Плотность распр. вер-ти непрерывной случ. величины.

Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины Х называется функция f(х) равная первой производной от функции распределения F(х)

График плотности распределения называется кривой распределения.

Основные свойства плотности функции распределения:

1. f(х)>0

2.

Некоторые законы распределения случайных величин. Для дискретных случайных величин - биномиальное распределение и распределение Пуассона. Для непрерывных - равномерное показательное, экспоненциальное и нормальное распределение.

Числ. хар-ки непр. случ. величин.

Мат. ожиданием непр. случ. величин Х, все возм. значения кот. принадлежат интервалу [a;b], назыв. определённый интеграл.

Если все возм. значения принадлежат всей числ. оси, то

при этом предполог., что несобственный интеграл -¥ до +¥ сходится.

Дисперсией непр. случ. величины Х, все возм. значения кот принадлеж. интервалу [a;b], назыв. мат. ожидание квадрата её отклонения.

На практике исп. др. формулу

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Закон равномерной плотности

Равномерным называется распределение непрерывной случайной величины Х все значения которой лежат на отрезке [a;b] и имеют при этом постоянную плотность распределения

площадь под кривой распределения равна 1 и поэтому с(в-а)=1

вероятность попадания случайной величины Х на интервал от (α;β)

α=а, если α<а

β=в, если β>в

основные числовые характеристики закона распределения плотности вычисляются по общим формулам и они равны

16. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Нормальным называется распределение случайной величины Х если ф-ция плотности распределения

 

Полученное выражение через элементарные функции не может быть выражено, такая функция так называемый интеграл вероятности для которой составлены таблицы, чаще всего в качестве такой функции используют

Часто по условию задачи необходимо определить вероятность попадания случайной величины Х на участок симметричный математическому ожиданию.

Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

Показательное (экспоненциальное) распределение

Показательным называют распределение непрерывной случайной величины Х которое описывается следующей дифференциальной функцией

Экспоненциальное распределение для непрерывных случайных величин является аналогом распределения Пуассона для дискретных случайных величин и имеет следующий вид.

вероятность попадания случайной величины Х на интервал (α;β)

Следует отметить, что время безотказной работы удовлетворяется именно показательному закону, а поэтому это понятие часто используется в понятии надежности.

Мат. статистика.

Пусть для изучения колич. признака Х из ген. совок-ти извлечена выборка х₁, х₂…х_к объёма n. Наблюдавшиеся значения x _i признака х называют вариантами, а послед-ть вариантов записанных в возраст. порядке – вариац. рядом. Стат. распред-ем выборки называют перечень вариантов x _i вариац. ряда и соот-х им частот n _i (сумма всех частот равна объёму выборки n) или относит. частот W i (сумма всех относит. частот = 1). Стат. распр-е выборки можно задать также в виде посл-ти интервалов и соот-х им частот (в кач-ве частоты интервала принимают сумму частот вариантов, попавших в этот интервал). Стат. оценкой q неизвестного параметра q теор. распр-я назыв. функцию f(x₁,x₂…x_n) от наблюдаемых СВ x₁,x₂…x_n. Несмещён. назыв. точечную оценку, мат. ожидание кот. = оцениваемому параметру при любом объёме выборки. Смещ. назыв-ют точечную оценку, мат. ожидание кот. не = оцениваемому параметру. Несмещён. оценкой генер. средн (мат. ож.) служит выборочная средняя

где x_i - варианта выборки, n_i – частота варианты x_i. Объём выборки:

Замечание 1: Если первонач. варианты x_i большие числа, то для упрощ. расчёта можно вычесть из кажд. варианты одно и то же число С, т.е. перейти к условн. вариантам u_i=x_i-C. Тогда

Замечание 2:

Замечание 3: Если первонач. варианты явл. десятич. дробями с R десятич. знаками после запятой, то умножают первонач. варианты на постоян. число С, т.е. переходят к усл. вариантам u_i=Cx_i. При этом дисперсия увелич. в С² раз: D_B(x)=D_B(u)/C².