Гипотеза совпадения экспериментального среднего и известного значения.

Задача 1.1. Рассмотрим набор результатов x ₁, x ₂, …, x_n многократного измерения нормально распределенной величины x. Проверяется гипотеза о том, что , где – заданное значение измеряемой величины, равное 10.

 

n	x
	10.52
	10.62
	10.82
	10.91
	10.54
	10.57
	10.92
	10.65
	10.58
	10.26

 

Решение №1:

1. Определим и :

2. Введем новую величину, содержащую как экспериментальное среднее, так и заданное значение:

=10.083

3. При уровне значимости гипотеза о совпадении и подтверждена, если , чему соответствует доверительная вероятность α. При α=0.95:

 

 

4. Заданное значение tне попадает в найденный интервал, гипотезу о совпадении и x₀ нужно расценивать как несправедливую для уровня значимости α=0,95.

 

Решение №2:

1. Определим :

 

2. Найдем интервал возможного изменения величины . Воспользуемся

 

3. Заданное значение x ₀ не попадает в найденный интервал, гипотезу о совпадении и x ₀ нужно расценивать как несправедливую для уровня значимости α=0,95.

 

Гипотезасовпадении двух независимых средних значений

Задача 2.1. Рассмотрим следующую ситуацию. Из двух независимых экспериментов получены две группы результатов многократных измерений x₁, x₂,.......,x_n1 и y₁, y₂,....y_n2 нормально распределенных величин x и y.

 

n	x	y
	10.52	10.54
	10.62	10.51
	10.82	10.84
	10.91	10.45
	10.54	10.56
	10.57	10.23
	10.92	10.42
	10.65	10.74
	10.58	10.69
	10.26	10.85

 

 

Проверяют гипотезу о том, что .

Решение:

4. Определены .

 

5. Введем новую величину:

6. При справедливости равенства для и установлено, что при конечных значениях n₁ и n₂ распределение величины t близко к распределению Стьюдента, у которого:

 

7. При уровне значимости гипотеза о совпадении и подтверждена, если –t(α, n)<= t<= +t(,n), чему соответствует доверительная вероятность α.

8. При α=0.7

 

Гипотеза о линейности данных.

Задача 3.1. После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально зарегистрированная зависимость является линейной.

Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону:

R_t = R₀(1 + αt) = R₀ + R₀αt.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 2).

Таблица 2

n	t, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2
		1.242	-62.8333	3948.028	-78.039	0.007673
		1.326	-26.8333	720.0278	-35.581	-0.00353
		1.386	-1.83333	3.361111	-2.541	-0.00965
		1.417	10.16667	103.3611	14.40617	-0.01039
		1.512	34.16667	1167.361	51.66	0.021141
		1.520	47.16667	2224.694	71.69333	-0.00524
∑		8.403	–	8166.833	21.5985	–
∑/n	85.83333	1.4005	–	–	–	–	–

Решение:

Обратимся к выражению, задающему остаточную сумму квадратов:

где в качестве a и b использованы их экспериментальные оценки.

Величины χ²(n,α) приведены в табл.5: α=0,75, n=5, χ²(n,α)=2.8.

Если неравенство не выполнено, то гипотеза о линейности отвергается. Вместе с тем, возможны другие причины несоблюдения неравенства – необходимо проверить положения, при которых правомерно применение метода наименьших квадратов.

 

Таблица Стьюдента

 

Практическое занятие 6. Статистическая проверка гипотез

Вариант №1

 

Задача 1. Рассмотрим набор результатов x ₁, x ₂, …, x_n многократного измерения нормально распределенной величины x. Проверяется гипотеза о том, что , где – заданное значение измеряемой величины, равное 1.25.

 

x	1.12	1.14	1.85	1.54	1.62	1.14	1.16	1.20	1.23	1.25	1.14	1.26
n

 

Задача 2. Рассмотрим следующую ситуацию. Из двух независимых экспериментов получены две группы результатов многократных измерений x₁, x₂,.......,x_n1 и y₁, y₂,....y_n2 нормально распределенных величин x и y.

 

n	x	y
	1.12	1.11
	1.14	1.51
	1.85	1.45
	1.54	1.58
	1.62	1.16
	1.14	1.41
	1.16	1.68
	1.20	1.02
	1.23	1.06
	1.25	1.07
	1.14	1.16
	1.26	1.20

 

Проверяют гипотезу о том, что .

 

Задача 3. После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально зарегистрированная зависимость является линейной.

Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону:

R_t = R₀(1 + αt) = R₀ + R₀αt.

Свободный член определяет сопротивление R₀ при температуре 0° C, а угловой коэффициент – произведение температурного коэффициента α на сопротивление R₀.

Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 1).

Таблица 1

n	t, c	r, Ом	t-¯ t	(t-¯ t)2	(t-¯ t)r	r - bt - a	(r - bt - a)2
		1.242				0.008
		1.326				-0.04
		1.386				-0.1
		1.417				-0.12
		1.512				0.02
		1.520				-0.06
∑			–			–
∑/n			–	–	–	–	–