Теоретический минимум «Экономико-математические методы и модели»

Теоретический минимум «Экономико-математические методы и модели»

Задача оптимизации производственной программы предприятия

Предприятие выпускает несколько видов продукции П , , имея ограниченный запас ресурсов Р , . Известны нормы затрат ресурса Р на производство единицы продукции П – . Требуется найти такой план производства продукции, который обеспечивает максимум эффекта от выпуска (максимум выручки от реализации, минимум затрат), если — эффективность единицы продукции (например, цена).

Сформулируем математическую модель задачи. Определим переменные модели: – объем производства продукции -го вида .

В этих обозначениях задача оптимизации производственной программы запишется в следующем виде:

максимизируется выручка от реализации

при ограничениях на запас -го ресурса:

, ,

и условии неотрицательности переменных:

, .

Пример. Пусть предприятие выпускает два вида изделий и располагает следующими ресурсами (в расчете на сутки): фонд рабочего времени производственных рабочих — 780 чел.-ч, фонд сырья — 850 ед., электроэнергии –790 ед. Нормы расхода ресурсов в расчете на одно изделие представлены в таблице.

Ресурс	Изделие
I вид	II вид
Рабочее время, чел.-ч
Сырье, ед.
Электроэнергия, ед.

Цена изделия I вида — 6 у.е., II вида — 7 у.е.

Требуется определить оптимальную производственную программу предприятия с учетом получения максимальной прибыли.

Решение. Математическое описание исследуемого объекта или процесса начинается с выбора переменных модели. Так как в рассматриваемом примере требуется построить модель для определения оптимальной структуры производственной программы по выпуску изделий I, и II видов, введем переменные: – суточный объем производства продукции I вида, – суточный объем производства продукции II вида.

Запишем ограничения на ресурсы.

Рабочее время. Так как нормы расхода рабочего времени для производства единицы продукции I и II вида составляют 2 чел.-ч. и 3 чел.-ч соответственно, то для производства изделий I вида в объеме , изделий II вида в объеме требуется (чел.-ч). С другой стороны, объем использования оборудования не должен превышать имеющегося суточного фонда рабочего времени – 780 чел.-ч. Таким образом, получаем ограничение:

.

Аналогично составляются ограничения для оставшихся видов ресурсов.

Сырье: .

Электроэнергия: .

Кроме того, объем производства изделий каждого вида не может быть отрицательным: , .

В данном примере целью управления (критерием качества) является получение максимальной прибыли, что приводит к экономико-математической оптимизационной модели – задаче максимизации целевой функции:

.

при ограничениях:

,

,

,

, .

Сформулированная модель является задачей линейного программирования.

Модели межотраслевого баланса

Основные понятия

Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Примерами балансовых соответствий могут быть: соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест; платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. При этом соответствие понимается либо как равенство, либо (менее жестко) как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

Балансовые модели строятся в виде числовых матриц, поэтому они относятся к матричным экономико-математическим моделям.

Некоторые виды балансовых моделей:

1. Частные материальные, трудовые и финансовые балансы для народного хозяйства и отдельных отраслей.

2. Межотраслевые балансы.

3. Матричные финансовые планы предприятий и фирм.

Совокупный общественный продукт – масса произведенных или планируемых к производству материально-вещественных благ и услуг. В стоимостном выражении совокупный общественный продукт делится на: перенесенную стоимость (износ средств труда и расход предметов труда); вновь созданную стоимость, то есть национальный доход.

В натуральном межотраслевом балансе отражается движение совокупного общественного продукта по его материально-вещественному составу.

Чистые (технологические) отрасли – это некоторые условные отрасли, которые объединяют все производство данного вида продукта независимо от ведомственной подчиненности субъектов хозяйствования, их производящих.

Межотраслевые балансы строятся на основе следующих предположений:

1. Каждая отрасль производит только один продукт, то есть выделение отраслей производится не по принципу однородности предприятий, а по принципу однородности продукта. По этой причине межотраслевые балансы иногда еще называют межпродуктовыми балансами;

2. Каждая отрасль как бы имеет только одну технологию производства продукции, которая характеризуется средневзвешенными коэффициентами затрат. Эти коэффициенты затрат отражают взаимосвязь между отраслями и являются отраслевыми нормативами затрат.

В общем виде межотраслевой баланс состоит из четырех разделов, которые называются квадрантами:

I	II
III	IV

Основным является первый квадрант, так как его данные используются во всех расчетах и являются их основой. Во втором квадранте характеризуется непроизводственная сфера. В I и III-м квадрантах характеризуются текущие затраты материального производства. Во II и IV-м – показывается использование продукции за пределами текущего производственного цикла. Иначе говоря, процессы накопления, непроизводственного потребления и вывода продукции за пределы региона, что в целом называется конечным потреблением.

При записи соотношений могут использоваться как натуральные (тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), так и стоимостные единицы измерения указанных величин, поэтому различают натуральный и стоимостной балансы.

Теория игр

Основные понятия

В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц (групп, сторон) либо прямо противоположны (антагонистичны), либо, не будучи непримиримыми, все же не совпадают. Такие ситуации называются конфликтными. Эффективность решений, принимаемых в ходе конфликта каждой из сторон, зависит от действий другой стороны. При этом ни одна из сторон не мо­жет полностью контролировать положение, так как и той и другой стороне решения приходится принимать в условиях неопределенности.

Примерами конфликтных ситуаций являются спортивные игры, арбитражные спо­ры, военные учения и т. д., когда каждая из конфликтующих сторон стремится добиться наилучшего для себя результата. Подобного рода ситуации встречаются и в различных сферах производственной деятельности.

Теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, разрабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу (стратегии) действий каждого из участников в ходе конфликтной ситуации (игры), т. е. таких действий, которые обеспечивали бы ему наилучший результат.

Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выигрышем могут быть эффективность использования ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д.

Игра – это совокупность правил, оп­ределяющих возможные действия (стратегии) участ­ников игры (игроков). Суть игры в том, что каждый из участников при­нимает такие решения в развивающейся конфликтной ситуации, которые, как он полагает, обеспечивают ему наилучший результат (исход) игры. Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной ситуации.

Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игрока в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Исход (плата) игры – это значение некоторой функции, которая называется функцией выигрыша (платежной функцией). Далее будем рассматривать только такие игры, в которых выигрыш выражается количе­ственно: стоимостью, баллами и т. д. Величина выигрыша зависит от стратегии, применяемой игроками. Игроки – это участники игры с различными группами интересов.

Оптимальной стратегией называется стратегия, которая обеспечивает игроку наилучший исход игры, при предположении, что противник использует наилучшую для себя стратегию.

Партией называют каждый вариант реализации игры.

В партии игроки совершают конкретные ходы.

Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов поведения. Ходы бывают личные, когда игрок выбирает и реализует ту или иную свою конкретную чистую стратегию, и случайные, когда выбор чистой стратегии производится с использованием како­го-либо механизма случайного выбора (например, с применени­ем таблицы случайных чисел).

Неопределенность может быть обусловлена как сознательным противодействием противника, так и неизвестными обстоятельствами. Игра с природой – это игра двух лиц, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры встречаются в экономической практике, когда приходится формализовать ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к результату игры. Под термином "приро­да" понимают всю совокупность внешних обстоятельств, в которых со­знательному игроку (его называют иногда "статистиком", а со­ответствующую игру – статистической) приходится принимать решение. Например, определение объема выпуска сезонной продук­ции в ожидании наиболее выгодного для ее реализации уров­ня спроса; формирование пакета ценных бумаг в расчете на высокие дивиденды и т. д. В таких играх в качестве второго игрока выступает: в первом – уровень спроса; во втором – размеры ожидае­мой прибыли.

Статистические игры

Под статистической игрой (игрой с природой) будем понимать парную матричную игру, в которой один игрок заинтересован в наиболее выгодном для него исходе игры, а второй игрок («природа») безразличен к результату игры.

В отличие от матричных игр, в которых участвует два игрока, с противоположными интересами (один игрок старается максимизировать плату, а другой – минимизировать), в реальных задачах, приводящихся к игровым, зачастую имеется не­определенность, вызванная отсутствием информации об усло­виях, в которых осуществляется действие (погода, покупатель­ский спрос и т.д.) и эти условия не зависят от сознательных действий другого игрока. Такие игры относят к играм с природой. Сознательный игрок в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, покупательский спрос и т.д.) действует случайно.

Предположим, что в игре с природой сознательный игрок А может использовать чистых стратегий , ,…, , а природа П может реализовать различных состояний , ,…, . Игроку А могут быть известны вероятности ,…, , с которыми природа реализует свои состояния, но он может и не знать их.

Действуя против природы, игрок А имеет возможность использовать как чистые стратегии , так и смешанные стратегии. Если игрок А в состоянии оценить (величиной ) последствия применения каждой своей чистой стратегии при каждом состоянии природы, то игру можно задать матрицей:

= ,

которая называется платежной.

Решение статистической игры состоит из следующих этапов:

1. Выявление и отбрасывание дублирующих и доминируемых стратегий лица, играющего с природой; стратегии природы отбрасывать нельзя.

2. Построить и исследовать матрицу рисков.

3. Оценить выигрыш при различных игровых ситуациях: критерии Вальда, Байеса, Сэвиджа и Гурвица и др.;

4. Сделать вывод о выборе наилучшей стратегии.

Игры с природой, хотя и являются частным случаем парных матричных игр, обладают и некоторыми особенностями. Например, при упрощении платежной матрицы отбрасывать те или иные состояния природы нельзя, так как она может реализовать любое состояние независимо от того, выгодно оно игроку А или нет. Кроме того, решение достаточно найти только для игрока А, поскольку природа в рекомендациях «не нуждается».

Также в играх с природой смешанные стратегии имеют ограниченное значение: они приобретают смысл только при многократном повторении игры.

Таким образом, цель при решении статистической игры заключается в определении такой стратегии сознательного игрока (чистой или смешанной), которая при ее применении обеспечила бы наибольший выигрыш.

Риском игрока А, когда он пользуется чистой стратегией при состоянии природы, называется разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы точно знал, что природой будет реализовано именно состояние , и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию:

,

где ― максимальный элемент -го столбца платежной матрицы. Элементы матрицы рисков, соответствующие стратегиям и характеризуют общую благоприятность или неблагоприятность для игрока А отдельных состояний природы. Матрица рисков имеет вид:

	П1	П2	...	Пn
A1
A2
…
Am

Для принятия решений в статистических играх используются следующие критерии:

1. Критерий, основанный на известных вероятностях условий, критерий Байеса. Пусть известны вероятности состояний природы, тогда пользуются критерием Байеса, в соответствии с которым оптимальной считается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш . Следует отметить, что в этом случае игроку нет смысла пользоваться смешанными стратегиями. Применение в игре с природой в этом случае любой смешанной стратегии не увеличивает выигрыш игрока А, получаемый при оптимальной чистой стратегии.

2. Принцип недостаточного основания Лапласа. Если объективные оценки состояний природы получить невозможно, то вероятности состояний природы могут быть оценены субъективно на основе принципа недостаточного основания Лапласа, согласно которому все состояния природы полагаются равновероятными, т.е. , и оптимальной считают чистую стратегию , обеспечивающую максимальное среднее значение выигрыша: .

3. Максминный критерий Вальда. По этому критерию рекомендуется применять максиминную стратегию. Она достигается из условия , , , и совпадает с нижней ценой игры. Критерий является пессимистическим, считается, что природа будет действовать наихудшим для сознательного игрока образом.

4. Критерий максимума. Оптимальная стратегия выбирается из условия , , . Критерий является оптимистическим, считается, что при­рода будет играть наиболее благоприятно для сознательного игрока.

5. Критерий Гурвица. Критерий рекомендует стратегию, определяемую по формуле , , , где (степень оптимизма) изменяется в диапазоне [0,1].

Критерий придерживается некоторой промежуточной по­зиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наи­лучшего поведения природы. При =1 критерий превращает­ся в критерий Вальда; при =0 — в критерий максимума. На оказывает влияние степень ответственности лица, принима­ющего решение по выбору стратегии. Чем хуже последствия ошибочных решений, больше желания застраховаться, тем ближе к единице. В общем случае число выбирают из опыта или субъективных соображений.

6. Критерий Сэвиджа. Суть критерия состоит в выборе та­кой стратегии, чтобы не допустить чрезмерно высоких потерь, к которым она может привести. Согласно этому критерию, рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение: – оптимальная стратегия, где - элементы матрицы рисков.

 

Элементы сетевого планирования

Современное сетевое планирование начинается с разбиения программы работ на операции. Определяются оценки продол­жительности операций, и строится сетевая модель (график). Построение сетевой модели позволяет проанализировать все операции и внести улучшения в структуру модели до начала ее реализации. Строится календарный график, определяющий начало и окончание каждой операции, а также взаимосвязи с другими операциями графика. Календарный график выявляет критические операции, которым надо уделять особое внима­ние, чтобы закончить все работы в директивный срок. Что касается некритических операций, то календарный план поз­воляет определить резервы времени, которые можно выгодно использовать при задержке выполнения работ или эффектив­ном применении как трудовых, так и финансовых ресурсов.

Сетевая модель — графическое изображение плана выпол­нения комплекса работ, состоящего из нитей (работ) и узлов (событий), которые отражают логическую взаимосвязь всех операций.

Работа — это любые операции, трудовые процессы, сопровождающиеся затратами ресурсов или времени. Это активный процесс, требующий затрат ресур­сов, либо пассивный (ожидание), приводящий к достижению намеченного результата. На сетевых графиках работы изображают стрелками. Рядом со стрелкой указываются числовые характеристики: время выполнения работы, расход ресурса, количество исполнителей и т. д. Под работами подразумеваются не только реальные хозяйственные или технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления, но и процессы, потребляющие только время. Также принято считать работами и те процессы, которые не требуют ни затрат времени, ни ресурсов. Это так называемые фиктивные работы. Они показывают, что определенная работа не может совершаться раньше другой. На сетевых графиках фиктивные работы изображают пунктирными стрелками.

Событие — это результат (промежуточный или конечный) выполнения одной и/или нескольких предшествующих работ. Событие означает факт окончания всех работ в него входящих и⁄или начала работ из него выходящих. Событие не имеет протяженности во времени. На сетевом графике события изображаются кругами с указанием номера события. В каждое событие может входить и выходить из него несколько работ, а каждая работа ограничена двумя событиями. Событие выражает логическую связь между работами, заключающуюся в том, что работы, входящие в данное событие, непосредственно предшествуют работам, выходящим из него; ни одна выходящая из данного события работа не может начинаться до окончания всех работ, входящих в это событие.

Событие, с которого начинается выполнение работ, является исходным, оно не имеет предшествующих работ. Событие, которое констатирует факт завершения проекта, называется завершающим, оно не имеет последующих работ. Все прочие события являются промежуточными.

Любая последовательность работ сети, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем. Под длиной пути , ,... из (i) в (j) будем понимать продолжительность выполнения всей последовательности работ, составляющих этот путь, . Путь, в котором начальная вершина совпадает с исходным событием, а конечная — с завершающим, называется полным. Путь от исходного события до любого промежуточного события i называется предшествующим событию i путем. Предшествующий событию i путь, имеющий наибольшую длину, будет максимальным предшествующим. Он обозначается , а его продолжительность — . Путь от данного события i до завершающего называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной будет максимальным последующим, он обозначается , его продолжительность — . Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительность. Таких путей в сети может быть несколько. Критический путь — это путь, не имеющий резервов и включающий самые напряженные работы комплекса.

Работы и события, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Все остальные работы являются некритическими (нена­пряженными) и обладают резервами времени, которые позво­ляют передвигать сроки их выполнения, не влияя на общую продолжительность выполнения всего комплекса работ.

Суммарная продолжительность работ, принадлежащих критическому пути, называется критическим временем выполнения всего комплекса работ. На сетевом графике критический путь выделяется двойной или жирной линией.

Временные параметры сетевого графика.

Основным временным параметром сетевого графика явля­ется продолжительность критического пути. Расчет критического пути включает два этапа. Первый на­зывается прямым проходом. Вычисления начинают с исходного события и продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто завершающее событие. Для каждого события определяется ранний срок его наступления. На втором этапе, называемом обратным проходом, вычисления на­чинают с завершающего события и продолжают, пока не будет достигнуто исходное событие. Для каждого события вычисля­ется поздний срок его наступления.

Ранним сроком свершения события i называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е.

.

Поздним сроком свершения события i является самый поздний момент, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием, без превышения критического времени . Очевидно, что определяется разностью между и длиной максимального из последующих путей:

.

Для событий критического пути ранний и поздний сроки свершения событий совпадают.

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события

.

Резервы критических событий равны 0.

При расчете временных параметров вручную удобно проводить вычисления непосредственно на графе, воспользовавшись четырехсекторной схемой. В этом случае каждый кружок, обозначающий событие, делим на четыре сектора, в каждом из которых записываем следующую информацию (рис. 1).

1. Проставляем в верхних секторах номера событий (в соответствии с ранжированием).

2. Рассматривая события в порядке возрастания номеров, по входящим в данное событие работам определяем и записываем в левом секторе.

3. Начиная с конечного события, для которого (n - номер конечного события), для каждого события по выходящим из него работам определяем и записываем в правом секторе.

4. В нижнем секторе записываем резерв времени события .

Рис. 1

Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ:

1. Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события i:

.

2. Ранний срок окончания работы равен сумме раннего срока свершения начального события работы и ее продолжительности:

.

3. Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события:

.

4. Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью:

.

Так как сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.

5. Полный резерв времени работы — это максимально возможный запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить продолжительность ее выполнения при условии, что конечное для данной работы событие наступит не позднее своего позднего срока:

.

Таким образом, полный резерв времени работы есть максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.

Построение линейного графика (графика Ганта).

На графике Ганта каждая работа изображается горизонтальным отрезком, длина которого в соответствующем масштабе равна времени ее выполнения. Начало каждой работы совпадает с ожидаемым сроком свершения ее начального события. Полный резерв времени работы изображается пунктирной линией. По графику Ганта можно определить критическое время выполнения комплекса работ и критический путь.

При решении задач СПУ для каждой из работ иногда задается количество ресурсов, необходимых для ее выполнения, так как одновременное выполнение некоторых операций из-за огра­ничений, связанных с рабочей силой, оборудованием и другими видами ресурсов, иногда оказывается невозможным. Именно в этом отношении представляют ценность полные резервы вре­мени некритических операций.

Пусть – потребности в трудовых ресурсах для выполнения каждой работы и R – наличие трудовых ресурсов.

Выясним потребности в трудовых ресурсах. Для этого на основе сетевого графика составляем линейный график (график Ганта). На графике Ганта над каждой работой проставляется потребность в ресурсах . Проецируем на ось времени начало и конец каждой работы. Проекцию, совпадающую с началом координат, обозначим , следующую — и т. д. В строке записываем сумму ресурсов для каждого дня выполнения проекта. Полученные наносим на график интенсивности использования ресурса. Пунктирная линия на графике проводится на уровне R ограничения наличного ресурса.

Пример.

Комплекс работ представлен сетевым графиком

Для каждой работы известны продолжнтельность ее выполнения и количество . (число в скобках) ресурса, расходуемого в единицу времени при выполнении этой работы (интенсивность потребления ресурса). В процессе выполнения работ расход ресурса не должен превышать заданной величины R. Требуется:

1) построить линейный график комплекса работ и определить по нему критический срок и сроки начала и окончания работ без учета ограничения на используемый ресурс;

2) построить график интенсивности использования ресурсов;

3) Указать потребности в ресурсах в каждый момент времени;

Решение. Найдем ранние и поздние сроки и резервы времени свершения каждого события:

Итак, завершающее 4-е событие может свершиться лишь на 15 день от начала разработки. Это минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта, оно определяется самым длинным полным путем. Ранний срок свершения события (4) совпадает с критическим временем. Критический путь выделим на графике.

Вычисляем временные параметры работ и заносим результаты на календарный график:

 

По имеющемуся линейному графику построим график интенсивности использования ресурсов:

 

Теоретический минимум «Экономико-математические методы и модели»