Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Электроемкость. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора D.

 

Основные законы и формулы.

Напряженность поля в диэлектрике

.

Вектор поляризованности у изолированных диэлектриков для не слишком больших

,

где - электрическая постоянная, æ – диэлектрическая восприимчивость ди­электрика (безразмерная величина, которая для вакуума и, практически, для воздуха, ра­вна нулю ).

 

Энергия электрического поля. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике и в вакууме

,

Объемная плотность энергии

Дж/м

.

= ,

– характеризует энергию, которая была затрачена при поляризации диэлектрика.

Поток вектора D электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Потенциал φ уединённого заряженного проводника, на который не действуют внешние электростатические поля, пропорционален его заряду q.

Электроёмкостью С уединённого заряженного проводника называется отношение

Ёмкость уединённого шара

C=4πεε_oR,

где R радиус шара, ε - относительная диэлектрическая проницаемость ε_{o –} электрическая постоянная.

Ёмкость С плоского конденсатора, образованного разноимённо заряженными пластинами, разнесёнными на расстояние d, равна

(S – площадь каждой из пластин).

Абсолютная величина заряда пластин q пропорциональна разности потенциалов (напряжению) U=φ₊-φ_- между пластинами:

q=СU.

Энергия W_к заряженного конденсатора пропорциональна квадрату напряжения

Напряжённость Е электрического поля между обкладками конденсатора пропорциональна поверхностной плотности σ=q/S электрических зарядов на пластинах:

Примеры решения задач

1. Определить потенциал большой капли j, образовавшейся в результате слияния N одинаковых шарообразных капелек ртути, заряженных одноименно до потенциала j₀ каждая.

Решение. Потенциал электрического поля заряженного шара на расстояниях больших или равных радиусу шара определяется формулой для потенциала точечного заряда, поэтому потенциалы маленькой и большой капель вблизи их поверхностей описываются соотношениями

, ,

где q – заряд маленькой капельки, Q – заряд большой капли, r и R – радиусы капель.

В силу закона сохранения электрического заряда Q = Nq. Масса большой капли равна сумме масс маленьких капель . Здесь V, V ₀ – объем большой и малой капель, соответственно, r – плотность вещества капель. С учетом сферической формы капель имеем . Отсюда получим связь между радиусами капель . Подставляя это соотношение в выражение для потенциала большой капли, находим:

.

2. Во сколько раз изменится энергия электрического поля заряженного плоского воздушного конденсатора, если пространство между пластинами конденсатора заполнить маслом с относительной диэлектрической проницаемостью e =2,5. Конденсатор остается присоединенным к источнику постоянного напряжения.

Д а н о: e = 2,5. Н а й т и: W ₂ /W ₁.

Решение. Энергия электрического поля W, содержащаяся в конденсаторе емкостью С, подсоединенному к источнику постоянного напряжения U, равна

. (1)

Емкость плоского конденсатора, имеющего пластины площадью S каждая, расположенные на расстоянии d друг от друга, рассчитывается по формуле

. (2)

В начальном состоянии между обкладками конденсатора находится воздух, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна e = 1, поэтому

. (3)

Следовательно, энергия электрического поля, содержащаяся в конденсаторе и определяемая по формулам (1), (3), равна

.

После заполнения пространства между обкладками конденсатора маслом, емкость конденсатора увеличится и в соответствии с формулой (2) станет равной

.

Подставив последнее соотношение в (1), получим

.

Следовательно, W ₂ /W ₁ =e = 2,5.