Основные сведения о матричных операциях

Для решения задач алгебры существует огромное количество функций

встроенных в пакет Maxima. Наиболее часто используемые функции

сгруппированы в пункте меня Алгебра. Более подробно некоторые команды рассмотрим по ходу изучения материала. Номера столбцов и строк матриц начинается с единицы. При обращении к элементам матрицы указывается имя матрицы и в квадратных скобках через запятую номер строки и номер столбца. Например, A[2,3] – элемент матрицы стоящий во второй строке и третьем столбце.

 

Рассмотрим теперь некоторые функ-ции меню Алгебра. Команда Создать

матрицу, генерирует функцию genmatrix(fun,N,M) которая создает и заполняет матрицу, состоящую из N строк и M столбцов. Первый параметр fun определяет имя функции двух переменных fun(i,j), задающую формулу для заполнения элемента, стоящего на пересечении i -й строки и j -го столбца. Функция fun должна быть определена выше. Рассмотрим пример программы, использующей данную функцию.

 

В этом примере создается квадратная матрица A порядка 3, а элементы

заполняются двузначными натуральными числами первая цифра равна но-

меру столбца, а вторая – номеру строки.

Для создания и заполнения матрицы заданными числами служит ко-

манда Вывести матрицу … Рассмотрим как ее использовать. В строке вво-

да напишем имя матрицы, например, В: и вызовем команду Алгеб-

ра/Вывести матрицу … В возникшей форме Матрица указываем число

строк, число столбцов и в качестве типа – общая. В новой форме Ввести

матрицу заполняем все элементы матрицы необходимыми значениями.

Например:

 

 

 

Над полученными матрицами A и B можно проводить основные ма-

тематические операции: сложения, умножения, умножения на число, ли-

нейные комбинации матриц, вычисления определителя, обращение матри-

цы, решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисление

собственных чисел и собственных векторов.

 

Операция обращения матрицы A осуществляется при помощи функ-

ции invert(A), а операция матричного умножения двух матриц A и B обо-

значается точкой – A.B.

 

 

 

В рассмотренном примере создается квадратная матрица A второго

порядка, находится обратная матрица А1=А^-1 и для проверки правильно-

сти обращения они перемножаются. В результате, как и положено, получа-

ется единичная матрица.

Для вычисления определителя матрицы A, используется функция determinant(A).

Функции eigenvalues(A) и eigenvectors(A) определяют собственные

значения и собственные вектора матрицы A, соответственно.

Функции row(A,i) и col(A,j) возвращают i- тую строку и j -тый столбец

матрицы A, соответственно.

Функция transpose (A) транспонирует матрицу A.

Существуют три варианта функции submatrix.

submatrix(i_1,…,i_k,A) – удаляет перечисленные строки в матрице A.

submatrix(A, j_1,…,j_k) – удаляет перечисленные столбцы в матрице A.

submatrix(i_1,…,i_k,A, j_1,…,j_k) – удаляет в матрице A перечисленные слева от имени матрицы строки и перечисленные справа столбцы.

Рассмотрим примеры использования данной функции.

Функция minor (A, i, j) возвращает минор матрицы A для элемента

находящегося на i -той строке и j -том столбце.

Функция rank (A) возвращает ранг матрицы A.

Функция addcol (A,B,C,…) – на базе нескольких, заранее определен-

ных матриц A, B, C и т.д., имеющих одинаковое количество строк, форми-

рует матрицу, в первых столбцах которой расположен массив A, а в после-

дующих – массивы B, C и т.д.

Пример.

Аналогичная функция addrow (A,B,C,…) – на базе нескольких, зара-

нее определенных матриц A, B, C и т.д., имеющих одинаковое количество

столбцов, формирует матрицу, в первых строках которой расположен мас-

сив A, а в последующих – массивы B, C и т.д.

 

Пример. Используем матрицы предыдущего примера.

 

 

 

Рассмотрим теперь функции, предназначенные для решения систем ли-

нейных алгебраических уравнений.

Уравнения невысокого порядка можно решить без использования мат-

риц при помощи функции linsolve, встроенной в меню Уравнения/Решить

линейную систему … Для этого необходимо подать данную команду и за-

полнить две простые формы, или непосредственно написать вызов функции

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений