Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

 

Пусть A – квадратная матрица.

Матрица B называется обратной к матрице A, если

Обратная матрица обозначается A^-1 и .

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Уравнение вида называют простейшим матричным уравнением. Если A – квадратная невырожденная матрица, то решением такого уравнения будет матрица .

Если уравнение имеет вид , то .

Пример 1 Найти матрицу обратную данной:

Решение

1) Найдем определитель матрицы A.

Следовательно, матрица А невырожденная и имеет себе обратную.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

3) Запишем A^-1:

4) Выполним проверку:

Пример 2 Решить матричное уравнение:

Решение

 

Задачи для решения

 

1 Найти матрицу, обратную данной:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и)

к) л) м) н)

о) п) .

2 Решите матричное уравнение:

а) б)

в) г)

д) е)

ж) з)

и) к) .

 

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде

Пусть дана система линейных уравнений:

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде столбцевых матриц:

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или

A·X = B (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Отсюда

Х = B.

Таким образом, чтобы решить систему уравнение, нужно:

1) Найти обратную матрицу .

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов В, т. e. Х = B.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1.

D = = 5 2 2 + (-1) 3 4 + (-1) 1 3 - ((-1) 2 4 + 5 3 3 + 1 (-1) 2) =

= 20 - 12 - 3 - (- 8 + 45 - 2) = 5-35 = -30.

∙ = - 5; A₂₁ = ; A₃₁ =

A₁₂ = A₂₂ = ; A₃₂ = ;

A₁₃ = ∙ ; A₂₃ = A₃₃ =

A^-1 = = ;

Cделаем проверку:

A×A^-1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А^-1В = × = .

Проверка:

(верно)

Решением системы является набор (1, 2, 3): x = 1; y = 2; z = 3.

 

Задачи для решения

 

1 Решить системы линейных уравнений матричным методом

а) б) в)

г) д) е)

2 Решить системы линейных уравнений

а) б)

в) г)

д) е)

Тема 2 Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Обозначим через Δ и Δ _j определитель матрицы системы и определители, полученные из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов системы:

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ≠0, то решение системы определяется равенствами:

Пример Решим по правилу Крамера систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Запишем матрицу системы, столбец свободных членов и вычислим определитель матрицы системы:

.

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Система имеет единственное решение. Вычислим его по формулам Крамера. Для этого найдем определители .

.

.

Проверим:

.

1 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а) б) в)

г) д) ж)

з) и)

 

Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Рассмотрим метод Гаусса на примере системы из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Первое уравнение оставим без изменения, а из второго и третьего исключим слагаемые, содержащие . Для этого второе уравнение разделим на и умножим на , а затем сложим с первым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на и умножим на и сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения легко найти , затем из второго уравнения . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда легко найти , затем из второго уравнения , и из первого . Вместо того чтобы писать систему уравнений выписывают расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов этой системы и свободных членов. Приводим ее к ступенчатому виду.

Матрица имеет ступенчатый вид, если

· все ненулевые строки (имеющие по крайней мере один ненулевой элемент) располагаются над всеми чисто нулевыми строками;

· ведущий элемент (первый ненулевой элемент строки при отсчёте слева направо) каждой ненулевой строки располагается строго правее ведущего элемента в строке, расположенной выше данной.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому (треугольному) виду.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I Перестановка двух строк матрицы.

II Умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

IV Вычеркивание нулевой строки.

Пример:

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Поменяем местами первую и третью строки

Мы получили единицу в верхнем углу. Теперь нужно получить нули в первом столбце 2-ой и 3-ей строки. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на -2:

 

К третьей строке прибавим первую, умноженную на 3:

Вторую строку умножим на -1/5, а третью строку на -1/2

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на -2

Из последней строчки находим, что .

Из второй строки находим y:

И из первой строки найдем x:

Таким образом, мы нашли решение системы:

Решить методом Гаусса следующие системы уравнений:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

12 13 14

15 16

17 18

19 20

 

Шатных Олеся Николаевна

 

 

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ 1)

 

Материалы для практических занятий

и самостоятельной работы

для студентов факультета М и ИТ

 

 

Редактор

 

 

____________________________________________________________________

Подписано к печати Формат бумаги 60 84 1/16 Бумага тип № 1

Печать цифровая Усл. печ.л. 2,25 Уч.-изд.л.

Заказ Тираж 30 Не для продажи

____________________________________________________________________

РИЦ Курганского государственного университета.

640669, г. Курган, ул. Гоголя, 25.

Курганский государственный университет.