Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

 

Пример 2.1

Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Десятичная: 1510+610	Двоичная: 11112+1112	Восьмеричная: 178+68
	Шестнадцатеричная: F16+616	Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 258 = 2*81 + 5*80 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1*161 + 5*160 = 16+5 = 21.

Пример 2.2 Сложим числа 15, 7 и 3.

Десятичная: 1510+710+310	Двоичная: 11112+1112+112	Восьмеричная: 178+78+38

 

Шестнадцатеричная: F16+716+316

Ответ: 15+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 24 + 23 + 20 = 16+8+1=25, 318 = 3*81 + 1*80 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1*161 + 9*160 = 16+9 = 25.

Пример 2.3 Сложим числа 141,5 и 59,75.

Десятичная: 141,510+59,7510	Двоичная: 10001101,12+111011,112
Восьмеричная: 215,48+73,68	Шестнадцатеричная: 8D,816+3B,C16

 

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25

311,2₈ = 3 ^* 8² + 1*8¹ + 1 ^* 8⁰ + 2 ^. 8^-1 = 201,25

C9,4₁₆ = 12 ^* 16¹ + 9 ^* 16⁰ + 4 ^* 16^-1 = 201,25

Пример 2.4 Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 5 4 3 2 1

₊ 1 1 0 1₂

1 1 0 1 1₂

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 0₂ + 1₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

в) третий разряд формируется следующим образом: 1₂ + 0₂ + 1₂ = 10₂, где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

г) четвертый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂, где третья 1₂ – единица переноса; 1остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

д) пятый разряд формируется следующим образом: 1₂ + 1₂ = 10₂; где вторая 1₂ – единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Таким образом:

₊ 1 1 0 1₂

1 1 0 1 1₂

10 1 0 0 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13;

11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 32 + 8 = 40.

Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.

Пример 2.5 Сложить шестнадцатеричные числа 1С₁₆ и 7В₁₆.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

₊ 1 С₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):

а) разряд 1 формируется следующим образом: С₁₆ + В₁₆ = 12 + 11 = 23 = 17₁₆; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;

б) разряд 2 формируется следующим образом: 1₁₆ + 7₁₆ + 1₁₆ = 9₁₆, где вторая 1₁₆ – единица переноса.

Таким образом:

₊ 1 С₁₆

7 В₁₆

9 7₁₆.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата:

1С₁₆ = 1*16¹ + 12*16⁰ = 16 + 12 = 28;

7В₁₆ = 7*16¹ + 11*16⁰ = 112 + 11 = 123;

97₁₆ = 9*16¹ + 7*16⁰ = 144 + 7 = 151.

Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.

Вычитание

Пример 2.6 Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

 

Двоичная: 102-12	Восьмеричная: 108-18	Шестнадцатеричная: 1016-116

Пример 2.7

Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆.

Двоичная: 1002-12	Восьмеричная: 1008-18	Шестнадцатеричная: 10016-116

Пример 2.8 Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Десятичная: 201,252– 59,752	Двоичная: 11001001,012 – 111011,112

 

Восьмеричная: 311,28 – 73,68	Шестнадцатеричная: С9,416– 3В,С16

 

Ответ: 201,25₁₀ - 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^-1 = 141,5;

215,4₈ = 2 ^* 8² + 1 ^* 8¹ + 5 ^* 8⁰ + 4 ^* 8^-1 = 141,5;

8D,8₁₆ = 8 ^* 16¹ + D ^* 16⁰ + 8 ^* 16^-1 = 141,5.

Пример 2.9 Вычесть из двоичного числа 101₂ двоичное число 11₂.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

_- 1 0 1₂

1 1₂

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: 1₂ – 1₂ = 0₂;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 < 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10₂ – 1₂ = 1₂;

в) третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.

 

Таким образом:

_- 1 0 1₂

1 1₂

1 0₂.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. Имеем:

101₂ = 5; 11₂ = 3; 10₂ = 2.

Поскольку 5 – 3 = 2, вычитание выполнено верно.

Пример 2.10 Вычесть из шестнадцатеричного числа 97₁₆ шестнадцатеричное число 7В₁₆.

Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке «уменьшаемое – вычитаемое» и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

_- 9 7₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по разрядам описан ниже:

а) разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7₁₆< В₁₆ и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 17₁₆ – В₁₆ = 23 – 11 = 12 = С₁₆;

б) разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 8₁₆. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8₁₆ – 7₁₆ = 1₁₆.

Таким образом:

_- 9 7₁₆

7 В₁₆

1 С₁₆.

Для проверки результата используем данные из примера 3.17.

Таким образом, вычитание выполнено верно.

 

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе

Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 2.11 Перемножим числа 5 и 6.

Десятичная: 510*610	Двоичная: 1012*1102	Восьмеричная: 58*68

Ответ: 5*6 = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30;

36₈ = 3*8¹ + 6*8⁰ = 30.

 

Пример 2.12 Перемножим числа 115 и 51.

Десятичная: 11510*5110	Двоичная: 11100112*1100112	Восьмеричная: 1638*638

 

Ответ: 115*51 = 5865₁₀ = 1011011101001₂ = 13351₈.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

1011011101001₂ = 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2³ + 2⁰ = 5865;

13351₈ = 1*8⁴ + 3*8³ + 3*8² + 5*8¹ + 1*8⁰ = 5865

Пример 2.13 Умножить двоичное число 101₂ на двоичное число 11₂.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 3 2 1

_* 1 0 1₂

1 1₂

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 101₂ * 1₂ = 101₂;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 101₂ * 10₂ = 1010₂. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 101₂ + 1010₂ = 1111₂.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. табл. 3.1):

101₂ = 5; 11₂ = 3; 1111₂ = 15.

Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 101₂ * 11₂ = 1111₂.

Пимер 2.14 Умножить шестнадцатеричное число 1С₁₆ на шестнадцатеричное число 7В₁₆.

Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

номера разрядов: 2 1

_* 1 С₁₆

7 В₁₆

Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):

а) умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С₁₆ * В₁₆ = 28 * 11 = 308 = 134₁₆;

б) умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С₁₆ * 70₆ = 28 * 112 = 3136 = С40₁₆. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;

в) для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 134₁₆ + С40₁₆ = D74₁₆.

Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа:

1С₁₆ = 28; 7В₁₆ = 123;

D74₁₆ = 13*16² + 7*16¹ + 4*16⁰ = 3444.

Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С₁₆ * 7В₁₆ = D74₁₆.

Деление

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 2.15 Разделим число 30 на число 6.

Десятичная: 3010: 610	Двоичная: 111102: 1102	Восьмеричная: 368: 68

Ответ: 30: 6 = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

 

Пример 2.16 Разделим число 5865 на число 115.

Десятичная: 586510: 11510	Двоичная: 10110111010012: 11100112	Восьмеричная: 1335188: 1638

Ответ: 5865: 115 = 51₁₀ = 110011₂ = 63₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

110011₂ = 2⁵ + 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 51;

63₈ = 6*8¹ + 3*8⁰ = 51.

Пример 2.17 Разделим число 35 на число 14.

Десятичная: 3510: 1410	Двоичная: 1000112: 11102	Восьмеричная: 438: 168

Ответ: 35: 14 = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5;

2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5.

Пример 2.18 Разделить двоичное число 1111₂ на двоичное число 11₂.

Решение задачи представим схемой:

_-1111₂ 11₂

11₂ 101₂

_-011₂

11₂

0₂

Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 1111₂ / 11₂ = 101₂.

 

Задания для самостоятельного выполнения

Выполните сложение:

Двоичная система счисления а)10011(2)+1011(2); б) 110010,101(2)+1011010011,01(2); в)1000001101(2)+1100101000(2); г)1100111,00101(2)+101010110,011(2);

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а) 764(8)+ 365(8); б) 14(8)+ 8(8) + 4(8); в) 38,D(16)+8C,B(16); г)E(16)+6(16) + F(16).

 

Выполните вычитание:

Двоичная система счисления а) 1101000101(2)-111111000(2); б)1011101011,001(2)-1011001000,01001(2); в) 1010110010(2)-1000000000(2); г) 1101001010,101(2)-1100111000,011(2).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а)2025,2(8) - 131,2((8); б) 137(8)- 64(8); в) 2D8,4(16)- А3,B(16); г)416,3(16)- 255,3(16).

Выполните умножение:

Двоичная система счисления а)1100110(2)* 1011010(2); б) 1101101,01(2)* 101010,001(2); в) 10101,111(2)* 11010(2); г) 11001,11110(2)* 1011100,1(2).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а)1723,2(8)*15,2 ((8); б)2001,6 (8)*125,2 (8); в) 54,3( (16)*9,6 (16); г)2C,4 (16)*12,98 (16).

 

Выполните деление:

Двоичная система счисления а)1111(2): 101(2); б) 1100,011(2): 10,01(2); в) 1111(2): 100(2); г) 1001011(2): 101(2).

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления а) 571(8): 8((8); б) 174(8): 14((8); в) 7467(16): 16(16); г)В3(16): 16(16).

Примечание. Проверьте правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления.

 

 

Глава 3