Глава 5. Динамические расчеты конструкций

Общие положения динамики конструкций. Динамические модели

При работе машины ее металлическая конструкция воспринимает переменные нагрузки от приводов, рабочих ор­ганов, ветра, инерционные нагрузки при движении с переменной скоростью и др. Эти воздействия вызывают упругие колебания элементов конструкции и возникновение допол­нительных инерционных сил. Основными целями динамических расчетов несущих конструкций являются:

• динамические нагрузки, которые должны быть учте­ны в расчетах элементов конструкции на прочность, устой­чивость и сопротивление усталости;

• реакция конструкции на динамические воздействия, т. е. оценка возможности резонансных явлений, определе­ние параметров колебаний конструкции, собственных форм и частот, необходимые для обеспечения санитарно-гигие­нических и технологических требований.

В основе динамических расчетов лежат следующие ос­новные понятия и классификации. По динамическим при­знакам колебания делятся на четыре вида:

свободные колебания совершает упругая система, выве­денная из состояния равновесия и предоставленная самой себе; они происходят без поступления энергии извне, по­этому постепенно затухают;

вынужденные колебания возникают под действием вне­шних периодических силовых воздействий, которые дос­тавляют энергию в систему;

параметрические колебания возникают вследствие пе­риодического изменения какого-либо параметра системы (массы, жесткости и т. п.) под влиянием внешнего воздей­ствия, которое и поставляет энергию в систему;

автоколебания происходят под воздействием сил, зави­сящих от параметров колебательного процесса (например, флаттер элемента конструкции в потоке воздуха), при этом энергия также поступает от внешнего воздействия.

Внешние воздействия делят на силовые (нагрузки) и кинематические (п. 1.2). Медленно нарастающее воздействие не вызывает колебаний, поэтому его называют статическим. Так, динамическими явлениями можно пренебречь, если возрастание нагрузки до номинального значения про­исходит за время Т_р>6 (5.18), где  — период свободных колебаний конструкции. Нагружение, происходящее с боль­шей скоростью, называют динамическим. Внешние дина­мические воздействия могут быть периодическими, т. е. изменяющимися по некоторому закону с определенным пе­риодом (вращение эксцентричной массы), и непериодиче­скими (отрыв груза от основания, удар ковшом по грунту, порыв ветра и пр.).

Для прогнозирования поведения конструкции при ди­намическом нагружении используют динамические моде­ли, которые строятся на следующих допущениях:

• учитывают только одну-две наиболее низкочастотные формы колебаний конструкции;

• элементы механизмов, а также компактные объекты, расположенные на конструкции, считаются абсолютно же­сткими сосредоточенными массами;

• перемещения, возникающие при колебаниях конструк­ции, весьма малы по сравнению с размерами сечений элементов.

Основным параметром динамической системы являет­ся число степеней свободы. Это число независимых друг от друга параметров, однозначно определяющих положе­ние системы в процессе колебаний. Этими параметрами являются упругие перемещения характерных точек систе­мы (сравнить с определением в п. 2.1.2).

Реальные конструкции имеют бесконечное число степе­ней свободы. Для упрощения расчета их динамическое по­ведение описывается с помощью динамических моделей с ограниченным числом степеней свободы. Модель представ­ляет собой систему сосредоточенных (точечных) масс, со­единенных друг с другом невесомыми упругими связями. По такой модели находят перемещения, совершаемые то­чечными массами при колебаниях, и усилия, возникающие в упругих связях, при наиболее низкочастотных формах колебаний конструкции. Количество точечных масс и их степеней свободы зависит от целей расчета и должно соот­ветствовать числу форм колебаний, которые требуется вы­явить для расчета конструкции. Компактные аналитиче­ские решения могут быть получены только для моделей с одной-двумя степенями свободы. Более сложные системы, для динамического анализа которых требуется учитывать большее число форм колебаний, должны рассчитываться МКЭ.

Например, модель балки пролетом Lс тележкой массой , расположенной посередине, для вычисления низшей собственной частоты колебаний может быть одномассовой (рис. 5.1, а). Эта масса располагается в середине пролета и равна сумме приведенной массы балки и массы тележ­ки , которая считается точечной (рис. 5.1, б). Если рас­сматриваются колебания конструкции только в одной плос­кости (масса совершает только вертикальные колебания y₁), то модель имеет одну степень свободы. Жесткость упругой связи с_м соответствует жесткости балки при изги-

Рис. 5.1. Примеры динамических моделей

 

бе ( — прогиб балки от действия единичной силы в центре пролета). Схематичное изображение любой одномассовой модели с одной степенью свободы показано на рис. 5.1, в.

Если же к тележке на упругом подвесе прикреплен груз (рис. 5.1, г), то описание такой системы может потребо­вать создания двухмассовой модели, имеющей две степени свободы, которые характеризуют перемещение массы и перемещение массы груза на гибком под­весе (рис. 5.1, д, е). В результате расчета по такой модели могут быть получены динамические нагрузки в балке и в подвесе.

Модели, в которых в течение рассматриваемого периода геометрия, массы и жесткости элементов системы не меня­ются, называют стационарными. Такой системой являет­ся, например, балка с неподвижной тележкой. Если же на рассматриваемом отрезке времени параметры динамической системы изменяются, как, например, у экскаватора или крана при изменении вылета стрелы с грузом, то систему и описывающие ее модели называют нестационарными. Для упрощения расчета нестационарных систем их рассматри­вают на некотором коротком промежутке времени как ста­ционарные с текущими значениями параметров.

Приведение масс

Замена распределенной массы конструкции дискретны­ми массами выполняется из условия динамической экви­валентности. В качестве критерия эквивалентности ис­ходной системы и дискретной модели используют усло­вие равенства максимальных значений кинетических энер­гий их колебаний при одинаковых амплитудах. Рассмотрим примеры приведения масс для некоторых простейших схем.

1. Построим одномассовую модель с одной степенью сво­боды для двухопорной балки с пролетом Lи равномерно распределенной массой (рис. 5.2, а). Эта модель позволит найти низшую частоту колебаний балки с одной полуволной.

Зависимость перемещений точек балки от времени tпри гармонических колебаниях описывается синусоидальной зависимостью

где у(х) — упругая линия балки с максимальной амплитудой; — круговая частота колебаний.

Скорость движения произвольной точки балки при гар­монических колебаниях

Максимальное смещение точек получается при и имеет значение , а максимальная скорость при

Дискретная модель содержит одну точечную массу т_е, расположенную в середине пролета, которая совершает ко­лебания с той же амплитудой у₀ = z/(0,5L) (рис. 5.2, б). Равенство максимальных кинетических энергий колеблю­щейся распределенной массы и приведенной дискретной массы имеет вид

(5.1)

Подставив сюда находим

(5.2)

 

Полагая, что упругая линия двухопорной балки при ко­лебаниях приближенно описывается синусоидой

из (5.2) найдем

Если упругую линию описывать параболой, то получается , при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке получим . Таким образом, результат достаточно устойчив и мало за­висит от небольших вариаций при описании формы колеба­ний. Для инженерных расчетов принимают .

2. Приведенная масса, расположенная в центре двухопор­ной балки пролетом Lс консолями длиной L_kи равномерно распределенной массой ц (рис. 5.2, в, г) зависит от отношения = L_k/L.При < 0,25 получается . С увеличением коэффициент приведения растет и при = 0,5 достигает значения .

3. Для консольной балки с вылетом Lи равномерно рас­пределенной собственной массой одномассовая модель име­ет приведенную массу т_е на конце балки (рис. 5.2, д, е).

Масса т_е вычисляется по формуле (5.2), в которой сле­дует задать выражение упругой линии балки при колеба­ниях. Если использовать выражение

то получится . При описании упругой линии параболой получится , а при использовании линии прогибов при равномерно распределенной нагрузке — . В инженерных расчетах для консолей постоянного сечения можно принимать .

Для консольных балок с переменной высотой (рис. 5.2,ж), у которых высота к концу консоли уменьшается в два- три раза по сравнению с корнем, можно принимать ( — масса балки). Если сечение к кон­цу консоли уменьшается и по высоте, и по ширине, то .