Закон Био—Савара— Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент d l которого создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля d B, записывается в виде )где d l — вектор, по модулю равный длине d l элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r —радиус-вектор, проведанный из элемента d l проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление d B перпендикулярно d l и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d B, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора d B определяется выражением где a — угол между векторами d l и r.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к вам»). Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a (угол между векторами d l и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости d l равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

Так как угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока (110.5)

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin a =1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

Магнитное поле прямого тока

 Рассчитаем индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечным1 проводником, по которому протекает электрический ток силой I (рис. 436)

Методика расчет остается прежней: мысленно разбиваем проводник на малые участки (IΔl)k. По закону Био-Саварра в произвольной точке A, находящейся на расстоянии R от проводника, произвольный элемент тока создает магнитное поле, вектор индукции которого ΔBk направлен перпендикулярно плоскости, содержащей проводник и рассматриваемую точку (на рис. 436 − перпендикулярно плоскости рисунка), модуль этого вектора равен где rk − расстояние от выбранного участка проводника до точки наблюдения, αk − угол между проводником и направлением от элемента тока до точки наблюдения.
 Договоримся об еще одном общепринятом соглашении. Достаточно часто приходится изображать векторы, перпендикулярные плоскости рисунка. В этом случае эти векторы изображаются в виде (рис. 437):

 

небольшого кружка с точкой в центре, если вектор направлен «на нас» (видно «острие» вектора); кружка с перекрестием, если вектор направлен от нас (видно «оперение» вектора).
 Векторы полей, созданных всеми другими участками проводника, направлены так же, поэтому суммирование векторов в данном случае сводится к суммированию их модулей. Но даже вычислить сумму модулей не просто, так как для различных участков проводника расстояния rk и αk различны. Тем не менее, такое суммирование выполнимо, его результат выражается формулой, определяющей величину индукции магнитного поля бесконечного прямого тока здесь не приведено вычисление последней суммы, которая равна поверьте пока в справедливость полученного выражения, хотя бы потому, что оно имеет богатый физический смысл. Во-первых, эта формула совпадает с выражением для напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной прямой равномерно заряженной нитью; во-вторых, оно соответствует результату опытов А.М. Ампера по изучению взаимодействия параллельных токов. Действительно, если один проводник создает магнитное поле, индукция которого обратно пропорциональна расстоянию до проводника, то на второй проводник действует сила Ампера, пропорциональная индукции поля, то есть обратно пропорциональная расстоянию между проводниками.
 Дадим теперь строгий вывод формулы для суммы, фигурирующей в выражении (2). Проще всего она выводится с помощью операции интегрирования, но здесь мы дадим ее геометрический вывод. Для начала с помощью рис. 436 преобразуем каждое слагаемое этой формулы

 Заметим, что произведение Δlksinαk равно длине отрезка CD, перпендикулярного вектору rk

 Отношение же длины этого отрезка к расстоянию rk для малых длин элементов тока равно малому углу Δak, под которым виден выделенный участок проводника

(точнее, это отношение равно тангенсу угла, который для малых углов равен самому углу, измеренному в радианах). Из того же рисунка следует, что отношение rk/sinαk = R равно расстоянию от точки наблюдения до проводника и не зависит от выбора участка проводника. С учетом этого соотношения и формулы (2) получим

Таким образом, вычисление суммы (2) сводится к вычислению суммы в которой все углы являются малыми (поэтому число слагаемых велико), пусть углы αk изменяются от нуля до некоторого предельного значения αmax.
 Для вычисления этой суммы применим искусственный прием (он встретится нам и в дальнейшем). Возьмем окружность радиуса R и разобьем ее точками Co, C1, C2, …, CN на малые участки, угловой размер каждого равен Δα.
 Хорды, которые образованы точками разбиения будем рассматривать как векторы

 Сумма этих векторов очевидна − это вектор A, соединяющий начальную и конечную точки разбиения окружности:

 

 Теперь, внимание, если справедливо векторное равенство, то справедливо аналогичное выражение для любой проекции этих векторов. Введем декартовую систему координат с началом в центре окружности, ось Ox которой проходит через начальную точку. Длины построенных вписанных векторов равны |αk| = RΔαk (точнее, это длина дуги, но для малых углов, длина стягивающей хорды стремится к длине дуги). Из рис. 438 следует, что проекции этого вектора на оси координат равны, соответственно,

 

 Проецируя равенство (4) на оси координат получим

 

 Проекции суммарного вектора A на оси координат находятся просто

 

Сравнивая выражения (5) и (6) получим искомые формулы

 

 Еще раз подчеркнем, что суммирование в этих формулах проводится в пределах изменения угла от нуля до предельного значения αmax.
 Осталось принять во внимание, что бесконечный прямой проводник виден из любой точки вне его под углом αmax = π, поэтому искомая сумма выражается формулой

 

что и требовалось доказать.
 Оценим длину «бесконечного» в данном случае проводника − во сколько раз длина проводника должна быть больше расстояния до точки наблюдения, что бы погрешность расчета индукции поля по формуле (2), примененной к проводнику конечной длины, была пренебрежимо малой.
Пусть длина прямого проводника равна l, а индукция поля рассчитывается в точке A, находящейся на расстоянии r (считаем, что r << l) от центра проводника (рис. 439).

С помощью полученных формул (7) можно получить точное выражение для индукции поля в рассматриваемой точке

где αo − угол между проводником и направлением на точку наблюдения с конца проводника.
 Если считать проводник бесконечно длинным, то индуктивность поля должна рассчитываться по формуле (которую в данном случае следует считать приближенной)