Следствия из второго свойства пары.

1. Действие пары на твердое тело не изменяется, если пару сил поворачивают в плоскости пары. Очевидно, что при этом момент пары не изменяется.

2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару сил переносят в другое место плоскости пары. Это соответствует переносу момента пары, как свободного вектора, параллельно плоскости пары.

3. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если ее перенести в плоскость, параллельную плоскости пары. То есть момент пары, как свободный вектор, переносится перпендикулярно плоскости пары.

Эти на первый взгляд парадоксальные свойства пары сил поясним физическими примерами. Гаечный ключ одинаково действует на гайку, к каким бы граням этой гайки его не приложить - момент пары не изменяется от поворота пары сил в плоскости пары. Трансмиссионный вал передает шкиву вращающий момент независимо от места закрепления шкива на валу - момент пары сил не изменяется от ее переноса в плоскость, параллельную плоскости пары.

Моменты пар рассматриваются как векторы, когда пары сил лежат в различных плоскостях. В плоской системе сил, когда все силы и пары сил лежат в одной плоскости, моменты пар направлены перпендикулярно этой плоскости и поэтому параллельны друг другу. Естественно, что в этом случае, момент пары удобнее рассматривать как алгебраическую величину, равную

(6)

Момент пары будет положительной величиной, если пара сил стремиться повернуть тело против хода часов и отрицательной, если она поворачивает тело по ходу часов.

Эквивалентность пар сил. Две пары сил с равными моментами эквивалентны. Или (F,F') ~ (P,P'), если M(F,F') ~ M(P,P'). Эквивалентность пар сил сразу следует из свойств пары сил. Очевидно, что только при равных моментах пар сил их действие на твердое тело будет одинаковым.

Следует отметить, что силы, образующие пары могут быть не равны между собой F P, но обе пары сил должны лежать в одной плоскости. Это замечание и понятие эквивалентности пар сил позволяют сформулировать правило трансформирования пары сил.

При трансформировании пары сил можно менять величины сил и плечо пары так, чтобы величина момента пары не изменялась, и переносить пару сил согласно следствиям из 2-го свойства.

Система пар сил.

Системой пар сил является совокупность пар сил, приложенных к одному телу.

Сложение пар сил. Система пар сил эквивалентна одной паре, момент которой равен сумме моментов пар, образующих систему:

(8)

где M₁ = M(F₁,F₁'), M₂ = M(F₂,F₂'),..., M_n = M(F_n,F_n').

На рис. 25, a представлена исходная система пар сил. По второму свойству заменяем пары их моментами и переносим моменты пар, как свободные векторы, в одну произвольную точку (рис. 25, b). По правилу параллелограмма мы складываем векторы моментов пар и получаем второе выражение в (8). Одному моменту пары M соответствует одна пара сил (F,F') и M = M(F,F') (рис. 25, c).

Если все пары лежат в одной плоскости, векторное суммирование моментов пар теряет смысл. Поэтому мы используем алгебраические моменты пар сил и получаем

(9)

Равновесие системы пар. Вначале сформулируем, а затем докажем условие равновесия для системы пар сил.

Для равновесия твердого тела под действием системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов пар, образующих систему, была равна нулю:

(10)

Необходимость условия сразу следует из (8). Если M = 0, то (F,F') ~ 0 и, следовательно, ((F₁,F'₁), (F₂,F'₂),..., (F_n,F'_n)) ~ 0. Достаточность условия докажем методом от противного. Предположим, что условие (10) не выполняется и M 0, а твердое тело находится в равновесии. В этом случае система пар сил приводится к одной паре (F,F') и тело в равновесии находиться не может. Таким образом, наше предположение не верно, а условие (10) является верным, и его достаточность доказана.

Необходимым и достаточным условием равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости, является равенство нулю алгебраической суммы моментов всех пар системы:

(11)

Таким образом, в этом параграфе мы рассмотрели пару сил, являющуюся, как и сила, самостоятельным элементом статики, изучили свойства пары сил, эквивалентность пар, сложение и условия равновесия для системы пар сил.