Интегральное исчисление функций одной переменной.

Интегральное исчисление функций одной переменной.

Понятие неопределенного интеграла

Определение 3.5.1. Функция F (x) называется первообразной функцией для данной функции f (x) на данном промежутке, если на этом промежутке .

Теорема 3.5.1. Если F ₁(x) и F ₂(x) – две первообразные для функции f (x) на некотором промежутке, то разность между ними на этом промежутке равна постоянному числу.

Определение 3.5.2. Выражение F (x)+С, где F (x) – первообразная функции f (x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , причем f (x) называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования; – знак неопределенного интеграла.

Таким образом, по определению , если .

Теорема 3.5.2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то на этом отрезке у функции f (x) существует первообразная.

Свойства неопределенного интеграла

1. или .

 

2. или .

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

 

4. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

.

 

Таблица основных интегралов

1. ;	5. ;
2. ;	6. ;
3. ;	7. ;
4. ;	8. ;
	9. ;
	10. ;
	11. ;
	12. ;
	13. .

Пример 3.5.1. Приведем примеры непосредственного интегрирования.

1.

.

2.

 

 

Основные методы интегрирования

Замена переменной интегрирования

Делая подстановку х = φ (t), где φ (t) – функция, имеющая непрерывную производную, получим и

– формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 3.5.2. найдем подстановкой х = t ². Тогда dx=2tdt и .

Иногда вместо подстановки х = φ (t) лучше выполнить замену переменной вида t=ψ (x).

Пример 3.5.3. Найти .

○ Полагая , получаем: ,

и

.●

Интегрирование по частям

Пусть u = u (x) и v = v (x) – непрерывно дифференцируемые функции, тогда – формула интегрирования по частям (произвольная постоянная интегрирования С здесь включена в слагаемое ).

Пример 3.5.4. Найти .

○ .●

Пример 3.5.5. Найти .

○ .●

Примечание. Иногда бывает необходимо повторное интегрирование по частям.

Пример 3.5.6. Найти .

○

●

 

Отметим три основных класса функций, интегралы от которых берутся по частям:

I	где – многочлен n -ой степени, n, k, α ÎN		Интегрирование по частям применять n раз.
II	– рациональная или иррациональная функция, в частности, º1.		Интегрирование по частям применять k раз.
III		u – любая из функций	Применяя двукратное интегрирование по частям получим линейное уравнение, относительно искомого интеграла. Из этого уравнения и находится данный интеграл.

Замена переменной в определенном интеграле

Формула замены переменной в определенном интеграле:

,

где , α и β определяются из условий соответственно.

Пример 3.5.12. Вычислить .

○

●

Теорема 3.5.6. (Теорема о среднем) Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то в интервале (a; b) найдется такая точка с, что

.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u = u (x), v = v (x) – непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда

.

Несобственные интегралы

Интегралы с одним или обоими бесконечными пределами получили название несобственных интегралов первого рода. Здесь также, как при вычислении определенных интегралов, можно на практике использовать формулу Ньютона-Лейбница, однако следует помнить, что символ ∞ – не число, а условное обозначение неограниченного возрастания (или убывания) аргумента в процессе его изменения. То есть, со строгих позиций, вычисление несобственного интеграла первого рода – это вычисление некоторого предела, с постоянным использованием теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

Таким образом:

;

;

.

То есть, символы бесконечности условно заменяются буквенными параметрами, применяется формула Ньютона-Лейбница, после чего обычным образом вычисляются указанные пределы. Если в результате такого расчета получится конечное число А (включая 0), то ответ следует записать в форме: интеграл сходится к значению А. Если же результатом будет +∞ (или –∞) или предел не существует, то ответ: интеграл расходится.

В практических вычислениях, вполне допустимо не использовать в явной форме операторы lim, но не следует забывать о том, что на самом деле вычисляются пределы, а не конкретные числовые значения.

Следующим видом несобственных интегралов являются интегралы от функций с разрывом на одном конце (или обоих концах) интервала интегрирования или с разрывом внутри интервала интегрирования. Например: , и т.п. Такие интегралы носят название несобственных интегралов второго рода. Эти интегралы очень опасны, т.к. часто выглядят вполне безобидно (по невнимательности забываем особые точки подынтегральной функции), но применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам.

Вычисление несобственных интегралов второго рода осуществляется приведением к интегралам первого рода (или сумме таких интегралов), то есть, ставится задача вычисления предела относительно точки, в которой подынтегральная функция разрывна.

 

Интегральное исчисление функций одной переменной.