Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2018-01-30 | 145 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ
Изучение этой темы следует начать с разбора решений задач, приводящих к понятию производной. Это позволит осмыслить и понять определение производной, условия ее существования, ее геометрический и механический смыслы. Особое внимание необходимо обратить на теоремы и правила, позволяющие упростить вычисление производных. Успешное применение производной при решении задач зависит от усвоения понятий возрастания и убывания функций, наибольших и наименьших значений функции, экстремумов функции, выпуклости и вогнутости кривой.
Вопросы программы для изучения и самопроверки
1. Производная функции, ее геометрический смысл.
2. Правила дифференцирования функций.
3. Производная сложной, неявно заданной и обратной функций.
4. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
5. Дифференциал функции.
6. Производные и дифференциалы высших порядков.
7. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.
8. Условия возрастания и убывания функций. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные признаки существо- вания экстремума.
9. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции.
10. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
11. Асимптоты кривых.
Задачи 81–100. Найти производные заданных функций.
81. а) ; | б) ; |
в) . | |
82. а) ; | б) ; |
в) . | |
83. а) ; | б) ; |
в) . | |
84. а) ; | б) ; |
в) . | |
85. а) ; | б) ; |
в) . | |
86. а) ; | б) ; |
в) . | |
87. а) ; | б) ; |
в) . | |
88. а) ; | б) ; |
в) . | |
89. а) ; | б) ; |
в) . | |
90. а) ; | б) ; |
в) . | |
91. а) ; | б) ; |
в) . | |
92. а) ; | б) ; |
в) . | |
93. а) ; | б) ; |
в) . | |
94. а) ; | б) ; |
в) . | |
95. а) ; | б) ; |
в) . | |
96. а) ; | б) ; |
в) . | |
97. а) ; | б) ; |
в) . | |
98. а) ; | б) ; |
в) . | |
99. а) ; | б) ; |
в) . | |
100. а) ; | б) ; |
в) . |
Решение типовых примеров
|
При решении примеров рекомендуется использовать правила дифференцирования и таблицу производных.
Таблица производных
1. | ||
2. | ||
3. | ||
4. | ||
5. | ||
6. | ||
7. | ||
8. | ||
9. | ||
10. | ||
11. | ||
12. | ||
13. | ||
14. | ||
15. |
Правила дифференцирования
Если С – постоянная величина и функции имеют производные, то:
1. .
2. а) .
б) .
3. .
4. .
5.
6. Производная сложной функции вычисляется по формуле .
П р и м е р ы. Найти производные заданных функций:
.
;
2. .
.
3. .
.
Задача 101–120. Провести полное исследование заданных функций и построить их графики.
101. . | 102. . |
103. . | 104. . |
105. . | 106. . |
107. . | 108. . |
109. . | 110. . |
111. . | 112. . |
113. . | 114. . |
115. . | 116. . |
117. . | 118. . |
119. . | 120. . |
Решение типового примера
П р и м е р. Исследовать функцию и пост -роить ее график.
1. Область определения функции: .
2. Так как функция является многочленом, следовательно она непрерывна.
3. Исследуем на четность и нечетность
. Функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Для определения интервалов монотонности и точек экстремума находим первую производную функции
; .
. Это критические точки. Результаты исследования знака производной и выводы сведем в таблицу:
-4 | |||||
+ | – | + | |||
mах | min |
Представим в виде произведения . Определим знаки на каждом интервале: .
5. Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба найдем вторую производную функции:
;
.
Исследуем поведение знака в окрестности точки .
–1 | |||
– | + | ||
выпукла | вогнута |
Точка – точка перегиба.
6. Найдем несколько дополнительных точек графика функции
.
7. По результатам исследования строим график.
|
Рис. 1.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!