История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2018-01-28 | 446 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. , x Î R.
2. , x Î R
3. , x Î R
4. , x Î (−1;1].
5.
, x Î (−1;1).
Пример 9. Разложить функцию f (x) = x 3+ 2 x – 5 по степеням x – 1.
3Воспользуемся формулой (21), в которой надо взять x 0= 1, n = 3 (n – степень многочлена). Вычислим f (1), f /(1), f //(1), f ///(1) и полученные числа подставим в формулу (21).
f (1) = –2,
f /(x) = 3 x 2+2, f /(1) = 5,
f //(x) = 6 x, f //(1) = 6,
f ///(x) = 6.
После подстановки в (21), в которой вместо x – x 0надо писать x – 1, окончательно получим x 3+ 2 x – 5 = –2 + 5(x – 1) +3(x – 1)2+ (x – 1)3.4
Пример 10. Разложить функцию в ряд по степеням x.
3По формуле суммы геометрической прогрессии
. (36)
Ряд сходится при | x | < 1.4
Пример 11. Разложить в ряд по степеням (x + 3) функцию ln(2 – 5 x).
3Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции:
.
Воспользуемся разложением (34) для функции ln(1 + t) и положим . Так как разложение (34) имеет место при x Î (–1;1], то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, ,
, т.е. ряд сходится при .4
При разложении в ряд Тейлора часто используют почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arctg x.
3Найдем производную f (x), получим
.
Заменив в формуле (36) x на x 2, получим
для x Î (–1;1).
Интегрируя этот ряд почленно, получаем
.
Так как при почленном интегрировании интервал сходимости сохраняется, то для любого x Î (–1;1].4
Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням и указать области сходимости полученных рядов.
227. . | 228. . |
229. . | 230. . |
231. . | 232. . |
233. . | 234. . |
235. . | 236. . |
237. . | 238. . |
239. . | 240. . |
241. . | 242. . |
Разложить функции в ряд по степеням и определить области сходимости полученных рядов.
|
243. . | 244. . |
245. Разложить в ряд Маклорена функцию и из полученного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции .
9.246. Разложить в ряд Маклорена функцию и из полученного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции .
Задачи повышенной сложности
Разложить функции в ряд по степеням и определить области сходимости полученных рядов.
247. . | 248. . |
249. . | 250. . |
251. . | 252. . |
253. . | 254. . |
9.255. . | 256. . |
Используя возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить в ряд Маклорена следующие функции:
257. .
258. .
6.3. Применение степенных рядов
1) Приближенное вычисление значений функции.
Если функция f (x) в интервале (x 0– R; x 0+ R) разлагается в степенной ряд , то в качестве приближенного значения функции f (x) в точке x Î (x 0– R; x 0+ R) можно взять частичную сумму этого ряда: . Точность этого равенства увеличивается с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.
.
Оценивать остаток ряда можно различными способами. Можно использовать представление остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши или интегральной (см. гл. 4 §3). Можно, кроме того, строить для ряда числовую мажоранту, сумму которой несложно вычислить. В отдельных случаях можно применять признак Лейбница: если степенной ряд в некоторой точке x удовлетворяет признаку Лейбница, то
.
Пример 13. Вычислить число e с точностью до 0,001.
3Подставив x = 1 в формулу (12), имеем .
Оценим остаток
.
Следовательно, равенство имеет абсолютную погрешность, равную . Найдем n, для которого или n! n > 1000. Получаем n ³ 6. Вычисляя и округляя, находим ответ с требуемой точностью e» 2,718.4
259. Определить, сколько нужно взять членов в разложении функции , чтобы вычислить с точностью до .
260. Определить, сколько нужно взять членов ряда в разложении функции , чтобы вычислить с точностью до .
Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до :
|
261. . | 262. . |
263. . | 264. . |
Задачи повышенной сложности
Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до :
265. . | 266. . |
267. . | 268. |
2) Приближенное вычисление определенных интегралов.
Разлагая подынтегральную функцию f (t) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степенных рядов, представить интеграл в виде степенного ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении из интервала сходимости полученного ряда.
Пример 14. Разложить функцию в степенной ряд по степеням x.
3Используя разложение , получим на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим
.4
Пример 15. Вычислить с точностью до 0,001.
3Известно, что первообразная для функции не выражается через элементарные функции. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, используя разложение (31):
Подставляя вместо y x 2, получаем
Тогда
Интегрируя обе части этого равенства, получим:
Получили знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. Так как , а , то с точностью до 0,001 имеем
.
Разложить указанные функции в степенные ряды по степеням :
269. . | 270. . |
9.271. | 9.272. |
Вычислить интегралы с точностью до :
273. | 274. |
275. . | 276. . |
277. . | 278. |
3) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано, что решение y (x) представимо в виде степенного ряда
, (18)
коэффициенты которого можно определить с учетом заданного уравнения различными способами.
а) Способ последовательного дифференцирования.
Пусть требуется найти решение уравнения y //= f (x, y, y /), удовлетворяющее условиям y (x 0) = y 0, y /(x 0) = y 1, причем функция f (x, y, y /) в точке (x 0, y 0, y 1) имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты y ( k )(x 0) ряда (18) определяются путем последовательного дифференцирования исходного уравнения и подстановки в него x 0и найденных уже значений y /(x 0), y //(x 0),…
Пример 16. Найти решение уравнения y //= x 2 y, удовлетворяющее условиям y (0) = 0, y /(0) = 1.
3Имеем y (0) = 0, y /(0) = 1, из заданного уравнения найдем y //(0) = 0. Далее, дифференцируя уравнение, имеем
|
y ///= x 2 y /+ 2 xy,
y (4)= x 2 y //+ 4 x y /+ 2 y,
y (5)= x 2 y ///+ 6 x y //+ 6 y /,
…
y ( k +2)= x 2 y ( k )+ 2 kxy ( k –1)+ k (k – 1) y ( k –2),
…
и при x = 0 получаем отсюда
y ( k +2)(0) = k (k – 1) y ( k –2)(0), k = 2,3,…
Так как y (0) = y //(0) = y ///(0) = 0 и y /(0) = 1, то
y (4 n )(0) = y (4 n +2)(0) = y (4 n +3)(0) = 0
и
y (4 n +5)(0) = (4 n + 2)(4 n + 3) y (4 n +1)(0) = 2 × 3 × 6 × 7…(4 n + 2)(4 n + 3), n Î N.
Следовательно,
.
По признаку Даламбера полученный ряд сходится для любых x Î R, а определяемая этим рядом функция y (x) является решением заданного уравнения при любых x. 4
б) Способ неопределенных коэффициентов.
Если исходное дифференциальное уравнение линейно относительно искомой функции и ее производных, причем коэффициент при старшей производной в точке x 0отличен от нуля, то решение следует искать в виде ряда (18) с неопределенным коэффициентами ak, k = 0,1,…
Пример 17. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения
y //– xy /+ y = 1, удовлетворяющее условиям y (0) = y /(0) = 0.
3Ищем решение в виде ряда , в котором в силу условий y (0) = y /(0) = 0 имеем a 0= a 1= 0. Следовательно, . Подставив это выражение в уравнение, получаем
.
Отсюда находим, что 2 × 1 × a 2= 1, т.е. , и (k + 1)(k + 2) ak +2= =(k – 1) ak для k = 1, 2,… Так как a 1= 0, то a 2 m +1= 0 для всех m = 0, 1,…, а для k = 2 m, m = 1, 2,…, получаем рекуррентную формулу
,
из которой выводим равенства
.
Следовательно, искомое решение имеет вид
,
причем полученный ряд сходится при всех x Î R.4
Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:
279. .
9.280. .
Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд:
281. .
282. .
Найти решение уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:
283. .
284. .
285. .
286. .
РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряды Фурье
7.1. Тригонометрические ряды. Ортогональность тригонометрической системы
Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
(1)
где числа a 0,… an, bn (n = 1,2,…) называются коэффициентами ряда.
Теорема. Тригонометрическая система функций
1, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x,…, cos nx, sin nx (2)
является ортогональной на отрезке [–p; p], т.е. интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [–p; p] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.
|
Доказательство. Действительно, для любых целых k, n ¹ 0 (k ¹ n) имеем:
, , (3)
. (4)
Аналогично
и . (5)
Наконец, ,
, (6)
. ■
7.2. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье
Теорема. Если функция f (x), интегрируемая на отрезке [–p; p], разлагается в тригонометрический ряд
, (7)
который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно.
Доказательство. Интегрируя (7), получим:
,
откуда, учитывая (3), находим:
(8)
Для определения коэффициента an при cos nx умножим равенство (7) (в котором предварительно переобозначим индекс суммирования n на k) на cos nx. Получим
. (9)
Т.к. каждый член этого ряда по абсолютной величине не превышает соответствующих членов ряда (7), то этот ряд тоже можно почленно интегрировать. Проинтегрируем соотношение (9) по х от –p до p. Учитывая формулы (3) – (6), получим:
, откуда
(10)
Аналогично, умножая равенство (7) на sin nx и интегрируя в пределах от –p до p, на основании тех же формул получаем
, откуда находим
(11)
Таким образом, коэффициенты a 0, an, bn ряда (7) определяются по формулам (8), (10), (11) единственным образом. Теорема доказана. ■
Определение. Пусть f (x) интегрируемая на отрезке [–p; p] функция. Тогда числа a 0, an, bn, найденные по формулам (8), (10), (11), называются коэффициентами Фурье функции f (x). Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого определяются по формулам (8), (10), (11), называется рядом Фурье функции f (x).
Для интегрируемой на отрезке [–p; p] функции f (x) записывают
и говорят: функции f (x) соответствует (поставлен в соответствие) её ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то знак соответствия заменяется знаком равенства.
7.3. Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье (признак Дирихле)
Определение. Функция f (x) называется кусочно-монотонной наотрезке [ a, b ], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1, x 2,…, xn –1на интервалы (a, x 1), (x 1, x 2),…, (xn –1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна.
Заметим, что если функция f (x) кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [ a, b ], то она может иметь точки разрыва только первого рода.
Теорема (Признак Дирихле). Если 2p периодическая функция f (x) является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке [–p; p], то её ряд Фурье сходится во всех точках. Сумма этого ряда равна значению функции f (x) в точках непрерывности функции и значению в точках разрыва.
7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
1) Пусть функция f (x) определена на отрезке [–p; p]. Если функция четная, т.е. f (– x) = f (x), то её ряд Фурье имеет вид
, (12)
где , , n Î N,
а коэффициенты Фурье bn = 0.
Действительно,
.
В первом интеграле в квадратных скобках сделаем замену переменной x = – t. Тогда dx = – dt, а пределы интегрирования станут от p до 0. Принимая во внимание, что функция f (x) – четная, а функция sin x – нечетная, получаем
|
.
Следовательно, .
Аналогично, учитывая, что функции f (x) и cos х четные, можно получить записанные выше выражения для коэффициентов аn.
2) Пусть теперь функция f (x), определенная на отрезке [–p; p], нечетная, т.е. f (– x) = – f (x) то её ряд Фурье имеет вид
где , n Î N, (13)
а коэффициенты Фурье аn = 0.
Рассуждения здесь такие же, как и в случае 1).
Таким образом, если функция f (x) четная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечетная, то только синусы.
y |
x |
p |
–p |
2p |
–2p |
–1 |
3Продолжая периодически функцию f (x) на всю вещественную ось, получим функцию , график которой изображен на рисунке. Эта функция 2p-периодическая, кусочно-монотонная и ограниченная, значит, согласно признаку Дирихле она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье функции f (x). Так как функция нечетная, то an = 0, n = 0,1,…, а коэффициенты bn находится по формуле (13):
где m Î N. Следовательно, при –p < x < p
,
откуда при получаем , т.е. .
Отметим, что вне интервала (–p; p) полученный ряд сходится к функции : в точках непрерывности функции ряд Фурье будет сходиться к значению функции в этой точке, а в точках разрыва x = p n, где n Î Z, функция не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.4
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x 2на отрезке [–p; p].
y |
x |
p |
–p |
3p |
–3p |
,
.
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
.
Это разложение справедливо для любого x Î [–p; p], так как в данном случае в точках x = ±p сумма ряда совпадает со значениями функции f (x) = x 2, поскольку .
В силу непрерывности функции для всех значений х Î R ее ряд Фурье в любой точке будет сходиться к значению функции в этой точке.4
7.5. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
Пусть теперь функция f (x) является периодической с произвольным периодом 2 l, l ¹ 0. Отметим, что признак Дирихле, сформулированный в п. 7.4, для 2p-периодических функций, справедлив и для функций с произвольным периодом.
Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [– l; l ] (где l > 0). Тогда ряд Фурье функции f (x) имеет вид
, (14)
где
,
Если функция f (x), кроме того, непрерывна, то
.
Для доказательства (14) сделаем замену переменной . Тогда функция будет периодической функцией аргумента t с периодом 2p, так как
,
и ее можно разложить на отрезке [–p; p] в ряд Фурье
,
где
Возвращаясь к переменной х, т.е. положив , , получим ряд (14) с соответствующими коэффициентами.
Пример 3. На отрезке [–3; 3] найти тригонометрический ряд Фурье функции f (x) = | x |.
y |
x |
–6 |
,
Тогда ряд Фурье функции f (x) на отрезке [–3; 3] имеет вид:
.
Так как функция удовлетворяет условиям признака Дирихле, то ряд Фурье этой функции во всех точках сходится к значению функции.4
287. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена совпадает с этим многочленом.
288. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена совпадает с этим многочленом.
289. Найти коэффициент Фурье функции .
9.290. Найти коэффициент Фурье функции .
291. Разложить в ряд Фурье функцию .
292. Разложить в ряд Фурье функцию .
293. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции , .
294. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции , .
295. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 3 функции
296. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 2 функции
297. Доказать, что если f(x) имеет период , то при любом .
298. Записать выражение коэффициентов Фурье (28) - (30) для четной и нечетной функций на .
Разложить - периодичную функцию в ряд Фурье и найти значение суммы полученного ряда в заданной точке .
299. .
300. .
301. Разложить в ряд Фурье функцию в промежутке и построить график суммы ряда Фурье этой функции.
302. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале и построить график суммы ряда Фурье этой функции.
Разложить в ряд Фурье следующие функции периода :
303. .
304. .
305. .
306. .
307. .
308. .
309. Разложить в ряд Фурье в интервале функцию
310. Разложить в ряд Фурье в интервале функцию
311. Доказать равенство , используя разложение в ряд Фурье функции
312. Доказать равенство , используя разложение в ряд Фурье функции , .
313. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 9.304, найти сумму ряда .
314. Используя разложение функции в ряд Фурье, найти сумму ряда .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Том 1. – М.: Наука, 2010.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1. – М.: Высшая школа, 1981.
3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.: Наука, 1988.
4. Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1. – M.: Наука, 1990.
5. Власова Е. А. Ряды. Том IX. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2000.
6. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2010.
7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. – М.: Наука, 2010.
8. Беляева, М.А. Ряды. Методические указания к практическим занятиям и к выполнению расчетного задания / М.А.Беляева, А.Г.Мясников, Т.А.Мацеевич. М.: Изд-во МГСУ, 2003.
9. Титова, Т.Н. Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие / Т.Н.Титова, Т.А.Мацеевич, Е.Е. Ассеева и др. М.: Изд-во НИУ МГСУ, 2017. 128 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Б
Бином Ньютона, 62
И
Интервал сходимости степенного ряда, 46
К
Коэффициенты
степенного ряда, 43
тригонометрического ряда, 70
Фурье, 72
Критерий Коши сходимости ряда, 9
Круг сходимости степенного ряда, 46
Н
Необходимое условие сходимости, 7
О
Область
абсолютной сходимости функционального ряда, 33
сходимости функционального ряда, 33
Остаток
ряда, 9
функционального ряда, 33
П
Признак
Даламбера, 16
Дирихле, 73
Коши, 18
Коши интегральный, 20
Лейбница, 26
равномерной сходимости функционального ряда Вейерштрасса, 36
сравнения, 11
сравнения предельный, 14
Р
Радиус сходимости степенного ряда, 46
Ряд
абсолютно сходящийся, 25
биномиальный, 62
гармонический, 9
Дирихле, 23
знакопеременный, 24
знакочередующийся, 26
из членов геометрической прогрессии, 5
мажорируемый, 35
мажорирующий, 36
Маклорена, 54
расходящийся, 5
с неотрицательными членами, 11
степенной, 43
сходящийся, 5
Тейлора, 54
тригонометрический, 70
условно сходящийся, 28
функциональный, 32
функциональный равномерно сходящийся, 35
Фурье, 72
числовой действительный, 5
числовой комплексный, 5
Ряды
применение степенных рядов, 64
С
Свойства сходящихся рядов, 9
Сумма
ряда, 5
функционального ряда, 33
частичная, 5
Сходимость
абсолютная функционального ряда, 32
функционального ряда в точке, 32
функционального ряда на множестве, 32
Т
Теорема
Абеля, 44
достаточное условие разложимости в ряд Тейлора, 57
достаточное условие сходимости знакопеременного ряда, 24
необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора, 56
о дифференцировании степенных рядов, 53
о единственности разложения функции в степенной ряд, 55
о непрерывности суммы ряда, 38
о почленном дифференцировании ряда, 41
о почленном интегрировании ряда, 39
об интегрировании степенных рядов, 52
Римана, 29
Тригонометрическая система функций, 70
Ф
Функция
кусочно-монотонная, 73
Ц
Центр степенного ряда, 43
Ч
Член
функционального ряда, 32
ОТВЕТЫ
1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7.
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!