История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2018-01-30 | 451 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференциал функции- называется главная линейная часть приращёния функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy или df(x).
А |
B |
α |
Т.к. а(х)- бесконечно малая => |
dy=f’(x)*∆x= f’(x)*dx |
∆y= f’(x)*∆x=dy |
Свойства дифференциалов
Поэтому AB= f’(x)*∆x=dy |
Но согласно геометрическому смыслу производной tg α= f’(x). |
Свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля, Коши, Лангранджа.
Теорема №1 (Ролль)
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах принимает равные значения (f(a)=f(b)), тогда существует точка c∈(a;b), в которой производная функции равна 0 (f’(c)=0).
Доказательство.
По т. Вейерштрасса (Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения).)
Если m=M, то f(x)=const, тогда f’(x)=0.
Пусть m≠M, хотя бы одно из значений внутри отрезка ∃ c ∈(a;b); f(c)=M
В силу теоремы верно неравенство f(c+∆x)-f(c) = 0, а ∆x→0, то
Теорема №2 (Коши)
Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a; b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c ∈ (a; b), такая, что справедлива формула.
Отношение приращений 2 функций на отрезке равно отношению значений их производных.
Доказательство.
|
F(a)=0; F(b)=0 => удовлетворяет т.Ролля.
∃ с ∈(a;b) F'(c)=0
/
/
Теорема №3 (Лагранж)
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a;b ], дифференцируема на интервале (a;b) и на концах принимает равные значения (f(a)=f(b)), то найдётся хотя бы точка c∈(a;b) такая, что выполняет равенство:
Доказательство. применим т.Коши
(f(b) - f(a))’=f’(c), a (b-a)’=1
Ролль |
Коши |
53. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.
- неопределённости.
Можно применять неоднократно.
Для раскрытия неопределенностей надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.
54. Признаки монотонности функции.
Строго монотонная -когда постоянно воз(убыв),
Монотонная -когда не постоянно воз(убыв).
Необходимое условие экстремума.
Экстремум функции- max и min функции.
Необходимое условие экстремума -Если дифференцируемая функция y=f(x) имеетэкстремум в точке х0, то её производная в этой точке равна нулю (f'(x0)=0). Обратная теорема не верна. (у=х)
Доказательство.
пусть х0-точка max, существует неравенство:
• ∆х>0- f(x0+∆х)-f(x0)<0, т.к. x0 max, то lim≤0 lim=0
• ∆х<0- f(x0+∆х)-f(x0)<0, т.к. x0 max, то lim≥0
Достаточное условие экстремума по первым и вторым производным.
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!