Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2018-01-07 | 360 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
С любой точкой А плоскости XOY мы можем связать радиус-вектор и установить взаимно однозначное соответствие множества комплексных чисел z = a + b с множеством радиус-векторов с координатами (a, b) (рисунок 3).
y
b A(a,b)
r
O a x
Рисунок 3 – Связь прямоугольной и полярной систем координат
Тогда
a = r cos , b = r sin ,
z = a + bi = r (cos + i sin ),
есть так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.
Определение. = r расстояние от О до А называется модулем комплексного числа.
Определение. Аргументом arg z комплексного числа z называется угол между положительным направлением оси ОХ и радиусом-вектором ОА.
.
Чтобы определить однозначно, нужно знать положение точки A на плоскости.
Если точка A находится в 1 или 4 четверти, то .
Если точка A находится во 2 или 3 четверти, то .
Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Умножение и деление комплексных чисел удобнее выполнить, если эти числа записаны в тригонометрической форме.
Пусть
,
тогда
,
а
.
Формула Муавра
При любом натуральном n
= = ,
или
=
– это так называемая формула Муавра позволяющая находить целую степень комплексного числа.
Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа
Пусть комплексное число z задано в тригонометрической форме
z = r (cos + i sin ) 0 + 0 i.
Тогда
.
k = .
Пример 1 Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
.
Модуль этого комплексного числа числу z соответствует точка (1;1) I четверти (рисунок 4). Поэтому
.
Запишем
y
1 (1+i)
0 1 x
Рисунок 4 – Число 1+i в комплексной плоскости
Окончательно запишем
Пример 2 Найти произведение и частное комплексных чисел z 1 и z 2
|
.
Решение:
,
.
Пример 3 Вычислить .
Решение:
Пример 4 Найти все значения корня 4-й степени из z =
Здесь r = 1, Тогда .
Тогда при k = 0,
k = 1,
k = 2,
k = 3,
Задачи для решения
1 Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:
a) z = 2 + 2 i, б) z = + i,
в) z =1- i, г) z = -4,
д) z = 3 i, е) z = -2 i.
ж) z = -10; з) z = 6-6i;
и) z = -1 i; к) z =1 i.
2 Найти произведение и частное комплексных чисел и в тригонометрической форме:
а)
б)
3 Вычислить:
а) + б) ;
в) г)
д) ж) ;
з) и)
к) ; л) ;
м) н)
о)
4 Найти значения при n = 2, 3, 4, 6.
Двучленные уравнения
Определение. Уравнения вида называются двучленными, где
Решение этого уравнения находится в виде:
.
Решение двучленных уравнений сводится к извлечению корней n-ой степени из комплексных чисел.
Пример Решить уравнение = 0.
Решение
Перепишем уравнение в виде будем рассматривать 32 как комплексное число и представим его в тригонометрической форме:
.
Теперь по правилу извлечения корня из комплексного числа найдем
где k следует придать значения 0, 1, 2, 3, 4. Получим пять корней нашего уравнения:
Уравнение имеет один действительный корень и четыре комплексных.
Задачи для решения
1 Решить уравнения:
а) б)
в) г)
д) е) 8
ж) 16 з)
и) - ; к) 3
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!