Некоторые сведения из теории вероятностей

Случайная величина

Дискретные случайные величины характеризуются законом распределения

X				…
P				…

. (1)

Математическое ожидание дискретной случайной величины

. (2)

Дисперсия дискретной случайной величины

= . (3)

Непрерывная случайная величина характеризуется плотностью распределения , при этом

.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

. (4)

Дисперсия непрерывной случайной величины

. (5)

Функцией распределения случайной величины называется Для непрерывных случайных величин .

Функция от случайной величины

Пусть Х - дискретная случайная величина с законом распределения (1), а - монотонная функция. Тогда случайная величина Y имеет закон распределения

Y				…
P				…

Если - немонотонная функция, то случайная величина Y имеет закон распределения

Y				…
P				…

где .

Математическое ожидание функции от дискретной случайной величины

.

Дисперсия функции от дискретной случайной величины

= .

Пусть Х - непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей , а - монотонная функция. Тогда случайная величина Y имеет плотность распределения . Если - немонотонная функция, выделяем промежутки , для которых . Тогда случайная величина Y имеет следующую функцию распределения

Математическое ожидание функции от непрерывной случайной величины

.

Дисперсия функции от непрерывной случайной величины

= .

Системы двух случайных величин

Ковариацией называется величина математическое ожидание от произведения случайных величин минус произведение математических ожиданий от случайных величин. Коэффициентом корреляции называется .

Случайные величины и Y называются независимыми, если для любых реализаций и этих величин . Иначе величины зависимы. Если случайные величины и Y имеют плотности распределения и , то их совместная плотность распределения .

Свойства математического ожидания

1. , где с – некоторое число.

2. , где с – некоторое число.

3. .

4. , п - конечное.

5. , если и Y – независимы.

Свойства дисперсии

1. , где с – некоторое число.

2. , где с – некоторое число.

3. , если и Y – зависимы.

4. , если и Y – независимы.

5. , п – конечное, попарно независимы.

 

Правило множителей Лагранжа

Теорема1 (правило множителей Лагранжа). Пусть функции определены в некотором параллелепипеде , содержащем внутри себя точку , т.е. . Пусть далее все функции , и все частные производные , , непрерывны в П.

Тогда, если допустимая точка (, ) доставляет локальный экстремум (максимум или минимум) задачи

то существуют числа одновременно неравные нулю и такие, что

, ,

где , (), – функция Лагранжа.

Теорема 2 (правило множителей Лагранжа с ограничениями типа равенств и неравенств). Если допустимая точка доставляет локальный минимум в задачу

с равенствами и неравенствами, тогда найдутся числа одновременно неравные нулю и такие, что

, ,

- условие необратимости,

, - условие допускающей нежёсткости.