – 10 | 2.21. | 7n – 13 |
2.2. | 5n – 6 | 2.12. | 6n – 8 | 2.22. | |
2.3. | 4n – 6 | 2.13. | 2.23. | 3n – 5 | |
2.4. | 2.14. | 2n – 3 | 2.24. | ||
2.5. | 4n – 5 | 2.15. | 8n – 12 | 2.25. | 8n – 11 |
2.6. | 5n – 9 | 2.16. | 6n – 7 | 2.26. | |
2.7. | 3n – 4 | 2.17. | 5n – 8 | 2.27. | |
2.8. | 2.18. | 6n – 10 | 2.28. | ||
2.9. | 6n – 11 | 2.19. | 4n – 7 | 2.29. | 9n – 15 |
2.10. | 2.20. | 5n – 7 | 2.30. | 10n – 12 | |
2.31. |
3. Построив мажорирующий ряд, доказать равномерную сходимость ряда на данном отрезке.
n0 | Un | ||
3.1. | 0 | ||
3.2. | 1 | ||
3.3. | 1 | xn/nn | |
3.4. | 1 | ||
3.5. | 1 | xn! | |
3.6. | 1 | ||
3.7. | 0 | ||
3.8. | 0 | ||
3.9. | 1 | ||
3.10. | 1 | ||
3.11. | 1 | ||
3.12. | 1 | ||
3.13. | 1 | ||
3.14. | 2 | ||
3.15. | 1 | ||
3.16. | 1 | ||
3.17. | 1 | ||
3.18. | 0 | ||
3.19. | 1 | ||
3.20. | 1 | ||
3.21. | 1 | ||
3.22. | 1 | ||
3.23. | 1 | ||
3.24. | 0 | ||
3.25. | 0 | ||
3.26. | 0 | ||
3.27. | 0 | ||
3.28. | 1 | ||
3.29. | 0 | ||
3.30. | 1 | ||
3.31. | 1 |
4. Найти сумму ряда , где Un(x)задано:
n0 | n0 | ||||
4.1. | 1 | 4.17. | 1 | ||
4.2. | 2 | 4.18. | 1 | ||
4.3. | 1 | 4.19. | 0 | ||
4.4. | 1 | 4.20. | 2 | ||
4.5. | 0 | 4.21. | 1 | ||
4.6. | 1 | 4.22. | 1 | ||
4.7. | 2 | 4.23. | 0 | ||
4.8. | 0 | 4.24. | 1 | ||
4.9. | 1 | 4.25. | 2 | ||
4.10. | 0 | 4.26. | 2 | ||
4.11. | 0 | 4.27. | 1 | ||
4.12. | 1 | 4.28. | 1 | ||
4.13. | 1 | 4.29. | 0 | ||
4.14. | 1 | 4.30. | 2 | ||
4.15. | 1 | 4.31. | 0 | ||
4.16. | 1 |
5. Найти сумму ряда .
|
A | B | C | k | A | B | C | k | A | B | C | k | ||||
5.1 | 4 | 9 | 5 | 1 | 5.11 | 2 | -1 | 0 | 2 | 5.21 | 1 | 5 | 4 | 2 | |
5.2 | 3 | 7 | 4 | 0 | 5.12 | 1 | -1 | 1 | 0 | 5.22 | 2 | -2 | 1 | 0 | |
5.3 | 1 | 1 | 1 | 3 | 5.13 | 2 | -1 | -1 | 0 | 5.23 | 1
<
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м... Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы... Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых... Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается... © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. |