Древняя и современная математика

Нетрудно представить, что люди, создававшие сооружения таких масштабов, были и превосходными математиками, и так оно и было, впрочем, в известных пределах. Многие эксперты сходятся на том, что египтяне были хорошими математиками в пределах практических задач, которые им приходилось решать, и не отклонялись сколько-нибудь, во всяком случае не слишком часто, в сферу теории (что потом стало очень важным для древних греков). Египтяне пользовались определенной формой геометрии, знали, как получать правильные углы, и, по-видимому, придерживались тех же принципов, что и их соседи — шумеры, хотя и без известного блеска, демонстрировавшегося математиками Месопотамии.

Здесь стоит еще раз подчеркнуть фундаментальную разницу между современной математикой и математикой древних. Вариант математики, который нашел хождение на Британских островах, в Месопотамии, Индии и Египте, представлял собой то, что теперь называют «алгоритмической математикой», а тот, каким пользуемся мы, «диалектической математикой» (ее изобрели греки). Следующие данные представлены профессором Филиппом Дж. Дэвисом из университета Брауна и Рубеном Хершем из университета Нью-Мексико.

Алгоритмическая математика, которой пользовались древние цивилизации, представляла собой инструмент для решения прагматических задач. Она решает проблемы не только существования математического объекта, но и его право на существование. Такой подход позволяет математикам применяться к потребностям решения конкретных проблем.

Диалектическая математика — строго логическая наука, где формулировки либо истинные, либо ложные, и где объекты со специфическими свойствами либо существуют, либо не существуют. Это интеллектуальная игра, в которую играют по правилам, установленным всеобщим консенсусом. На протяжении XX века математики становились все более диалектичными, и многие математики-любители ошибочно считали, что это лучшая и даже единственная форма, какую можно выбрать.

НАСА никогда не смогла бы доставить человека на Луну, если бы траектории не были рассчитаны со строгой диалектической логикой, соединенной с алгоритмикой прагматики. Короче говоря, диалектическая математика требует погружения в размышления, а алгоритмическая требует непосредственного действия и результата. Мы считаем, что правильно сказать, что оба подхода имеют свои достоинства, и самые великие достижения человека нуждаются в одновременном применении и той, и другой, несмотря на то, что между ними есть известные трения. Ведущие математики, Дэвис и Херш считают, что нередко в умах пользователей возникает конфликт:

«Существует несомненный сдвиг в парадигме, который отличает алгоритмику от диалектики, и те, кто работал в одной парадигме, вполне могут чувствовать, что решения, к которым пришли на основе второй, не «полные» или не «дозволенные». Они испытывают парадигматический шок» [32].

Древние египтяне создали пирамиды, пользуясь алгоритмическим подходом, и вместе с тем стоит отметить, что они показали себя фантастическими логистиками.

Они не могли не быть ими, так как, собирая в одном месте, вероятно, десятки тысяч людей, например, на строительстве гигантской пирамиды, они должны были проводить широкомасштабное планирование. Нужно было организовать не только мастеров и рабочие бригады, но также добычу и обработку материалов для них и еще накормить и напоить такое огромное количество людей.

В чем египтяне, как кажется, не особенно преуспели, так это в создании календаря, который можно было бы считать достаточно точным применительно к текущему году. Причина тому не недостаток интеллекта у египетских жрецов-астрономов, а отсутствие необходимости в точном календаре. В Египте редко идут дожди, и регион, в котором он расположен, не особенно подвержен сезонным переменам погоды. Своим богатством Египет обязан ежегодным разливам Нила, огромной реки, которая была жизненной силой всех городов и деревень, которые составляли его цивилизацию.

Река Нил поднимается на многие сотни километров за пределы самого Египта, в области, испытывающие большие перепады в выпадении дождя. Сами египтяне почти наверняка не имели представления об этом, но замечали, что разлив Нила каждый год происходил сразу после спиралеобразного восхода звезды Сириус (перед самым восходом солнца высвечивается на недолгое время на восточном горизонте). Разлив Нила приносит с собой чрезвычайно плодородный ил, который разливается по полям на его берегах. Когда вода спадает, в нанесенный ил сажают рассаду, а потом просто собирают урожай, как только он созреет. Весь урожай собирался заблаговременно, до начала нового разлива Нила, и в конце концов сложилось общество, которое не очень заботила особая точность определения длины года.

Самое большее, чего сумели достичь египтяне в своем календаре, по крайней мере, до времен Александра Македонского, так это празднование 360-дневного года с ежегодным добавлением пяти дней в качестве дополнительных. Истинный солнечный день продолжается 365,2564 дня, поэтому египетский календарь не учитывал четверти суток. Никого это особенно не беспокоило, поскольку те, кому это было поручено, следили за восходом Сириуса и всем об этом сообщали.

Совершенно определенно, египетские ученые были сильны в расчетах площадей и объемов, практически во всех аспектах математики, которые имели для них практическое значение, хотя их методы были разработаны в самом зачатке цивилизации и оставались неизменными в течение 2000 лет. Предположительно, египтяне знали о 360-градусном круге, хотя, как представляется, никогда не понимали его значения так, как понимали шумеры, потому что с самого начала в своей истории они выбрали 24-часовые сутки, что существенно разводит измерение времени и геометрию Земли. Нам неизвестны данные, которые говорили бы о том, что египтяне знали о шумерской секунде или минуте времени или хотя бы проявляли интерес к таким вещам.

«ДНК» Великого основного принципа

Нам хотелось выяснить, не содержался ли в каком-нибудь аспекте египетской системы измерений «ДНК» Великого основного принципа, который мы выявили у людей мегалита и шумеров. Судя по наличной информации, древние египтяне не были знакомы ни с мегалитической геометрией, ни с ее линейными измерениями.

Основной мерой линейного измерения, которым пользовались всю свою историю древние египтяне, был «царский кубит» (локоть). Относительно длины этой меры нет значительных расхождений в мнениях, одни считают, что он равнялся 52,373 сантиметра, другие полагают, что он составлял 52,35 сантиметра, а профессор Ливио Стеччини настаивает на том, что он был равен 52,4 сантиметра. Л. Стеччини пришел к заключению, что длина сторон пирамиды Хуфу (известной так же, как пирамида Хеопса) была задумана в 230 560 миллиметров, и, проведя тщательные расчеты, он написал:

«Серьезные ученые сходятся во мнении, что сторона была рассчитана в 440 царских кубитов. Борхард сделал вывод, что кубит равнялся 523,55 миллиметра, но, по моему мнению, следует брать в расчет тот факт, что выдержать строгую прямую линию без телескопических инструментов невозможно. Коул, как опытный геодезист, обращает внимание именно на это. Поскольку другие измерения, вроде царской камеры, указывают на использование кубита, очень близкого к 524 миллиметрам, можно принять, что теоретическая длина одной стороны — 230 560 миллиметров.

Длина в 524 миллиметра для кубита пирамиды была подсчитана бесчисленными измерениями, которые были произведены для каждой детали» [33].

Расхождения в мнениях находятся в пределах доли миллиметра, и мы рады согласиться с в высшей степени авторитетным мнением Стеччини и считаем, что египетский царский кубит равнялся 52,4 сантиметра. Нам не потребовалось много времени, чтобы прийти к нашему первому заключению, что этот кубит не имеет какого-либо непосредственного отношения ни к шумерской, ни к мегалитической системам.

Теперь мы взялись за другую древнеегипетскую меру, тесно связанную с царским кубитом, которая называлась «ремен». Ремен имел отношение к царскому кубиту в том смысле, что если квадрат имеет сторону в один царский кубит, то диагональ с противоположных углов будет один ремен.

Это древнеегипетское отношение между двумя главными мерами длины использует геометрический принцип, который, как считается, был открыт через 1500 лет Пифагором, определившим, что «квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов». Простой пример этого принципа — классический треугольник с соотношением сторон 3, 4, 5. Если у треугольника основание 3 дюйма, 4 дюйма — высокая сторона и 5 дюймов наклонная, и мы строим квадрат на каждой из сторон, то результатом будут три квадрата по 9, 16 и 25 квадратных дюймов. Складываем первых два и получаем 25 квадратных дюймов, что равно квадрату на третьей стороне. Приписывание Пифагору этого древнего принципа — это еще один пример того, как греки, сами того не подозревая, изобрели уже изобретенное.

Сейчас признано, что этот геометрический принцип был важен также для вавилонян (возможно, и для шумеров).

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Основа этой так называемой теоремы Пифагора, в сущности, есть исследование квадратного корня из двух. Вот почему длина гипотенузы в квадрате равна сумме квадратов двух других сторон. Шумеры и вавилоняне записали свое решение как 1, 24, 51, Ю при основании 60, изобразив это своими клинописными знаками. Сегодня это соотношение было бы обозначено десятичным знаком 1,414212963.

Если царский кубит действительно равнялся 52,4 сантиметра, тогда ремен должен был равняться 74,1 сантиметра. Однако мы снова не могли найти явной связи с мегалитическими или шумерскими принципами. Но мы продолжали изучать отношение кубит-ремен. Подобно людям мегалита и шумерам, древние египтяне считали половины и двойные значения такими же действительными, как и полные величины большинства мер. От принципа использования сторон квадрата и его гипотенузы прямая дорога вела к последовательному ряду удвоений и половин. Это можно увидеть, получив несколько квадратов на основе гипотенузы.

Если самый маленький квадрат имеет стороны, равные одному царскому кубиту, второй квадрат, полученный на диагонали, будет иметь стороны в один ремен, а третий квадрат, построенный на следующей гипотенузе, будет иметь стороны в двойной царский кубит. Следующим логическим шагом было взять круг, потому что мегалитическая и шумерская системы оперировали с кругами.

Можно нарисовать бесконечное число квадратов и кругов, и они воспроизведут чередующиеся серии размеров кубитов и ременов, удваивая предшествующие величины по мере движения вовне и деля их пополам при движении вовнутрь.

 

Все это было элементарно, по выглядело очень красиво и интригующе. Перед нами была сила круга, про которую можно было сказать, что она определила две главные египетские меры. Следующий очевидный вопрос сводился к следующему: «Какова длина кругов, получавшихся в серии царский кубит-ремен?» Ответ оказался очень интересным.

Взяв квадрат со сторонами в одну четверть ремена (18,526 сантиметра), находим, что вмещающий его круг очень близок к окружности длиной в один мегалитический ярд! При 81,31 сантиметра это составляло 99,2 процента мегалитического ярда профессора Тома, который встречается на Британских островах. Следующий квадрат имеет стороны в полкубита, следующий за ним — в полремена; круг, вмещающий этот квадрат, имеет окружность длиной в два мегалитических ярда. Между квадратом со стороной полремена и окружностью вокруг него длиной в один мегалитический ярд существует некоторое расхождение, но мы должны были помнить, что качание маятника имеет обратное отношение к величине силы тяготения, которая уменьшается с приближением к экватору и укорачивает маятник с тем же периодом качания. Это значит, что любой, следующий правилу мегалитического ярда, получит на широте пирамид заметно иной результат, чем, к примеру, на Оркни. Мегалитический ярд Александра Тома был средней величиной, полученной в результате всех его измерений, произведенных на мегалитических памятниках от северной Шотландии до Бретани, и большинство были сделаны на северных памятниках. Мы пришли к выводу, что те крошечные расхождения в имеющихся данных больше, чем несоответствия, найденные в принципе царского кубита и ремена, определенных с помощью мегалитического маятника.

Длина мегалитического ярда, определенного в Египте по методу мегалитического маятника, будет равна 82,7 сантиметра. Это показывает, что метод маятника для воспроизводства меры длины был, вероятно, предназначен для применения только на Британских островах и близких территориях. На этой же южной широте тот же процесс не приводит к получению правильной геодезической меры. Однако для того, чтобы в серии ремен—кубит длина окружности круга равнялась теоретическому египетскому мегалитическому ярду, царский кубит должен был бы равняться 52,648 сантиметра, меньше чем на полпроцента расходясь с расчетом Стеччини.

Когда Питер Харвуд проверял наши выкладки с точки зрения научной точности, он был очень удивлен и даже поражен нашими результатами. Питер проделал огромную работу, указав на ряд ошибок в наших подсчетах и обратив наше внимание на моменты, мимо которых мы прошли. Читая раздел о возможном применении мегалитического ярда для определения царского кубита, он сказал, что мы, по-видимому, обозначили существенное открытие, касавшееся пирамиды Хуфу, которое мы на самом деле упустили. Он напомнил нам об опубликованной в 1859 году книге Джона Тейлора «Великая пирамида», где автор отметил, что если разделить высоту пирамиды на удвоенный размер ее основания, то в результате получится число пи. Одни полагали, что это показывает, что коэффициент, который мы сейчас называем числом пи, являлся, по всей вероятности, священным числом египтян, другие давали этому явлению более прозаическое объяснение.

Критики теории «священного пи» указывали на то, что если сделать колесо с диаметром, являющимся подразделением высоты пирамиды, и прокатить колесо вдоль сторон ее основания, замерив длину каждой из них числом оборотов колеса, то обнаружится, что высота и стороны автоматически будут находиться между собой в отношении пи, о чем строители даже не подозревали.

Питер прислал нам по электронной почте письмо, в котором писал:

«Если у вас есть колесо диаметром фут, тогда постройте пирамиду, сделав каждую из сторон основания квадрата длиной ровно одного прокручивания колеса, а высоту два диаметра колеса, и тогда у вас получится коэффициент пи, даже если вы и не знаете, что такое пи. Но, предположим, вместо фута вы возьмете колесо диаметром полкубита. У вас получится копия великой пирамиды, высотой в 1 кубит и сторонами основания в 1 мегалитический ярд! От этого у меня просто заколотился пульс. Не могу поверить, как вы могли пропустить такой шикарный результат».

Питер был абсолютно прав, мы проглядели очень существенный момент. Использование колеса с диаметром в один мегалитический ярд объяснило бы очень старую загадку. Мы проверили высоту пирамиды и обнаружили, что она равна 146,59 метра, а стороны основания пирамиды имеют длину 230,56 метра. Поскольку все имеющиеся варианты царского кубита различаются на ничтожную величину, мы решили их стандартизировать и принять, что принцип мегалитического ярда применялся в Египте в качестве точки отсчета. Таким образом, взяв мегалитический ярд величиной 82,7 сантиметра и половину царского кубита в 26,6 сантиметра, мы нашли для Великой пирамиды Хуфу следующее.

Высота - 279 царских кубитов

Сторона основания = 279 мегалитических ярдов

От угла до угла = 279 ременов

Все меры, применительно к пирамиде Хуфу, просчитываются в одних и тех же цифровых выражениях. Мы можем только предположить, что какого-то рода древняя нумерология наполнила величину 279 глубоким значением для архитекторов. Проверив данные относительно других пирамид, мы обнаружили, что все они были построены по разным стандартам, хотя две другие пирамиды в Гизе имеют периметры, которые, как кажется, были измерены в египетских мегалитических ярдах:

Пирамида Менкаура (все стороны) = 500 МЯ

Пирамида Снофру (все стороны) = 380 МЯ

Не могло ли получиться так, что египтяне создавали свои собственные меры измерений, пользуясь тем же «священным» принципом, что и первые люди, обрабатывавшие камни? Они должны были знать, что не существует иного пути для воспроизводства повторяющейся меры измерений, нежели посредством калибровки вращения Земли, используя для этого предсказуемые движения Венеры или звезд, а египтяне были заворожены небесами. Использование ими Венеры и звезд в своей иероглифике свидетельствует о том, насколько они были важными для жречества.

Жрецы бога Ра, бога Солнца, должно быть, искали дополнительных способов криптографической защиты секретов главного архитектора от простолюдинов. Не трудно себе представить, как они рассчитывали длину маятника в отношении к окружности Солнца и затем очерчивали квадрат. Здесь они должны были пользоваться известным египетским принципом «Как наверху, так и внизу», а также принципом «русской матрешки», которые были важными во многих ранних культурах, включая культуру мегалитических строителей. Это значит, что одни и те же геометрические принципы подсказывали им бесконечные ряды 1 /2 МЯ, 1 МЯ, 2 МЯ для того, чтобы определять кратные числа царских кубитов и ременов.

Мы продолжали заниматься проверкой, нет ли каких-либо других оснований считать, что египтяне пользовались принципами мегалитической измерительной системы для создания собственных мер измерений. Мы их нашли. В египетской числительной системе круг использовался как иероглиф, обозначавший четвертную долю. В ряду кругов внутри квадратов квадрат, в который вписывался круг с длиной окружности один мегалитический ярд, имел стороны длиной одна четверть ремена. Далее, у древних египтян была главная единица площади, которую называли «сетат» (позже греки называли ее «аруна»). Эту единицу чаще всего употребляли в форме ее четвертой части. Мы просто изумились, увидев, что площадь, равная сетату, равняется точно 4000 МЯ в квадрате. Шанс, что это простое совпадение, ничтожно мал.

Теперь идея о том, что между мегалитическими строителями Британских островов и древними египтянами существовало взаимодействие, уже не казалась фантастикой. Уже отмечалось другими исследователями, что внутренняя сторона круга, или Сарсенринг в Стоунхендже, Южная Англия, имела диаметр 1162,8 дюйма (2953,51 сантиметра), это означает, что ее площадь точно равна четверти египетского сетата. Могли ли египтяне взять свои меры площади от неолитических народов Британии?

Представляется, что первые египтяне испытывали сильное влияние мегалитических строителей Британских островов. О таких связях говорилось и раньше, но эту идею отвергало большинство археологов, потому что на археологических раскопках не находят артефактов, которые встречались бы в этих двух культурах. Утверждение, что древние культуры не имели между собой контактов, если не оставили материальных свидетельств об этом, нельзя считать обоснованным. Перемещение небольшого числа главных каменщиков и жрецов-магов между Британскими островами и дельтой Нила вряд ли могло оставить после себя какие-то зримые следы. Открытие этих связанных между собой принципов измерений намного более убедительное доказательство глубокого уровня влияния одного народа на другой, чем раскапывание мегалитических объектов в песках Египта.

Затерявшийся среди рабочих будней всех египетских математиков и строителей мегалитический ярд присутствовал там наверняка с самого начала цивилизации. Мегалитическое ДНК в таком значительном месте, как это, конечно же, указывает, что египетская система измерений также носила на себе следы Великого основного принципа, каково бы ни было ее происхождение.

Выводы

❖ Многие ведущие лингвисты сходятся в том, что приблизительно 15 тысяч лет назад существовал один глобальный язык. Наши исследования показывают, что многие культуры имели общий подход к измерениям и геометрии, который, по-видимому, более 5000 лет назад имел общий источник

❖ В культуре долины Инда, или Хараппской культуре Индийского субконтинента, около 2800 лет до н.э. пользовались мерой длины, называвшейся газ, который очень близок к мегалитическому ярду. Мы считали это совпадением, пока не узнали об имевших форму куба каменных гирях, которые были в ходу в этой культуре. Эти гири почти полностью соответствуют стандартной системе. Самая большая гиря весила 3 фунта, а одна из самых маленьких — всего одну сотую фунта. Это особенно заинтересовало нас, поскольку мы уже установили, что вес фунта определялся с помощью куба со сторонами в одну десятую мегалитического ярда (4 мегалитических дюйма).

❖ Испанская вара очень близка к мегалитическому ярду, так же, как и японская мера, которую называют шаку. Считается, что ее ввезли в Японию из Китая более чем 1000 лет назад и она почти не отличается от минойского фута. Отсюда следует, что 366 мегалитических ярдов почти то же, с точностью 99,8 процента, что и 1000 японских шаку.

❖ Обратившись к Древнему Египту, мы узнали, что основная мера длины, которой пользовались почти все время существования древней египетской цивилизации, называлась кубит. С ним соотносилась другая мера длины, ремен, имевший пифагорийское отношение к кубиту. Его основанием был квадратный корень из 2, что записывалось шумерами и вавилонянами как 1, 24, 51, 10 (в виде ряда, изображавшегося знаками с основой 60), а сегодня было бы записано десятичным числом 1,414212963.

❖ Мы установили, что Великая пирамида Хуфу была построена с помощью измерительного колеса, имевшего окружность величиной в один мегалитический ярд и диаметр вполовину царского кубита. Все основные размеры пирамид представляют собой комбинацию мегалитического ярда, царского кубита и ременов, имеющих одинаковое цифровое выражение 279.

❖ У древних египтян также была основная мера площади, называвшаяся сетат, которой обычно пользовались в форме одной четверти единицы. Площадь сетата равна 4000 квадратных МЯ, и поэтому четверть сетата равна 1000 квадратных МЯ. Вероятность совпадения здесь ничтожно мала. Далее, как уже отмечалось другими исследователями, внутренняя кромка круга, Сарсенринг, в Стоунхендже, Южная Англия, имеет диаметр 1162,8 дюйма, что означает, что его площадь равна точно четверти египетского сетата.

 

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

МУЗЫКА И СВЕТ

 

Мы установили, что мегалитическое «ДНК» присутствует в системах измерений на протяжении огромного периода от шумер и древних египтян до изобретенных в конце XVIII века. Первые культуры, оставившие после себя письменные свидетельства о своих цивилизациях, облегчили нам понимание их жизни и уровня знаний, которыми они обладали, но мегалитические строители не оставили после себя ничего, над чем можно было бы поломать голову, кроме своих удивительных сооружений.

Поколения исследователей считали, что каменные круги и другие доисторические памятники были построены в каких-то неизвестных языческих ритуальных целях во всех других отношениях отсталыми и темными племенами каменного века. Люди более романтического склада порой запутывали дело, примешивая сюда то немногое, что известно о кельтских народах более позднего времени, и приписывая мегалитическим памятникам всякого рода ненужные тайны и мистику. Эти романтики считают, что в умах язычников, поклонявшихся утерянному культу природы, хранилась великая мудрость. Открытие Александра Тома не оставило камня на камне от представления, будто это были простодушные, безыскусные люди, какими их рисовало большинство археологов. Нам следует питать уважение к тем забытым людям, ибо они были воистину великими астрономами и геометрами.

Уровень развития науки, которого достигли шумеры, древние египтяне и древние греки, давно оценен и описан, но представления о мегалитических строителях Британских островов можно только реконструировать, исследуя детективными методами немногочисленные оставшиеся после них артефакты. Как это ни печально, но мы никогда не узнаем, какие мифы и легенды они передавали из поколения в поколение, и мы никогда не услышим музыку, которую они играли, и песни, которые они пели.