Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2018-01-13 | 159 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
M [ X ]= D [ X ]= λ = np.
Непрерывные случайные
Величины
1. Функция распределения. Для непрерывной случайной величины теряет смысл понятие вероятности каждого конкретного значения, поскольку таких значений бесконечно много, и из условия, что сумма вероятностей всех значений равна 1, следует, что вероятность каждого фиксированного значения равна нулю. Поэтому основными характеристиками, описывающими поведение непрерывной случайной величины, являются функция распределения (интегральная функция распределения) и плотность распределения вероятностей (плотность вероятности, дифференциальная функция распределения).
Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, заданную а некотором интервале (а, b). Закон распределения вероятностей для такой величины должен позволять находить вероятность попадания ее значения в любой интервал (х 1, х 2).
Функцией распределения непрерывной случайной величиныХ называют функцию F (x), определяющую для каждого значения вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Как любая вероятность .
2. F (x) – неубывающая функция, т.е. если х 1< х 2, то F (x 1)≤ F (x 2).
3. .
4. Р (Х = x 1)=0.
5. Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F (x)=0 при х ≤ а и F (x)=1 при .
6. , .
Плотностью распределения непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения: .
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х обладает свойствами:
1. f (x)≥0.
2. .
3. Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины .
4. .
График функции называют кривой распределения.
|
Примеры.
1. Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти плотность распределения этой случайной величины и вероятность попадания ее в интервал (1; 2,5).
По определению
Требуемая вероятность будет
. ◄
2. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения этой величины.
Воспользуемся формулой .
Если х ≤1, то f (x)=0, следовательно, .
Если 1< x ≤2, то
.
Если х >2, то
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
◄
3. Составить функцию распределения F (x) дискретной случайной величины Х с законом распределения:
Х | |||
Р | 0,5 | 0,2 | 0,3 |
Если х ≤2, то F (x)=0, так как значений меньших 2 величина Х не принимает. Поэтому при х ≤2 F (x)= Р (Х < x)=0.
Если 2< x ≤4, то F (x)=0,5, так как Х может принимать значение 2 с вероятностью 0,5.
Если 4< x ≤7, то F (x)= Р (Х < x)= Р (Х =2)+ Р (Х =4)=0,5+0,2=0,7 (по теореме сложения вероятностей несовместных событий).
Если х >7, то F (x)=1, так как событие Х ≤7 достоверное.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
◄
2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Аналогично тому, как это было сделано для дискретной случайной величины, определим числовые характеристики непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f (x).
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f (x) называется выражение
.
Если случайная величина Х может принимать значения только на конечном отрезке [ a, b ], то .
Дисперсия непрерывной случайной величины Х определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Все свойства математического ожидания и дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин
Среднеквадратичным отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии
.
Значение случайной величины Х, при котором плотность распределения f (x) имеет наибольшее значение называется модой М 0[ X ].
|
Медианой Ме [ X ] непрерывной случайной величины Х, называют ее значение, определяемой равенством
или
.
Пример. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение величины Х.
Воспользуемся определениями.
.
.
.
. ◄
Пример. Плотность вероятности случайной величины имеет вид:
Найти:
1) Из условия нормированности плотности вероятности следует, что В нашем случае
откуда
2) Связь между и задается формулой
Поэтому при
при
а для
Cледовательно,
◄
3. Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение вероятностей если ее плотность распределения задается следующим образом:
Найдем значение с. По свойству плотностей распределения получаем
,
следовательно, и
Так как , то промежуток [ a, b ], на котором имеет место равномерное распределение, обязательно конечен.
Определим вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (α, β).
.
Итак, искомая вероятность
,
т.е. вероятность попадания Х в интервал зависит только от длины этого интервала и не зависит от значений величины Х. При равномерном распределении случайной величины Х вероятности попадания Х в промежутки равной длины одинаковы.
Найдем функцию распределения .
Если х < a, то f (x)=0 и, следовательно, .
Если а ≤ x ≤ b, то и, следовательно,
.
Если х > b, то f (x)=0 и, следовательно,
.
Таким образом,
Пример. Интервал движения автобуса равен 20 минутам. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус менее 5 минут.
Пусть случайная величина Х – время прихода пассажира на станцию после отправления очередного автобуса 0< X <20. Х имеет равномерное распределение, так как вероятность прихода, например, в пятую минуту, равна вероятности прихода в восьмую. В задаче требуется найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (15, 20).
. ◄
4. Числовые характеристики равномерного распределения. Для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение, плотность распределения определяется формулой
Тогда по определению математического ожидания
|
.
.
Дисперсия равномерно распределенной случайной величины будет
.
Итак,
, = , .
5. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины. Изучение различных явлений показывает, что многие случайные величины, имеют плотность распределения вероятности, которая определяется формулой
,
где а и σ – параметры распределения. В этом случае говорят, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения. Кривая нормального распределения изображена на рисунке.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!