Экзаменационные билеты по высшей математике

Экзаменационные билеты по высшей математике

Понятие производной, её геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции.

1.Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящееся к нулю.

- Производная функции, заданной на некотором интервале (a;b), в некоторой точке Х этого интервала называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

2.Геометрический смысл производной.
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Касательная к графику- предельное положение секущей.

 

 

3.Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:

Касательная — это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от этого графика функции, уравнение касательной запишется таким образом.

4. Уравнение нормали графика
Нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания

 

Физический смысл производной. Скорость материальной точки при непрерывном движении.

S”(t)=v’(t)=a(t)

Физический смысл производной- Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени.

Так как на малом участке пути ΔS скорость меняется незначительно,то допустим, что она постоянна=>.
Мгновенная cкорость материальной точки.
При времени t.

Левая и правая производные(односторонние). Дифференцируемость.

Левой и правой производной функции в точке х0, называется правое(левое) предельное значение.
При условии, что оно существует.

Если функция в точке х0 имеет производную, то она в этой точке имеет левую и правую производные, совпадающие между собой.

Так же есть функция, которая имеет правую и левую производные, но не имеет производную точки.
Например. f(x)= |х|: в точке х=0

правая

левая

Но не имеет в точке х=0 производной, т.к односторонние пределы различны.

Дифференцируемость

Теорема. Если функция в точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке.
=> => => функция непрерывна

Функция дифференцированная если у неё существует производная.
дифференцируемость => непрерывность (обратное утверждение не верно)

Функция гладкая, если производная есть на всей области определения.

50. Таблица производных. Свойства производных.

a>0, a≠1 ≠1

Доказательство свойств:

1.

2.

3.

4.

Свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля, Коши, Лангранджа.

Теорема №1 (Ролль)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах принимает равные значения (f(a)=f(b)), тогда существует точка c∈(a;b), в которой производная функции равна 0 (f’(c)=0).

Доказательство.

По т. Вейерштрасса (Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения).)

Если m=M, то f(x)=const, тогда f’(x)=0.

Пусть m≠M, хотя бы одно из значений внутри отрезка ∃ c ∈(a;b); f(c)=M

В силу теоремы верно неравенство f(c+∆x)-f(c) = 0, а ∆x→0, то

Теорема №2 (Коши)

Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a; b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c ∈ (a; b), такая, что справедлива формула.

Отношение приращений 2 функций на отрезке равно отношению значений их производных.

Доказательство.

F(a)=0; F(b)=0 => удовлетворяет т.Ролля.

∃ с ∈(a;b) F'(c)=0

/

/

 

Теорема №3 (Лагранж)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах принимает равные значения (f(a)=f(b)), то найдётся хотя бы точка c∈(a;b) такая, что выполняет равенство:

Доказательство. применим т.Коши
(f(b) - f(a))’=f’(c), a (b-a)’=1

Ролль

Коши

 

 

53. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.

- неопределённости.

Можно применять неоднократно.

Для раскрытия неопределенностей надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.

 

 

54. Признаки монотонности функции.

Строго монотонная -когда постоянно воз(убыв),

Монотонная -когда не постоянно воз(убыв).

 

Доказательство.

Экзаменационные билеты по высшей математике