Первичная обработка результатов измерений

Получение выборки измерений

 

Имеется персональный компьютер (Core 2 duo e6300). В качестве измеряемой случайной величины выбрано время включения браузера Mozilla Firefox 4.0. Измерения проводятся 46 раз. Полученные результаты измерений приведены в табл. 2.

Выборка измерений

Таблица 1

№ измерения	Время включения компьютера, с	№ Измерения	Время включения компьютера, с
	5.21		1.99
	4.19		2.35
	2.14		2.29
	3.25		5.00
	2.24		8.12
	5.00		3.41
	2.17		1.58
	9.01		4.25
	4.15		3.21
	3.07		5.69
	4.47		4.87
	3.60		5.18
	7.41		6.27
	2.25		4.23
	6.55		3.27
	2.41		2.67
	1.95		5.58
	3.27		7.52
	4.10		8.32
	5.14		3.01
	3.17		2.29
	4.23		5.03
	5.87		7,29

В соответствии с номером варианта объем выборки n = 46, уровень значимости α = 0,01.

 

 

 

 

Первичная обработка результатов измерений

Построение вариационного ряда

Строим вариационный ряд, т.е. упорядочиваем элементы выборки x ₁,…, x _n в порядке неубывания. Полученный вариационный ряд представлен в табл.2 "Вариационный ряд ".

Вариационный ряд

Таблица 2

№ измерения	Время генерации, с*10-4	№ Измерения	Время генерации, с*10-4
	1,58		4,19
	1,95		4,23
	1,99		4,23
	2,14		4,25
	2,17		4,47
	2,24		4,87
	2,25
	2,29
	2,29		5,03
	2,35		5,14
	2,41		5,18
	2,67		5,21
	3,01		5,58
	3,07		5,69
	3,17		5,87
	3,21		6,27
	3,25		6,55
	3,27		7,29
	3,27		7,41
	3,41		7,52
	3,6		8,12
	4,1		8,32
	4,15		9,01

 

 

Исключение грубых ошибок измерений

Выполним проверку выборки измерений на наличие грубых ошибок измерений. Для этого:

1. На основе данных об уровне значимости α =0,01 и начальном объеме выборки n =46 из таблицы по входам n и α выбираем значение t _α=2,77.

2. Определим значения минимального и максимального элементов выборки, подлежащие проверке:

x ₍₁₎ = x _min =1,58,

x _(n) = x _max = 9,01.

3. Находим выборочное среднее: = = 4,31.

4. Находим значение параметра s: s = = 1,916.

5. Выполняем проверку минимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним - st _α=-0,999 c x _min=1,58, x _min> - st _α,следовательно, х _min= 1,58 не является грубой ошибкой.

6. Выполняем проверку максимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним + st _α =9,619 с x _max=9,01, x _max> +st_α, следовательно, x _max=9,01 является грубой ошибкой и удаляется из выборки.

Теперь n=45, t _α=2,762. x _min=1,58, x _max=8,32.

Рассчитаем заново = = 4,205,

s = = 1,801.

Выполняем проверку минимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним - st _α= -0,768 c x _min=1,58, x _min> - st _α,следовательно, х _min=1,58 не является грубой ошибкой.

Выполняем проверку максимального элемента вариационного ряда на грубую ошибку. Сравним + st _α =9,18 с x _max= 8,32, x _max< +st_α, следовательно, x _max=8,32 не является грубой ошибкой и остается в выборке.

Расчеты по данному алгоритму приведены в Приложении 1.

После выполнения алгоритма выявления грубых ошибок объем выборки становится: n =45. Соответственно изменились и s.

 

Построение статистического ряда

Находим размах выборки:

r = х _max- x _min=8,32-1,58=6,74.

Находим количество разрядов (интервалов) q= √45≈7, длину интервала делаем одинаковой:

l _i = r/q = 6,74/7 =0,962.

Выделяем представителей разрядов и подсчитываем число элементов выборки n _j, попавших в j -й разряд (интервал). Рассчитываем относительную частоту попадания элементов в разряды, т. е. относительные частоты разрядов p _j^* статистического ряда:

p _j^* = n _j / n, (j = ).

На основе относительных частот рассчитываем плотность относительной частоты для каждого разряда по формуле:

= , (j = ),

здесь – длина j -го разряда.

Результаты расчетов, приведенные в приложении 3 «Статистический ряд», сводим в таблицу 3.

Статистический ряд

Таблица 3

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542;3,504	3,504;4,466	4,466;5,428	5,428;6,39	6,39;7,352	7,352;8,314
Длина интервала	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962
Частота интервала
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
Плотность относительной частоты =	0,259875	0,212625	0,165375	0,189	0,0945	0,04725	0,070875
Середина интервала	2,061	3,023	3,985	4,947	5,909	6,871	7,833

Кумулятивная ломаная

Кумулятивную ломаную (вторую оценку функции распределения) строим по формулам:

F** (x ) = 0,

F** (x ) = p ,

F** (x ) = p + p ,

……………………

F** (x ) = p + p + … + p ,

где = 1.

Результаты расчетов для построения кумулятивной ломаной из таблицы приложения 2 занесем в табл.4.

 

Таблица 4

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542; 3,504	3,504; 4,466	4,466; 5,428	5,428; 6,39	6,39; 7,352	7,352; 8,314
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
F **(x)	0,25	0,454545	0,613636	0,795455	0,886364	0,931818

 

График кумулятивной ломаной представлен на рис.2.

Рис.2.Кумулятивная ломаная

Гистограмма

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною , а высота равна отношению = (плотность относительной частоты). Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Учитывая свойство плотности распределения можно записать:

P (x ^j-1 X < x ^j) = f ( _j)* l _j, (j =0, q), где l _j – длина j -го интервала, f ( _j)- средняя на интервале l _j плотность распределения f (x).

Заменяя P (x ^j X < x ^j+1) частотой p ^*_j статистического ряда, получим следующее выражение для приближенного значения f ^*_j плотности распределения на разряде I _j:

f ^*_j= p ^*_j/ l _j, j =1, q.

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим образом: на оси Оx отложим длины разрядов и на них, как на основаниях, построим прямоугольники, имеющие площадь p ^*_j и высоту равную f ^*_j (см. рис.3).

Используем данные из табл. 3. “Статистический ряд” для построения оценок плотности распределения f (x).

Первый способ построения гистограммы: на основе относительных частот. Для построения статистических оценок плотности распределения используем таблицу статистического ряда (табл. 3).

Рис.3.Оценка плотности распределения, построенная по относительным частотам

Существует еще один способ построения гистограммы. Аналогично первому способу отложим на оси ОХ разряды (границы интервалов) из таблицы статистического ряда и на каждом i -ом интервале построим прямоугольник высотой y_i: y_i=n_j. Данная гистограмма приведена на рис.4.

Рис.4. Оценка плотности распределения, построенная по частотам n_j.

Данные для построения плотности распределения приведены в Приложении 2 (Интервальная таблица).

Полигон частот

Построим полигон частот – вторую оценку плотности распределения f (x). Полигон относительных частот строится по точкам (, ), j = (рис. 5)

Рис.5. Полигон относительных частот

Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны (, n _j), j = (см. рис. 6).

Рис.6. Полигон частот

Критерий согласия χ² Пирсона

 

В качестве оценок параметров нормального закона примем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии:

=4,205, =3,244.

Алгоритм проверки гипотезы:

1. Провести измерения X и получить выборку x ⁿ;

2. Построить вариационный ряд;

3. Исключить грубые ошибки;

4. Определить число интервалов ;

5. Определить границы интервалов;

6. Определить количество элементов попадающих в интервал;

7. Задать гипотезу о плотности распределения f₀ (x);

8.Определить вероятность попадания случайной величины в полуинтервал

(x^j-1_; x^j), равную p_j: _j,

где - середина l _j,

l _j– длина интервала.

9.Рассчитать значение реализации статистики проверки гипотезы:

, где q –количество интервалов;

10.Задать уровень значимости α;

11.С помощью таблиц распределения Пирсона, по входам α и k = q - r -1 определить , здесь r – количество параметров предполагаемого закона распределения;

12.Принять или отклонить гипотезу по правилу:

если < , гипотеза принимается

если > , гипотеза отклоняется

 

Расчет значения функции f ₀(x) будем проводить по формуле:

, используя при этом встроенную функцию MS Excel НОРМРАСП, параметры которой соответственно равны значению , точечной оценке математического ожидания , точечной оценке среднеквадратического отклонения , четвертый параметр равен 0, что соответствует возвращению функцией значения плотности распределения нормального закона распределения.

Зададим вероятность, а =0,01 практически невозможного события, заключающегося в том, что сумма относительных отклонений оценки плотности распределения от значения функции плотности распределения, принятой в качестве гипотезы, не превзойдет значения . Если выполняется условие: < , то гипотеза принимается.

Значение параметра , возьмем из таблицы распределения ² Пирсона, исходя из значений вероятности a и числа степеней свободы k = q-r -1, где r- количество параметров предполагаемого закона распределения.

После расчета реализации статистики проверки статистической гипотезы о нормальном распределении (наблюдаемого значения критерия), получили _набл=17,781, которое превышает значение параметра =13,2767. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки не принимается.

Результаты расчетов приведены в Приложении 5.

 

 

 

Выводы

 

В результате выполненных расчетов было установлено следующее:

1. При проведении опыта были выявлены грубые ошибки измерений:9,01 с.

2. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии соответственно равны:

=4,205;

=3,244;

3. В результате проведенной проверки соответствия закона распределения случайной величины времени включения браузера Mozilla Firefox 4.0 по нормальному закону, было установлено, что с вероятностью = 0,99 практически достоверного события выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины по критерию Колмогорова, но не согласуется по критерию Пирсона. Следовательно, нужно увеличить объем выборки и провести измерения заново.

Список литературы

 

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 6-е, стер. – М.: Высш. шк., 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов.-8-е изд., стер.- М.: Машиностроение, 2002.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика: Учеб. пособие для втузов.- М.: Высш. шк., 1984.

4. Кожевников Ю.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М.: Машиностроение, 2002.

5. Ю. В. Кожевников «Введение в математическую статистику» КГТУ им. А. Н. Туполева, 1996.

6. Роднищев Н.Е. Курс теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001.

Приложения

Приложение 1. Исключение грубых ошибок

1 этап

Вариационный ряд

№	Xi	(Xi-Xcр)^2
	1,58	7,454087
	1,95	5,57062613
	1,99	5,38340874
	2,14	4,70984353
	2,17	4,58053048
	2,24	4,28580005
	2,25	4,2444957
	2,29	4,08127831
	2,29	4,08127831
	2,35	3,84245222
	2,41	3,61082613
	2,67	2,69031309
	3,01	1,69056526
	3,07	1,53813918
	3,17	1,3000957
	3,21	1,21047831
	3,25	1,12406092
	3,27	1,08205222
	3,27	1,08205222
	3,41	0,81039135
	3,6	0,50440874
	4,1	0,04419135
	4,15	0,02566961
	4,19	0,01445222
	4,23	0,00643483
	4,23	0,00643483
	4,25	0,00362613
	4,47	0,02553048
	4,87	0,31335657
		0,47580005
		0,47580005
	5,03	0,518087
	5,14	0,68853918
	5,18	0,75652179
	5,21	0,80960874
	5,58	1,61234787
	5,69	1,90380005
	5,87	2,43292179
	6,27	3,84074787
	6,55	5,01662613
	7,29	8,8791044
	7,41	9,60865222
	7,52	10,3027044
	8,12	14,5144435
	8,32	16,0783566
	9,01	22,0879566
X ср	4,310217	n=
Параметр s	1,916704
Xср-s*tα	-0,99905	Xmin>Xср-s*tα
Xср+s*tα	9,619487	1,58 > -0,997 Xmin не является грубой ошибкой
tα(при а=0,01)	2,77	Xmax>Xср+s*tα
∑(xi-xср)	165,3189	9,63 >9,617 Xmax является грубой ошибкой
Xmin=	1,58
Xmax=	9,01

2 этап

Вариационный ряд

№	Xi	(Xi-Xcр)^2
	1,58	6,894709
	1,95	5,088533
	1,99	4,909671
	2,14	4,267438
	2,17	4,144391
	2,24	3,864282
	2,25	3,825067
	2,29	3,670204
	2,29	3,670204
	2,35	3,443911
	2,41	3,224818
	2,67	2,358613
	3,01	1,429884
	3,07	1,289991
	3,17	1,072836
	3,21	0,991573
	3,25	0,913511
	3,27	0,87568
	3,27	0,87568
	3,41	0,633262
	3,6	0,366967
	4,1	0,011189
	4,15	0,003111
	4,19	0,000249
	4,23	0,000587
	4,23	0,000587
	4,25	0,001956
	4,47	0,069813
	4,87	0,441191
		0,630789
		0,630789
	5,03	0,679342
	5,14	0,872771
	5,18	0,949109
	5,21	1,008462
	5,58	1,888487
	5,69	2,202916
	5,87	2,769636
	6,27	4,261013
	6,55	5,495378
	7,29	9,512427
	7,41	10,26704
	7,52	10,98407
	8,12	15,32114
	8,32	16,92682
X ср	4,205778	n=
Параметр s	1,801137
Xср-s*tα	-0,76896	Xmin>Xср-s*tα
Xср+s*tα	9,180517	1,58 > -0,76896 Xmin не является грубой ошибкой
tα(при а=0,01)	2,762	Xmax<Xср+s*tα
∑(xi-xср)	142,7401	8,32 <9,1805 Xmax не является грубой ошибкой
Xmin=	1,58
Xmax=	8,32
δ^2=	3,244093

 

Приложение 2. Интервальная таблица

Номер интервала
Границы интервалов	1,58;2,542	2,542;3,504	3,504;4,466	4,466;5,428	5,428;6,39	6,39;7,352	7,352;8,314
Длина интервала	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962	0,962
Частота интервала
Относительная частота интервалов	0,25	0,204545	0,159091	0,181818	0,090909	0,045455	0,068182
Плотность относительной частоты =	0,259875	0,212625	0,165375	0,189	0,0945	0,04725	0,070875
Середина интервала	2,061	3,023	3,985	4,947	5,909	6,871	7,833
F**(x)	0,25	0,454545	0,613636	0,795455	0,886364	0,931818

Приложение 3. Точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии

№	Xi		(Xi-Xcр)^2
	1,58		6,422919
	1,95		4,684402
	1,99		4,512854
	2,14		3,898049
	2,17		3,780488
	2,24		3,51318
	2,25		3,475793
	2,29		3,328245		B	0,99
	2,29		3,328245		n
	2,35		3,112923		tb	2,7
	2,41		2,904802		m1	3,38845
	2,67		2,086141		m2	4,840246
	3,01		1,219584		a1	0,005
	3,07		1,090662		a2	0,995
	3,17		0,891793		t1	71,89234
	3,21		0,817845		t2	23,5836
	3,25		0,747097		δ1^2	1,990703
	3,27		0,712923		δ2^2	6,068466
	3,27		0,712923
	3,41		0,496106
	3,6		0,264554
	4,1		0,000206
	4,15		0,001271
	4,19		0,005723
	4,23		0,013375
	4,23		0,013375
	4,25		0,018402
	4,47		0,126488
	4,87		0,57101
			0,78438
			0,78438
	5,03		0,838419
	5,14		1,051962
	5,18		1,135615
	5,21		1,200454
	5,58		2,148136
	5,69		2,48268
	5,87		3,082315
	6,27		4,646836
	6,55		5,932402
	7,29		10,08477
	7,41		10,86132
	7,52		11,59847
	8,12		16,04525
	8,32		17,68751
			СТЕПЕНЬ(D2-D42;2)
X ср	4,1143478	δ^2=	3,180362	СУММ(D2;D42)/(41-1)
	СРЗНАЧ(B2;B42)	s=	1,783357	КОРЕНЬ(D44)

 

 

Приложение 4. Критерий Колмогорова

№	X	Y=(X-Xср)/S	Fo(x)	F*(x)	|F*(x)-Fo(x)|
	1,58	0,87724169	0,68689	0,022222	-0,66467	Xcp=
	1,95	1,0826717	0,726117	0,044444	-0,68167	S=	1,8011
	1,99	1,10488035	0,730207	0,066667	-0,66354	δ^2=	3,244
	2,14	1,18816279	0,74527	0,088889	-0,65638
	2,17	1,20481928	0,748229	0,111111	-0,63712
	2,24	1,24368442	0,755062	0,133333	-0,62173
	2,25	1,24923658	0,75603	0,155556	-0,60047
	2,29	1,27144523	0,759881	0,2	-0,55988
	2,29	1,27144523	0,759881	0,2	-0,55988
	2,35	1,3047582	0,765594	0,222222	-0,54337
	2,41	1,33807118	0,771232	0,244444	-0,52679
	2,67	1,48242741	0,794762	0,266667	-0,5281
	3,01	1,67120093	0,823262	0,288889	-0,53437
	3,07	1,70451391	0,828018	0,311111	-0,51691
	3,17	1,76003553	0,835762	0,333333	-0,50243
	3,21	1,78224418	0,838795	0,355556	-0,48324
	3,25	1,80445283	0,841792	0,377778	-0,46401
	3,27	1,81555716	0,843276	0,422222	-0,42105
	3,27	1,81555716	0,843276	0,422222	-0,42105
	3,41	1,89328744	0,85341	0,444444	-0,40897
	3,6	1,99877852	0,866445	0,466667	-0,39978
	4,1	2,27638665	0,896862	0,488889	-0,40797
	4,15	2,30414747	0,899602	0,511111	-0,38849
	4,19	2,32635612	0,901755	0,533333	-0,36842
	4,23	2,34856477	0,903874	0,577778	-0,3261
	4,23	2,34856477	0,903874	0,577778	-0,3261
	4,25	2,35966909	0,904921	0,6	-0,30492
	4,47	2,48181667	0,915887	0,622222	-0,29367
	4,87	2,70390317	0,933352	0,644444	-0,28891
		2,77608128	0,938379	0,688889	-0,24949
		2,77608128	0,938379	0,688889	-0,24949
	5,03	2,79273777	0,939496	0,711111	-0,22838
	5,14	2,85381156	0,943456	0,733333	-0,21012
	5,18	2,87602021	0,944844	0,755556	-0,18929
	5,21	2,8926767	0,945868	0,777778	-0,16809
	5,58	3,09810671	0,957293	0,8	-0,15729
	5,69	3,1591805	0,960285	0,822222	-0,13806
	5,87	3,25911943	0,964813	0,844444	-0,12037
	6,27	3,48120593	0,97337	0,866667	-0,1067
	6,55	3,63666648	0,978262	0,888889	-0,08937
	7,29	4,04752651	0,987687	0,911111	-0,07658
	7,41	4,11415246	0,988821	0,933333	-0,05549
	7,52	4,17522625	0,989779	0,955556	-0,03422
	8,12	4,508356	0,993844	0,977778	-0,01607
	8,32	4,61939926	0,994837		0,005163
				max	0,005163
				t	0,005163
				tα	0,23798
				0,23798
				Гипотеза принимается

 

Приложение 5. Критерий Пирсона

X	X+1	Xср	nj	Xср*nj	Xср-x	(Xср-x)^2*nj
1,58	2,542	2,061		22,671	2,6257	75,8373054
2,542	3,504	3,023		27,207	1,6637	24,9110792
3,504	4,466	3,985		27,895	0,7017	3,44668023
4,466	5,428	4,947		39,576	-0,2603	0,54204872
5,428	6,39	5,909		23,636	-1,2223	5,97606916
6,39	7,352	6,871		13,742	-2,1843	9,54233298
7,352	8,314	7,833		23,499	-3,1463	29,6976111
			x=	4,2057	δ^2=	3,244
l	f	pj*	npj*	(nj-npj*)^2/npj*	∑(nj-npj)^2/npj
0,962	0,098836	0,095080463	4,18354	11,106412	17,781257
0,962	0,115071	0,110698381	4,870729	3,5006837
0,962	0,122694	0,118031852	5,193401	0,628451
0,962	0,119809	0,115256424	5,071283	1,6913641
0,962	0,107143	0,103071602	4,53515	0,0631481
0,962	0,08775	0,084415244	3,714271	0,7911982
0,962	0,065817	0,063315597	2,785886	0,0164561
	НОРМРАСП(C2;E10;G10;0)	A12*B12	46*C12	СТЕПЕНЬ((D2-D12);2)/D12	СУММ(E12:E18)
	t=	17,781257		tα	13,2767
	& 123Следующая ⇒ Поделиться с друзьями: Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов... Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют... Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой... Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...  © cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста. Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы! 0.089 с.