Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2018-01-04 | 201 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
= или = , =1,2,…, , 1,2,…, .
– элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца.
Определение. Если , то матрица называется квадратнойn -го порядка, в противном случае – прямоугольной.
Элементы , = 1, 2, …, n квадратной матрицы А образуют ее главную диагональ.
Матрица размера 1хn называется матрицей-строкой, а матрица размера – матрицей-столбцом.
Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, то есть
На главной диагонали могут быть любые числа. Если все они равны 1, то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой .
Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.
Действия над матрицами
Сложение и вычитание матриц
Складывать и вычитать можно матрицы одного размера в результате получается матрица того же размера.
Определение. Сложение матриц (сумма матриц) A + B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:
сij = aij + bij
Определение. Вычитание матриц (разность матриц) A - B есть операция вычисления матрицы C, все элементы которой равны попарной разности всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицыC равен:
сij = aij - bij
Примеры задач на сложение и вычитание матриц
|
Умножение матриц
Определение. Результатом умножения матрицA m×nи B n×kбудет матрица C m×kтакая, что элементматрицы C, стоящий в i -той строке и j -том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы A на соответствующие элементы j -того столбца матрицы B:
cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j +... + ain · bnj
Замечание. Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.
Свойства умножения матриц
Примеры на умножение матриц
Пример 1.
Найти матрицу C равную произведению матриц A = | и B = | . | ||||||||
-3 |
Решение:
С = A · B = | · | = | ||||||||||||
-3 |
Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12
c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27
c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9
Пример 2.
Найти матрицу C равную произведению матриц A = |
| и B = |
| . |
Решение:
C = A · B = |
| · |
| = |
|
Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2
c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19
c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15
c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3
c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18
c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23
|
c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4
c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17
Определение. Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:
(aij) T= aji
Определение. Обратная матрица A− 1 - матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:
A·A-1 = A-1·A = E
Обратная матрица для матрицы - го порядка имеет вид:
.
Замечание. Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну.
Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если . Если , то называется вырожденной.
Пример. по свойству 6 определителей, то есть – вырожденная.
, значит, – невырожденная.
Пример. Найти матрицу, обратную для .
=3 существует.
Проверка:
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!