Определение ускорения свободного падения с помощью математического и физического маятников

Вопросы допуска

1. Что такое колебания? Виды колебаний.

2. Какие колебания называются гармоническими? Записать уравнение, нарисовать график гармонических колебаний.

3. Математический маятник, его определение. Записать уравнение движения математического маятника; сделать чертеж.

4. От чего зависит период колебаний математического маятника? Записать формулу.

5. Какие силы действуют на математический маятник в процессе колебания? Сделать чертеж.

6. Являются ли колебания математического маятника гармоническими? Свободными или вынужденными?

7. Дать определение физического маятника, нарисовать чертеж.

8. Вывести формулу периода колебаний физического маятника.

9. Что называется приведенной длиной физического маятника и центром качания?

10. Изменится ли период колебания физического маятника, если его подвесить в центре качания?

Контрольные вопросы

1. Зависит ли период колебаний математического маятника от массы?

2. Зависит ли период колебаний математического маятника от широты местности?

3. Будут ли колебания математического маятника гармоническими при больших углах отклонения от положения равновесия?

4. Докажите, что формула периода колебаний физического маятника в случае маленького тяжелого шарика, подвешенного на длинной нитке, переходит в формулу для математического маятника.

5. Изобразите качественно графическую зависимость периода колебаний обруча, если расстояние от точки подвеса до центра масс изменять от 0 до ∞. Подтвердите расчетами.

 

Литература: [1]; [2]; [3]; [11].

 

Цель: Исследование законов колебательного движения математического и физического маятников и определение значения земного ускорения.

Приборы: экспериментальная установка.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Математическим маятником называют материальную точку, повешенную на невесомой нерастяжимой нити.

На математический маятник действует сила тяжести и сила натяжения нити .

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ составляющая силы тяжести , равная , будет играть роль возвращающей силы (рис. 1).

При малых колебаниях маятника, когда угол φ столь мал, что , где ℓ - длина нити математического маятника, возвращающая сила пропорциональна углу φ, и колебания маятника можно считать гармоническими (рис. 1). В этом случае уравнения движения маятника имеет вид: . Знак «минус» в правой части уравнения показывает, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную направлению возрастания смещения х.

Физическим маятником называют любое твердое тело, которое под действием силы тяжести Р = m g может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, называемой осью качания маятника. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной оси качания, называется точкой подвеса маятника.

Если силами трения в подвесе можно пренебречь, то момент относительно оси качания маятника создает только сила тяжести m g. При отклонении маятника на угол α эта сила создает момент, численно равный mgd ∙sinα и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия (α = 0). Поэтому уравнение движения физического маятника имеет вид:

.

Математический и физический маятники при малых углах отклонения от положения равновесия совершают гармонические колебания, периоды которых определяются:

, (1)

где g – ускорение свободного падения, ℓ – длина маятника.

, (2)

где I – момент инерции, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Для физического маятника вводится понятие приведенной длины L _пр, т.е. длины такого математического маятника, который колеблется с периодом, равным периоду данного физического маятника. Тогда формула 2 примет вид:

, (3)

где L _пр = I/ma – приведенная длина физического маятника.

Можно доказать, что если перенести ось качания вдоль прямой, соединяющей прежнюю ось качания и центр тяжести, на расстояние L (в центр качания), то маятник будет качаться с тем же периодом, что и ранее.

Для измерения ускорения свободного падения используют физический маятник особой конструкции, который носит название оборотного. Простейший оборотный маятник состоит из стержня, снабженного двумя подвижными грузами и двумя упорами с ножевыми призмами, на которые подвешивают маятник. Период колебаний маятника определяют экспериментально, измеряя время t некоторого числа колебаний n:

T = t/n. (4)

Описание экспериментальной установки

 

Общий вид универсального маятника представлен на рис. 3. Основание 1 оснащено регулировочными винтами 2, которые позволяют выравнивать прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксирован верхний кронштейн 4 и нижний кронштейн 5. Открутив винт 6, верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. Закручивая винт 6, можно фиксировать кронштейн в любом произвольно выбранном положении.

С одной стороны кронштейна 4 находится математический маятник 7, с другой стороны вмонтирован на вкладышах оборотный маятник 8.

Длину математического маятника можно регулировать с помощью воротка 9, а ее численное значение определяют, используя шкалу на колонке 3.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором зафиксированы два повернутых друг к другу лезвиями ножа и два груза. На стержне через 1,0 см выполнены кольцевые нарезки для точного определения расстояния между ножами. Ножи и грузы можно перемещать по стержню и фиксировать в любом положении с помощью винтов, входящих в кольцевые нарезки на стержне.

ХОД РАБОТЫ

Задание 1

1. Выставьте прибор горизонтально, используя математический маятник в качестве отвеса.

2. Нижний кронштейн установите в нижней части колонки так, чтобы его верхняя грань показывала на шкале длину ℓ = 52 см.

3. Вращая вороток на верхнем кронштейне, установите длину математического маятника, при которой черта на шарике явилась бы продолжением черты на корпусе. Приведите маятник в движение, отклоняя шарик на 4-5⁰ от положения равновесия.

4. Подсчитайте время не менее чем через 50 колебаний.

5. Аналогично проведите измерения для ℓ = 48 см; 44 см; 40 см; 36 см; 32 см; 28 см.

6. Проведите расчет периода исследованных колебаний.

7. Экспериментальные результаты нанесите на график T= ().

8. Используя значение тангенса угла наклона прямой T= f(), руководствуясь соотношением (1), определите значение ускорения свободного падения.

9. Проведите оценку косвенного измерения ускорения свободного падения.

Задание 2

1. Проверните верхний кронштейн, повернув его на 180^о.

2. Зафиксируйте грузы на стержне так, чтобы один из них находился вблизи конца, а другой – вблизи середины стержня.

3. Ножи маятника закрепите так, чтобы они были обращены друг к другу лезвиями, причем один из них располагался вблизи конца маятника, а другой – на половине расстояний между грузами. Грани лезвий ножей должны соответствовать нарезкам на стержне.

4. Закрепите маятник на вкладыше верхнего кронштейна на ноже, который находится вблизи конца стержня.

5. Отклоните маятник на 4 - 5^о от положения равновесия и отпустите.

6. Подсчитайте время не менее 10 полных колебаний.

7. Определите по формуле (4) период Т ₁.

8. Снимите маятник и закрепите его на втором ноже.

9. Аналогично пунктам 6-9 определите период Т ₂.

10. Если Т ₂ > Т ₁, второй нож переместите в направлении груза, находящегося на конце стержня. Если Т ₂< Т ₁, переместите в направлении середины стержня. Положение грузов и первого ножа не меняйте.

11. Повторно измерьте Т ₂ и сравните с Т ₁.

12. Измените положение второго ножа до момента выполнения равенства Т ₁ = Т ₂ с точностью не менее 0,5%. Окончательную проверку равенства периодов проведите, измеряя время не менее 50 колебаний.

13. Определите приведенную длину оборотного маятника, подсчитывая количество нарезок на стержне между ножами; длина насечек равна 10 мм.

14. Из формулы (3) определите ускорение свободного падения.

15. Проведите оценку погрешности косвенного измерения g.

Задание 3

1. Снимите оборотный маятник и поверните колонку на 180^о.

2. Аналогично пунктам Задания 1, выставьте длину математического маятника равную приведенной длине физического маятника. Измерьте период колебаний.

3. Полученное значение сравните со значением периода оборотного маятника. Сделайте выводы.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7