Связь линейных и угловых кинематических характеристик

Длина дуги l_АВ (рис.1.13) равна l_АВ = r Δ j, где Δ j измеряется в радианах. Разделив левую и правую части равенства на Δ t, получим

,

откуда v = rw. (1.21) В векторном виде связь линейной и угловой скорости запишется в виде:

Продифференцировав по времени левую и правую части уравнения (1.21), получим

В правой части мы имеем тангенциальное ускорение, а в левой произведение радиуса-вектора на угловое ускорение:

или в векторном виде:

. (1.22)

Вывод выражения для нормального (центростремительного) ускорения а_n.

Пусть в момент времени t ₁ точка находится в А (рис.1.15), ее скорость _, в момент времени t ₂ точка находится в В, скорость , так как она движется равномерно

= = v.

модуль перемещения материальной точки равен хорде АВ.

Рис. 1.15

Для определения изменения скорости параллельно перенесем вектор в точку А. Тогда . Треугольники v₁ A v₂ и AOB подобны, так как они равнобедренные и углы при вершинах равны, как углы между взаимно перпендикулярными сторонами ( и ). Следовательно,

D s / r = Dv/v.

Разделим на D t левую и правую части равенства и перейдем к пределу при D t ® 0:

.

Предел в левой части равенства определяет скорость, а правой – ускорение:

,

отсюда

a_n = v²/ r. (1.23)

При D t ® 0 Dj ® 0, следовательно, вектор перпендикулярен и направлен к центру окружности.

 

Примеры решения задач

Рассмотрим в качестве примера задачу о движении тела, брошенного со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Такое движение называется баллистическим движением.

Даны начальная скорость и угол a, ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения . Определим: 1) уравнение движения; 2) траекторию движения; 3) время полета t _п; 4) дальность полета l; 5) максимальную высоту подъема h _max; 6) a_n и a _t в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема; 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.

1) Движение происходит в плоскости хОу (рис.1.16). В начальный момент времени, t = 0, тело находилось в начале координат, т.е. в точке О.

Рис. 1.16

Движение происходит с постоянным ускорением свободного падения.

Тогда уравнение движения имеет вид:

.

В проекциях на оси Ох и Оу имеем:

х = v_{0 x} t = v₀ t cos a; (1.24)

y = v_{0 y} t – gt ²/2 = v₀t sin a – gt ²/2. (1.25)

Согласно закону независимости движений это движение можно представить как сумму двух движений: равномерного движения вдоль оси О х и равноускоренного вдоль оси О у.

Скорость вдоль оси Ох остается постоянной и равной проекции начальной скорости

v _x = v_{0 x} = const. (1.26)

Движение по оси О у равноускоренное с постоянным ускорением а_у = - g и начальной скоростью v_0у = v₀ sin a. Изменение проекции скорости происходит по закону:

v _y = v_{0 y} – gt, (1.27)

2) Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве, т.е. у (х).

Из (1.19) t = x /v₀ cos a, подставим в (1.25):

y = x tg a – . (1.28)

Уравнение (1.23) – уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат (рис.1.16).

3) Воспользуемся формулой (1.25) для определения времени полета тела. (рассмотрение движения вдоль оси О х не позволит определить время полета, так как вдоль этой оси тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго.) Приравняв у = 0 (координата тела по О у в начале и конце полета), получим:

t (v₀ sin a – gt /2) = 0,

t ₁ = 0, t ₂ = (2v₀/ g) sin a. (1.29)

Искомое время полета t _п = (2v₀/ g) sin a.

4) Так как вдоль оси О х движение равномерное и известно время движения (1.29), то

x _max = l = v_{0 x} t _п = (v₀ cos a · 2v₀ sin a)/ g = . (1.30)

5) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1.28), подставив в нее время подъема t _под, которое можно определить по формуле (1.27), из условия, что v_y в наивысшей точке подъема равно 0:

0 = v_{0 y} – gt _под,

t _под = (v₀/ g) sin a.

Таким образом,

y _max = h _max = v_{0 y}t _под – = ,

h _max = . (1.31)

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола – симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х -координату наивысшей точки подъема:

х = l /2 = sin a cos a.

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

h _max = ,

h _max =

6) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное – по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения . Раскладываем на две составляющие в точках O и А (рис.1.17).

Рис.1.17

В точке O

a _0t = g sin a, a _{0 n} = g cos a.

В точке А

a _{t А} = 0, a_nА = g.

Нормальное ускорение определяется по формуле

а _n = v²/R,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке, т.е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда R = v²/ a _n.

В точке O

v = v₀, a _n = g cosa,

тогда R ₀ =

В точке А v _y = 0, скорость имеет только x -компоненту:

v_A = v_{0 x} = v₀cos a,

а нормальное ускорение в точке А (a _n = g). Отсюда

R_A = .

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью v₀ = 5 м/с с высоты
h = 1,5 м. Определите: 1) время полета мяча до его падения на землю t _пол; 2) максимальную высоту подъема h _max; 3) конечную скорость v_к.Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем этой общей задачи.

2. Определите полное ускорение автомобиля в конце поворота радиусом 10 м на угол 90°. Скорость в начале поворота v₁ = 72 км/ч, в конце v₂ = 36 км/ч. Считать касательное ускорение постоянным.

3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определите, на какой высоте касательное (тангенциальное) ускорение тела станет равным его центростремительному (нормальному) ускорению?

4. Вычислите угловую и линейную скорости орбитального движения спутника Земли, если период его обращения 121,16 мин, а высота полета 1700 км.

5. На наклонную плоскость с углом у основания 30° с высоты 1 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 10 м. Сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с нее? Удар считать упругим.

6. Под углом 60° к горизонту бросают камень со скоростью 19,6 м/с. Определите центростремительное и касательное ускорения через 0,65 с после начала движения.