Глава II. Дифференциальное исчисление

СОДЕРЖАНИЕ

Глава I. ФУНЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

§ 1. Множества............................................................................................................................ 2

§ 2. Понятие функции................................................................................................................ 4

§ 3. Основные характеристики функции................................................................................. 5

§ 4. Классификация функций.................................................................................................... 6

4.1. Обратная функция........................................................................................................ 6

4.2. Сложная функция......................................................................................................... 7

4.3. Основные элементарные функции и их графики..................................................... 8

§ 5. Числовые последовательности........................................................................................... 10

§ 6. Предел функции.................................................................................................................. 12

6.1. Предел функции в точке.............................................................................................. 12

6.2. Предел функции при ................................................................................... 13

6.3. Теоремы о пределах функций..................................................................................... 13

6.4. Два замечательных предела......................................................................................... 14

§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции....................................................... 16

7.1. Бесконечно большие функции и их свойства.......................................................... 16

7.2. Бесконечно малые функции и их свойства............................................................... 16

7.3. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.................... 17

7.4. Сравнение бесконечно малых функций.....................................................................18

§ 8. Вычисление пределов функций......................................................................................... 19

§ 9. Непрерывность функции.................................................................................................... 21

9.1.Односторонние пределы............................................................................................... 21

9.2. Понятие непрерывности функции............................................................................. 21

9.3. Классификация точек разрыва функции.................................................................... 22

9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке........................................................... 24

Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл................................ 25

10.1. Определение производной..................................................................................... 25

10.2.Геометрический смысл производной..................................................................... 26

10.3. Физический смысл производной........................................................................... 27

§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных

функций.............................................................................................................................. 27

11.1. Правила дифференцирования................................................................................ 27

11.2. Производные элементарных функций................................................................... 28

11.3. Логарифмическое дифференцирование................................................................30

11.4. Производные высших порядков............................................................................ 31

11.5. Производная неявной функции............................................................................. 32

11.6. Производная функции, заданной параметрически.............................................. 33

§ 12. Дифференциал функции................................................................................................... 33

§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления................................................... 33

§ 14. Правило Лопиталя............................................................................................................. 37

14.1. Теорема Лопиталя..................................................................................................... 37

14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие................................................ 38

§ 15. Исследование функций при помощи производных...................................................... 39

15.1. Признак монотонности функции. Необходимое условие

экстремума функции................................................................................................ 39

15.2. Достаточные условия экстремума......................................................................... 40

15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.......................... 41

15.4. Асимптоты графика функций................................................................................. 42

15.5. Общая схема исследования функции.................................................................... 43

15.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.................................. 45

Литература................................................................................................................................... 46

Глава I. ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ

Множества

 

1. Множеством называется совокупность, система, семейство некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество студентов университета, множество корней уравнения, множество натуральных чисел.

Обозначаются множества заглавными буквами латинского алфавита: .

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Элементы множества обозначаются соответственно строчными буквами латинского алфавита:

Например, – элемент принадлежит множеству ; –элемент не принадлежит множеству ;

Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством. Пустое множество обозначается так:

Элементы множества записываются в фигурных скобках, в которых они перечислены или в скобках может быть указано свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, – множество состоит из трех чисел 1, 8, 6; – множество состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества . Обозначается подмножество так: ( включено в ) или (множество включает в себя множество ).

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными множествами. Если и , то , следовательно, говорят, что множества и равны или совпадают.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному их этих множеств. Записывают или .

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых одновременно принадлежит множеству и множеству . Записывают или .

Разностью множеств и называется совокупность тех элементов , которые не содержатся в . Записывают .

2. Для сокращения записей используются некоторые логические символы:

- следует, т.е. из предложения следует предложение ;

- равносильно, т.е. и ;

- для любого, для всякого;

- существует, найдется;

- имеет место, такое что;

- соответствие.

Например, – для любого элемента из множества имеет место предложение ; объединение множеств и .

3. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Например:

– множество натуральных чисел;

– множество целых неотрицательных чисел;

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение .

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается дробью.

Например:

– (конечная десятичная дробь); – (бесконечная периодическая дробь).

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами. Это бесконечные непериодические дроби.

Например, , .

4. Пусть и – действительные числа, причем .

Числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

– отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

– интервал (открытый промежуток);

		– полуоткрытые интервалы;
	– бесконечные интервалы;

Числа и называются соответственно левым и правым концами промежутков. Символы и не числа, это символическое обозначение неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть точка –любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки называется любой интервал , содержащий точку .

Интервал , где , называется – окрестностью точки , число – центр интервала, число – радиус интервала.

Если , то выполняется неравенство

.

Это означает попадание точки в – окрестность точки .

 

Понятие функции

Одним из основных понятий математики является понятие функции. Оно связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Определение. Если каждому элементу соответствует единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция ( - знак функции).

Переменную называют аргументом или независимой переменной, а переменную – зависимой переменной от х; множество – областью определения функции , а множество – множеством значений функции , – закон соответствия. – множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Кроме буквы для обозначения функций используют и другие буквы греческого и латинского алфавитов: , , , и так далее.

 

 

Примеры.

1) , .

2) , .

 

3) или , .

 

4) , .

 

Если элементами множеств и являются действительные числа, то функция называется числовой.

Частное значение функции при обозначают так: .

Например,

График функции – это множество точек плоскости с координатами , где , для каждой из которых является значением аргумента, а является соответствующим значением функции.

 

Способы задания функции.

1. Аналитический: функция задается с помощью одной или нескольких формул, или уравнений.

Если область определения функции не указана, то она совпадает со множеством всех значений аргумента, при которых указанная формула имеет смысл.

 

2. Графический: задается график.

 

3. Табличный: с помощью таблицы ряда значений аргумента и соответствующих значений функции, полученных в результате некоторого опыта.

4. Словесный: функция описывается правилом ее составления.

Например, функция Дирихле , если

, если – иррациональное.

 

Классификация функций

Обратная функция

Пусть функция от с областью значений . Пусть, кроме того, каждому значению соответствует только одно значение . Тогда на множестве определена функция с областью значений , обладающая свойством для любого из множества .

Функция называется обратной к функции . Если – обратная функция к , то функция – обратная функция к . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными.

Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую .

Например, функции и взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает.

Например, функция на строго возрастает.

 

На этом промежутке существует обратная ей функция , которая также возрастает.

 

Сложная функция

Пусть функция определена на множестве , а функция определена на множестве , причем соответствующее значение . Тогда функция , определенная на множестве , называется сложной функцией (или суперпозицией заданных функций или функцией от функции) с аргументом .

Например, – сложная функция, аргумент .

 

Числовые последовательности

 

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента, т.е. функция, определенная на множестве . Она записывается или сокращенно , где – элементы или члены числовой последовательности;

– номер члена последовательности;

– общий или -ый член последовательности.

Последовательность считается заданной, если известна формула для .

Например,

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство , т.е. .

Например, – ограничена, так как ;

– неограничена.

Можно заметить, что члены последовательности при , неограниченно приближаются к .

В этом случае говорят, что число 1 называется пределом данной последовательности.

 

Определение. Число называется пределом последовательности при , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство . При этом пишут: и говорят, что последовательность сходится к числу .

Определение можно записать с помощью логических символов:

Геометрический смысл предела последовательности.

Неравенство равносильно неравенству , которое показывает, что принадлежит – окрестности точки .

Геометрически определение предела последовательности можно сформулировать так:число называется пределом последовательности , если для любой – окрестности точки найдется такое число , что все значения , для которых , попадут в – окрестность точки .

Из рисунка видно, что в – окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее - конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Не всякая последовательность имеет предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся (обозначается ).

 

Сформулируем признак существования предела последовательности.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Например:

1) Последовательность – монотонно убывает и ограничена, следовательно, .

2) Последовательность – монотонно возрастает и ограничена, следовательно, .

Можно показать, что число , является основанием натурального логарифма .

Предел функции

Предел функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в самой точке функция может быть и не определена.

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .

Коротко можно записать так:

Геометрический смысл:

, если для любой – окрестности точки найдется такая – окрестность точки , что для всех из этой –окрестности соответствующие значения функции лежат в – окрестности точки . Т.е. точки графика лежат внутри полосы шириной , ограниченной линиями и . Очевидно, что величина зависит от . Поэтому пишут .

Пример 1. Доказать, что .

¦ Возьмем произвольное число . Найдем по этому такое значение , при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем или . Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих , выполняется неравенство . Это и означает, что . ¢

Пример 2. Доказать, что .

¦ Для любого можно взять любое . Тогда при , имеем . ¢

 

6.2. Предел функции при

 

Пусть функция определена на .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко можно записать так:

Геометрический смыслэтого определения таков: , что при или при соответствующие значения функции попадают в – окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и .

Сформулируем теперь понятие предела функции при .

Определение. Число называется пределом функции при (соответственно при ), если для любого положительного числа существует такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству (соответственно ), выполняется неравенство .

Если , то пишут .

Если , то пишут .

Теоремы о пределах функций

При вычислении пределов необходимо знать следующие теоремы.

Формулировки теорем аналогичны для случаев, когда и . Будем считать, что пределы и существуют.

1. Функция может иметь только один предел.

2. .

3. .

4. . (выполняется для любого числа слагаемых)

5. .

6. , если .

7. предел степени равен степени предела.

В частности,

8. Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство .

9. Теорема о пределе промежуточной функции.

Пусть функции , , определены в некоторой окрестности точки , причем в самой точке функции могут быть и не определены.

Если и ,то .

Примем эти теоремы без доказательства.

Примеры вычисления пределов с помощью перечисленных теорем.

 

1. .	2. .
3. .	4. .

Два замечательных предела

Первый замечательный предел.

Докажем это равенство.

Возьмем круг радиуса 1.

Пусть угол радиан.

Тогда дуга радиан, ,

Площадь треугольника .

Площадь сектора .

Площадь треугольника .

или .

,