Сложение в шестнадцатеричной системе — КиберПедия 

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Сложение в шестнадцатеричной системе



При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

 


Пример 2.1

Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная: 1510+610 Двоичная: 11112+1112 Восьмеричная: 178+68
  Шестнадцатеричная: F16+616   Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.    
           

Пример 2.2Сложим числа 15, 7 и 3.

Десятичная: 1510+710+310 Двоичная: 11112+1112+112 Восьмеричная: 178+78+38

 

Шестнадцатеричная: F16+716+316 Ответ: 15+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

Пример 2.3Сложим числа 141,5 и 59,75.

Десятичная: 141,510+59,7510 Двоичная: 10001101,12+111011,112
Восьмеричная: 215,48+73,68 Шестнадцатеричная: 8D,816+3B,C16

 

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,012 = 27 + 26 + 23 + 20 + 2-2 = 201,25

311,28 = 3*82 + 1*81 + 1*80 + 2.8-1 = 201,25

C9,416 = 12*161 + 9*160 + 4*16-1 = 201,25

Пример 2.4 Сложить двоичныечисла 11012 и 110112.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 5 4 3 2 1

+ 1 1 0 12

1 1 0 1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 02 + 12 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 12 + 02 + 12 = 102, где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 + 12 = 112, где третья 12 – единица переноса; 1остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 12 + 12 = 102; где вторая 12 – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

+ 1 1 0 12

1 1 0 1 12

10 1 0 0 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13;

110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20 = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 2.5 Сложить шестнадцатеричныечисла 1С16 и 7В16.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

+ 1 С16

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):



а) разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 – единица переноса.

Таким образом:

+ 1 С16

7 В16

9 716.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28;

16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123;

9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Вычитание

Пример 2.6Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

 

Двоичная: 102-12 Восьмеричная: 108-18 Шестнадцатеричная: 1016-116

Пример 2.7

Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

Двоичная: 1002-12 Восьмеричная: 1008-18 Шестнадцатеричная: 10016-116

Пример 2.8Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Десятичная: 201,252– 59,752 Двоичная: 11001001,012 – 111011,112

 

Восьмеричная: 311,28 – 73,68 Шестнадцатеричная: С9,416– 3В,С16

 

Ответ: 201,2510 - 59,7510 = 141,510 = 10001101,12 = 215,48 = 8D,816.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,12 = 27 + 23 + 22 + 20 + 2-1 = 141,5;

215,48 = 2*82 + 1*81 + 5*80 + 4*8-1 = 141,5;

8D,816 = 8*161 + D*160 + 8*16-1 = 141,5.

Пример 2.9Вычесть из двоичногочисла 1012двоичноечисло 112.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

- 1 0 12

1 12

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 12 – 12 = 02;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 102 – 12 = 12;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.



 

Таким образом:

- 1 0 12

1 12

1 02.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. Имеем:

1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 2.10Вычесть из шестнадцатеричногочисла 9716шестнадцатеричноечисло 7В16.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

- 9 716

7 В16

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 716< В16 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 – В16 = 23 – 11 = 12 = С16;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 816 – 716 = 116.

Таким образом:

- 9 716

7 В16

1 С16.

Для проверки результата используем данные из примера 3.17.

Таким образом, вычитание выполнено верно.

 

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 2.11 Перемножим числа 5 и 6.

Десятичная: 510*610 Двоичная: 1012*1102 Восьмеричная: 58*68

Ответ:5*6 = 3010 = 111102 = 368.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;

368 = 3*81 + 6*80 = 30.

 

Пример 2.12Перемножим числа 115 и 51.

Десятичная: 11510*5110 Двоичная: 11100112*1100112 Восьмеричная: 1638*638

 

Ответ:115*51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;

133518 = 1*84 + 3*83 + 3*82 + 5*81 + 1*80 = 5865

Пример 2.13Умножить двоичноечисло 1012 на двоичноечисло 112.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

* 1 0 12

1 12

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 3.1):

1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.

Пимер 2.14Умножить шестнадцатеричноечисло 1С16 на шестнадцатеричноечисло 7В16.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

* 1 С16

7 В16

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 706 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа:

16 = 28; 7В16 = 123;

D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 2.15Разделим число 30 на число 6.

Десятичная: 3010: 610 Двоичная: 111102 : 1102 Восьмеричная: 368 : 68

Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

 

Пример 2.16 Разделим число 5865 на число 115.

Десятичная: 586510: 11510 Двоичная: 10110111010012 : 11100112 Восьмеричная: 1335188 : 1638

Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

1100112 = 25 + 24 + 21 + 20 = 51;

638 = 6*81 + 3*80 = 51.

Пример 2.17Разделим число 35 на число 14.

Десятичная: 3510: 1410 Двоичная: 1000112 : 11102 Восьмеричная: 438 : 168

Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;

2,48 = 2*80 + 4*8-1 = 2,5.

Пример 2.18Разделить двоичноечисло 11112 на двоичноечисло 112.

Решение задачи представим схемой:

-11112 112

112 1012

-0112

112

02

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.

 

Задания для самостоятельного выполнения

Выполните сложение:

Двоичная система счисления а)10011(2)+1011(2); б) 110010,101(2)+1011010011,01(2); в)1000001101(2)+1100101000(2); г)1100111,00101(2)+101010110,011(2); Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а) 764(8)+ 365(8); б) 14(8)+ 8(8) + 4(8); в) 38,D(16)+8C,B(16); г)E(16)+6(16) + F(16).  

 

Выполните вычитание:


Двоичная система счисления а) 1101000101(2)-111111000(2); б)1011101011,001(2)-1011001000,01001(2); в) 1010110010(2)-1000000000(2); г) 1101001010,101(2)-1100111000,011(2).   Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а)2025,2(8) - 131,2((8); б) 137(8)- 64(8); в) 2D8,4(16)- А3,B(16); г)416,3(16)- 255,3(16).

Выполните умножение:

Двоичная система счисления а)1100110(2)* 1011010(2); б) 1101101,01(2)* 101010,001(2); в) 10101,111(2)* 11010(2); г) 11001,11110(2)* 1011100,1(2). Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а)1723,2(8)*15,2 ((8); б)2001,6 (8)*125,2 (8); в) 54,3( (16)*9,6 (16); г)2C,4 (16)*12,98 (16).

 

Выполните деление:

Двоичная система счисления а)1111(2) : 101(2); б) 1100,011(2) : 10,01(2); в) 1111(2) : 100(2); г) 1001011(2) : 101(2).   Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а) 571(8) : 8((8); б) 174(8) : 14((8); в) 7467(16): 16(16); г)В3(16): 16(16).

Примечание.Проверьте правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления.

 

 


Глава 3






Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.021 с.