Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2018-01-07 | 341 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Путь S, пройденный точкой по прямой за время T – t 0 со скоростью v = v (t) (v (t) непрерывна на [ t 0; T ]), есть .
2. Если переменная сила F = f (x) действует в направлении оси O x (f (x) – непрерывна на [ a; b ]), то работа этой силы на отрезке [ a; b ] оси О х равна .
3. Если функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a; b ], то геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x), снизу – отрезком [ a; b ] оси О х, с боков – отрезками прямых x = a, x = b.
Пример 3.5.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и гиперболой .
○ Найдем точки пересечения параболы и гиперболы, для этого решим систему уравнений:
;
;
;
, ; , .
Таким образом, заданные кривые пересекаются в точках А(1; 0) и В(3; 4) (рис. 3.27). Следовательно,
4,58 (кв. ед.). ●
Замена переменной в определенном интеграле
Формула замены переменной в определенном интеграле:
,
где , α и β определяются из условий соответственно.
Пример 3.5.12. Вычислить .
○
●
Теорема 3.5.6. (Теорема о среднем) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то в интервале (a; b) найдется такая точка с, что
.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть u = u (x), v = v (x) – непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда
.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ]. Рассмотрим интеграл
,
где х – любая точка из [ a; b ].
Если F (x) – первообразная функции f (x), т.е. F′ (x)= f (x), то согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
Отсюда
.
Таким образом, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции от этого предела.
|
Несобственные интегралы
Интегралы с одним или обоими бесконечными пределами получили название несобственных интегралов первого рода. Здесь также, как при вычислении определенных интегралов, можно на практике использовать формулу Ньютона-Лейбница, однако следует помнить, что символ ∞ – не число, а условное обозначение неограниченного возрастания (или убывания) аргумента в процессе его изменения. То есть, со строгих позиций, вычисление несобственного интеграла первого рода – это вычисление некоторого предела, с постоянным использованием теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.
Таким образом:
;
;
.
То есть, символы бесконечности условно заменяются буквенными параметрами, применяется формула Ньютона-Лейбница, после чего обычным образом вычисляются указанные пределы. Если в результате такого расчета получится конечное число А (включая 0), то ответ следует записать в форме: интеграл сходится к значению А. Если же результатом будет +∞ (или –∞) или предел не существует, то ответ: интеграл расходится.
В практических вычислениях, вполне допустимо не использовать в явной форме операторы lim, но не следует забывать о том, что на самом деле вычисляются пределы, а не конкретные числовые значения.
Следующим видом несобственных интегралов являются интегралы от функций с разрывом на одном конце (или обоих концах) интервала интегрирования или с разрывом внутри интервала интегрирования. Например: , и т.п. Такие интегралы носят название несобственных интегралов второго рода. Эти интегралы очень опасны, т.к. часто выглядят вполне безобидно (по невнимательности забываем особые точки подынтегральной функции), но применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам.
Вычисление несобственных интегралов второго рода осуществляется приведением к интегралам первого рода (или сумме таких интегралов), то есть, ставится задача вычисления предела относительно точки, в которой подынтегральная функция разрывна.
|
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!