Уравнения равновесия и их различные форма

Как известно, необходимыми и достаточными условиями рав­новесия пло­ской произвольной системы сил являются равенства нулю ее главного вектора и главного момента.

Существуют три формы уравнений равновесия плоской систе­мы сил. Пер­вую форму получим, спроектировав на оси координат векторное равенство и присоединив к полу­чившимся двум уравнениям равенство ,выражающее условие равенства нулю главного момента:

, , . (1.6)

Первые два уравнения называются уравнениями проекций сил на оси координат, третье - уравнением моментов. Точка может быть выбрана произ­вольно.

Легко доказать, что необходимые и достаточные условия равновесия пло­ской системы сил могут быть записаны еще в двух формах. Вторая форма

, , , (1.7)

где ось проекций должна быть не перпендикулярна к отрезку . Третья форма:

, , , (1.8)

где точки не должны лежать на одной прямой. Отметим, что для любой из трех форм уравнений равновесия число независимых между собой уравнений равновесия равно трем. Задачи, в которых все неизвестные могут быть опреде­лены из уравнений равновесия твердого тела, называются статически оп­реде­ленными. Если же неизвестных больше, чем этих уравнений, то задача оказы­вается статически неопределенной.

46. Продольный изгиб длинных тонких стержней. Критическая сила, критическое напряжение

Е сли тонкий длинный стержень сжимать продольными силами до некоторой предельной величины, то он будет испытывать деформацию сжатия, и его ось будет оставаться прямолинейной. В этом случае стержень будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. Однако если сжимающие силы станут больше предельной величины, то стержень выпучится, и его ось изогнется, а состояние оказывается неустойчивым. Искривление длинных стержней, сжимаемых продольными силами, называется продольным изгибом.
Если сила, сжимающая стержень станет больше предельной величины, то будут возможны две формы упругого равновесия стержня – прямолинейная и криволинейная. Прямолинейная форма теперь станет неустойчивой, а изогнутая будет устойчивой. На второй стадии продольного изгиба даже небольшое увеличение силы уже ведет к значительному изгибу стержня (рисунок 15.1).
Рисунок 15.1
Предельное значение силы, при котором прямолинейное положение стержня становится неустойчивым, называется критической силой. Допускать в конструкциях критическую нагрузку нельзя!
Обозначим критическую силу – ^ Р _кр, а допускаемую силу через [ Р ], тогда отношение называется запасом устойчивости. Его значение, как и у запаса прочности для конструкций, изготовленных из менее однородных материалов берется выше, чем из однородных. Так, запас устойчивости принимается: для сталей – (1,8 – 3); чугуна – (5 – 6); дерева – 2,5.
Таким образом, длинные тонкие стержни при воздействии сжимающей нагрузки, помимо расчетов на прочность должны проверяться на устойчивость. При этом определяются критические напряжения и сравниваются с допускаемыми для данного материала.
^ 15.2. Формула Эйлера для определения критической силы
При расчете стержней на продольный изгиб нужно определить критическую силу. Формула для ее определения была впервые выведена знаменитым математиком Леонардом Эйлером.
Рассмотрим сжатый стержень, изображенный на рисунке 15.2, в таком состоянии, когда сжимающая сила достигла критического значения Р _кр.
Для нахождения критической силы используем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

, (15.1)

где J _min – минимальный изгибающий момент в плоскости наименьшей жесткости сечения;
М _из – изгибающий момент относительно центра тяжести сечения в изогнутом состоянии, Рисунок 15.2
М _из = –P _кр y. (15.2)
Знак (–) берется потому, что стержень изгибается выпуклостью вверх, а прогиб y положителен. Тогда уравнение (15.2) принимает вид
(15.3)

Обозначим . Подставляя в (15.3), получим .
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение, как известно из курса математики, имеет вид
, (15.4)
где С и D – постоянные интегрирования, их определяют с использованием граничных условий.
Для изображенной на рисунке балки имеются два граничных условия:
1) при z = 0 y = 0; 2) при z = l y = 0.
Из первого условия получим С = 0. Следовательно, стержень изгибается по синусоиде
(15.5)
Из второго условия получим . Это соотношение справедливо в двух случаях:

а) D = 0. Но если С = 0 и D = 0, то из соотношения (15.4) получается, что y = 0, а это противоречит предположению об изогнутости стержня;

б) . Это условие выполняется, если аргумент синуса принимает следующий бесконечный ряд значений: , где n – любое целое число. Отсюда .

Так как то . (15.6)

Первый корень не дает решения задачи. При получаем наименьшее значение критической силы. Итак, выведена формула Эйлера:

. (15.7)