Проверка репрезентативности выборки (случайного отбора данных)

 

Если параметры нормальной генеральной совокупности известны нам изначально, критерий χ² может проверить случайный характер нашей выборки. Действительно, репрезентативная (случайная) выборка не должна изменять характера распределения случайной величины.

Будем использовать критерий согласия Пирсона .

Проверяемая гипотеза состоит в том, что выборка 150 изделий имеет нормальное распределение. Уровень значимости выберем равным .

Расчет ведем на листе «Пирсон». Теоретические частоты для рассматриваемого распределения 150 изделий, взятых из генеральной совокупности с μ = 60 и σ = 10, приведены в таблице 8. Порядок вычисления объясняют заголовки каждого из столбцов этой таблицы.

Таблица 8. Расчет теоретических частот для выборки 150 изделий, взятых из нормальной генеральной совокупности (μ=60; σ=10; n=150;ΔX=6,5)

Диапазон	Интеграл вероятности	Первая разность	Частота
....				0,0006298	0,0944795
27,75	-3,225	0,000629863
	27,75	-3,225	0,000629863	0,0043821	0,6573211
34,25	-2,575	0,005012004
37,5	34,25	-2,575	0,005012004	0,0221026	3,3154012
40,75	-1,925	0,027114679
	40,75	-1,925	0,027114679	0,0740399	11,105991
47,25	-1,275	0,101154621
50,5	47,25	-1,275	0,101154621	0,1648309	24,724636
53,75	-0,625	0,265985529
	53,75	-0,625	0,265985529	0,2439869	36,598048
60,25	0,025	0,509972518
63,5	60,25	0,025	0,509972518	0,2401895	36,02843
66,75	0,675	0,750162118
	66,75	0,675	0,750162118	0,1572523	23,587846
73,25	1,325	0,907414424
76,5	73,25	1,325	0,907414424	0,0684515	10,267725
79,75	1,975	0,975865926
	79,75	1,975	0,975865926	0,0198016	2,9702438
86,25	2,625	0,995667552
....	86,25	2,625	0,995667552	0,0043324	0,6498672
Сумма	0,9993701	149,90552

Значения в первой и последней строчках 2 и 3-го столбцов равны соответственно -∞ и +∞, так как нормальное распределение теоретически простирается от -∞ до +∞. Числа, указанные в 4-м столбце, получены с помощью функции «НОРМСТРАСП». В 6-м столбце приведены первые разности.

Вычисление значения χ²=4,583 проведено в таблице 9. В этой таблице показаны восемь групп (интервалов), то есть на три группы меньше, чем в таблице 8. Сокращение числа групп осуществлено за счёт объединения первых трех, а также двух последних групп. Это сделано потому, что значения m^* в первых трех и последних двух группах весьма малы. Существует правило, указывающее, что критерий χ² может применяться в тех случаях, когда каждая теоретическая группа содержит по крайней мере пять наблюденных значений, а общее количество наблюденных значений составляет по крайней мере 50. Введение этих ограничений имеет целью гарантировать, что распределение наблюденных значений m_i относительно значений теоретических частот будет настолько близко к нормальному, что применение при оценке вероятностей таблиц для χ² будет вполне обоснованным.

Таблица 9. Вычисление критерия χ²

Границы теоретических интервалов	m	m*	m - m*	(m - m*)2
- ÷ 40,75		4,067	0,93279813	0,871	0,214
40,75 ÷ 47,25		11,106	0,89400872	0,799	0,072
47,25 ÷ 53,75		24,724	-8,72463621	76,11	3,079
53,75 ÷ 60,25		36,598	3,40195163	11,57	0,316
60,25 ÷ 66,75		36,028	-1,0284399	1,06	0,029
66,75 ÷ 73,25		23,588	4,41215398	19,47	0,825
73,25 ÷ 79,75		10,268	-0,26772525	0,07	0,007
79,75 ÷		3,620	0,3798889	0,14	0,040
Всего		150,00		110,10	4,583

 

Хотя таблица 9 содержит восемь групп, имеется только семь степеней свободы (ν=R–1=8–1=7), так как на теоретические частоты накладывается одно ограничение: . Воспользовавшись функцией ХИ2ОБР(a; ) для a=0,05 и ν=7, находим: 14,07.

 

Итак, область принятия проверяемой гипотезы будет определяется соотношением χ² < 14,07, а область отклонения – соотношением χ² ≥ 14,07. Так как вычисленное значение χ² составляет 4,583, то оно попадает в область принятия, в связи с чем можно принять гипотезу о том, что выборка имеет нормальное распределение, т.е. осуществлялась по случайному закону.

 

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Генеральной совокупности

Рассмотрим теперь ситуацию, как будто бы нам изначально не были известны параметры распределения генеральной совокупности, но можно считать, что выборка взята по случайному закону.

В этом случае появляется возможность проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность является нормальной. При этом снова примем α = 0,05.

Так как параметры µ и s основного распределения теперь нам неизвестны, используем совместные оценки максимума правдоподобия, исчисленные на основании группировки (таблица 3). Такими оценками являются выборочная средняя для математического ожидания μ и исправленная выборочная дисперсия для дисперсии . По формулам и , находим: ; 10,62

В таблице 10, рассчитанной на листе «Пирсон 2» аналогично таблице 8, показано вычисление теоретических частот, а из таблицы 11 (аналог таблицы 9) по формуле находим χ² = 4,59.

Таблица 10. Вычисление нормальных частот для выборки 150 изделий с параметрами: 60,38; 10,62

Диапазон	Интеграл вероятности	Первая разность	Частота
....	-	-		0,00106135	0,15920286
27,75	-3,073	0,00106135
	27,75	-3,073	0,00106135	0,00587675	0,88151319
34,25	-2,460	0,00693811
37,5	34,25	-2,460	0,00693811	0,0253342	3,80012951
40,75	-1,848	0,03227230
	40,75	-1,848	0,03227230	0,07589259	11,3838885
47,25	-1,236	0,10816489
50,5	47,25	-1,236	0,10816489	0,15805244	23,7078658
53,75	-0,624	0,26621733
	53,75	-0,624	0,26621733	0,22889932	34,3348973
60,25	-0,012	0,49511665
63,5	60,25	-0,012	0,49511665	0,23056748	34,5851215
66,75	0,600	0,72568412
	66,75	0,600	0,72568412	0,16153373	24,2300597
73,25	1,212	0,88721786
76,5	73,25	1,212	0,88721786	0,07869984	11,8049766
79,75	1,824	0,96591770
	79,75	1,824	0,96591770	0,02665634	3,99845091
86,25	2,436	0,99257404
....	86,25	2,436	0,99257404	0,00742596	1,11389412
Сумма

 

Таблица 11. Вычисление χ² для выборки 150 изделий с параметрами: 60,38; 10,62

Границы теоретических интервалов	m	m*	m - m*	(m - m*)2
- ÷ 40,75		4,84084	0,15915443	0,025330	0,00523258
40,75 ÷ 47,25		11,3838	0,61611151	0,379593	0,03334479
47,25 ÷ 53,75		23,7078	-7,70786578	59,41119	2,50596977
53,75 ÷ 60,25		34,3348	5,66510268	32,09338	0,93471631
60,25 ÷ 66,75		34,5851	0,41487848	0,172124	0,00497683
66,75 ÷ 73,25		24,2300	3,76994035	14,21245	0,58656274
73,25 ÷ 79,75		11,8049	-1,80497664	3,257940	0,27598027
79,75 ÷		5,11234	-1,11234503	1,237311	0,24202425
Всего		150,00	-2,6645E-15	110,7893	4,58880754

 

При этой проверке критерий χ² имеет 5 степеней свободы, а 3 степени свободы потеряны, так как согласование наблюденных и теоретических частот осуществлялось из трёх условий:

; ; .

Это означает, что из 8 групповых частот любые пять можно взять случайно или произвольно, но выбор 3-х остальных групповых частот нельзя осуществлять произвольно, т.к. наблюденные и теоретические распределения должны иметь одинаковые количество элементов, средние и стандартные отклонения.

Воспользовавшись функцией ХИ2ОБР(a; ), находим 11,07. Значит, область принятия определяется соотношением χ² < 11,07.

Так как вычисленное значение 4,59 лежит в области принятия, гипотеза Н₀, что генеральная совокупность, из которой взята эта случайная выборка, является нормальной, не отвергается.