Распределения случайных величин и

Их числовые характеристики

Биномиальное распределение

СВ Х распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

, (5.1

где 0 < p < 1, q=1 - p, k=0, 1, 2, …, n.

Такая СВ выражает число появлений события А в п независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

Ряд распределения имеет вид:
хi=k			…	i		n
P(X=k)

А числовые характеристики равны:

D[X]=npq.

Пример Три конкурирующие фирмы работают независимо друг от друга. Вероятность обанкротиться для каждой из них равна 0.1. Составить закон распределения СВ Х – числа обанкротившихся фирм. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

4Дискретная СВ X - число обанкротившихся фирм имеет следующие возможные значения: x ₁=0 (ни одна фирма не обанкротилась), x ₂=1 (обанкротилась одна фирма), x ₃=2 (две обанкротились) и x ₄=3(обанкротились все три). Банкротства фирм независимы друг от друга, поэтому применима формула Бернулли (n =3, k =0, 1, 2, 3; p =0,1, q =1 ‑ 0,1= 0,9), следовательно,

P(X= 0 ) = P ₃ ( 0 ) = q ³=0,9³=0,729; P(X =1 ) = P ₃ ( 1 ) = pq ²=3´0,1´0,9=0,243;

P(X= 2 )=P ₃ ( 2 ) = p²q=3´(0,1)²´(0,9)=0,027; P(X =3 ) = P ₃ ( 3 )=p³= 0,1³=0,001.

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

` Закон распределения Х имеет вид:

хi = k
P(X = k)	0,729	0,243	0,027	0,001

M[X] = ; D[X]= . 3

Геометрическое гипегеометрическое распределения.

Дискретная СВ Х подчинена геометрическому распределению, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, асоответствующие вероятности можно вычислить по формулам:

где 0 <p <1, q=1 - р.

xi				…	k	…
pi	p	pq	pq 2	…	pqk	…

Ряд распределения Х имеет вид:

 

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

D[X] .

 

3. Гипергеометрическое распределения. СВ Хподчинена гипергеометрическому распределению с параметрами a, b, n, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а, а соответствующие вероятности вычисляются по формулам:

, .

(Если в урне а белых и b черных шаров и из нее вынимают n шаров, то СВ Х ={число белых шаров среди вынутых} подчиняется гипер-геометрическому закону).

Примечание. В приведенной формуле полагают , если .

Математическое ожидание и дисперсия гипергеометричекого распределения: ,

D .

Распределение Пуассона

СВ Х распределена по закону Пуассона, если онапринимает целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …, k, …, вероятности которых можно вычислить по формулам:

,

где k – число появлений событияАв n независимыхиспытаниях (), ()‑ параметр распределения, который равен среднему числу появления события А в n испытаниях. Если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р, то .

Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала (порядка 1/ n).

Ряд распределения СВ Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид:

х				…	n	…
рk				…		…

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

, D .

 

Пример. На телефонную станцию в течение часа поступают в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.

 

4Математическое ожидание числа вызовов за минуту равно . Вероятность того, что в течение данной минуты будет получено не более двух вызовов, равна сумме вероятностей того, что в течение данной минуты будет либо 0, либо 1, либо 2 вызова. Поэтому искомая вероятность:

P (k£2) = p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= = + + = (1+1/2+ )»0,98. 3

Равномерное распределение

СВ Х подчинена равномерному закону распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

.

График плотности равномерного распределения f(x) изображен на рис.5.1.

Интегральная функция распределения F (x) равна: ,

ее график изображен на рис. 5.2.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны:

; D ; .

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется: .

Показательное распределение

Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где l - параметр распределения.

Кривая плотности распределения f (x)изображена на рис.5.3. Интегральная функция распределения равна

,

ее график показан на рис 5.4.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное соответственно равны:

M[X]=1/l; D[X]=1/l²; s_х=1/l;

а вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется следующим образом: .

 

Пример. СВ Т —время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов.

4 По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 400 часов. Искомая вероятность

P(T ³ 600 )= 1- P(T< 600 ) = 1- F (600)=1-(1- e^{- 600/400} )= e ^-1,5 » 0,2231. 3

Нормальное распределение

СВ Х подчинена нормальному закону распределения,если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,

где a ‑ математическое ожидание, ‑ среднее квадратичное отклонениеХ.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид

;

где - функция Лапласа, или интеграл вероятностей.

Основные свойства функции Лапласа:

1) F( 0 ) = 0;

2) (нечетная функция);

3) F (¥)=0,5

Таблица значений функции F(х) для приведена в приложении, поскольку она является нечетной, то для отрицательных значений х пользуются теми же таблицами, что и для положительных.

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений :

,

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной СВ Х от ее математического ожидания меньше положительного числа d, определяется выражением:

.

В частности, при а =0, P(êХ ê<d) =2F(d/s).

Если в равенстве 5.17. взять , получим так называемое «правило трёх сигм», которое является одним из необходимых условий того, что СВ имеет нормальный закон распределения. В самом деле,

т.е. отклонение нормальной СВ от своего математического ожидания а на величину, равную является событием практически достоверным.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

а_s=0, е_k=0, M_o=a, M_e=a, где a=M[X].

График плотности вероятности нормального распределения (рис.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).