Физические модели: материальная точка, абсолютное твердое тело

Курс лекций для бакалавров

Лекция 1

Предмет физики. Физические модели: материальная точка, абсолютное твердое тело.

Механическое движение. Классификация движений.

Основная задача механики.

Кинематические характеристики поступательного движения твердого тела и материальной точки: перемещение, путь, скорость, ускорение (полное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения).

Угловые кинематические характеристики движения: Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Связь линейных и угловых кинематических характеристик.

Предмет физики

Физика – это наука о природе, но ведь такие науки, как химия, астрономия, биология, медицина тоже изучают природу. Прежде всего, физика изучает неживую природу, поэтому ее трудно спутать с биологией, хотя открытие двойной спирали ДНК, «главной молекулы», было сделано в физической лаборатории. Это открытие определило пути развития молекулярной биологии, призванной ответить на вопрос: что такое жизнь?

Физика изучает фундаментальную структуру материи.

Именно благодаря тому, что физика изучает элементарные системы, она является основой практически всех естественных наук. Например, квантовая теория позволила химикам объяснить химическое строение вещества, законы распространения звука помогают геологам изучать земные недра. Физическими методами исследования пользуются ученые практически всех областей науки.

Огромную роль играет физика и в технике. В физических лабораториях проводятся опыты, результаты которых затем используются при создании приборов и методов исследования во многих областях техники, в частности в строительстве. Исследования физических свойств строительных материалов, таких как упругость, прочность, тепло- и влагопроводность позволяет правильно решить инженерные задачи прочности сооружений, теплоустойчивости зданий. Законы гидродинамики позволяют рассчитать воздушный режим зданий и сооружений и т.д. Трудно найти проблему в строительстве не связанную с физикой. Широко используются физические методы исследования – моделирование процессов, теории размерности и подобия.

Физика учит правильности обработки экспериментальных данных, подходу к точности измерения и теории, обобщению результатов исследования.

В физике вводятся физические величины, устанавливается между ними связь, то есть формулируется закон, которым затем пользуются инженеры. Нет абсолютно точных законов, как и нет абсолютно точных измерений.

У каждого закона есть пределы применимости. Так, широко известен закон Ома – сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению:

Однако этот закон справедлив не для всех проводников. Например, он неприменим для ионизованного газа. Кроме того, им можно пользоваться только в определенном интервале значений силы тока, в котором можно считать сопротивление постоянным. На самом деле, при протекании тока, проводник нагревается, сопротивление проводника увеличивается, и сила тока будет отличаться от расчетной по приведенной формуле.

Целью физики является такое описание физического явления, которое бы, в конечном счете, сводилось к соотношению между числами. Английский физик Дж. Клерк Максвелл говорил: «Точные науки стремятся к тому, чтобы свести загадки природы к определению некоторых величин путем операций с числами».

Физика способствовала развитию многих областей математики.

Например, И. Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисление, пытаясь написать уравнения движения тел.

Математика иногда является не только вспомогательным инструментом для формулировки законов, но и способствует их открытию. Так, стремление к простоте математического описания позволило австрийскому физику Э. Шредингеру записать уравнение, которому подчиняется мир атомов.

Несмотря на множество теорий, существующих в настоящее время, физика продолжает бурно развиваться. Каждый новый эксперимент позволяет усовершенствовать теорию, некоторые эксперименты заставляют вообще отказаться от определенных представлений (так было с теорией теплорода). Между теорией и экспериментом существует неразрывная связь, непрерывное взаимодействие. Так, мы уже сказали, что как теория подтверждается экспериментом, так и направление экспериментальной деятельности, постановка новых экспериментов диктуются теорией.

Одной из современных проблем физики является проблема, из чего состоят все тела, т.е. проблема первоматерии; основной здесь вопрос – это вопрос о составе элементарных частиц, которых в наше время обнаружено множество, кроме этого неизменен интерес к проблеме происхождения Вселенной. В настоящее время мы наблюдаем бурное развитие физики, исследования на Большом адроном коллайдере в Церне приблизили физиков к подтверждению Стандартной модели, объединяющей три вида взаимодействия.

Конечно, еще многие вопросы физики остаются открытыми, однако практически относительно каждой проблемы высказаны рабочие гипотезы, сделаны предположения. Процесс изучения физики во многом повторяет исторический ход развития этой науки. Поэтому каждый раз, начиная изучение физики с механики, мы снова вводим известные понятия, но уже, находясь на новой ступени познания, позволяющей глубже и тоньше понимать законы природы.

Основная задача механики

Основной задачей механике является определение уравнения движения, то есть уравнения, позволяющего определить положение тела в любой момент времени, кроме этого определяются причины, вызывающие определенное движение.

В разделе механики – кинематика ставится задача определения уравнения движения тел без выяснения причин, вызывающих данное движение.

Для описания движения материальной точки можно использовать два способа,

Векторный способ предлагает задавать положение радиусом-вектором , проведенным из начала координат в данную точку А (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Координатный способ позволяет определять положение точки с помощью координат, которые при ее движении изменяются со временем, например, в декартовой системе координат положение точки задается тремя координатами

Кинематические характеристики поступательного движения твердого тела и материальной точки: перемещение, путь, скорость, ускорение (полное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения). Относительность движения.

Для описания движения тела необходимо ввести физические величины.

1.1 Перемещение – вектор, соединяющий начальную А и конечную В точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени Δ t (рис.1.3).

Рис.1.3

1.2 Путь или длина пути l – длина траектории.

При прямолинейном движении (траектория – прямая линия) модуль перемещения равен длине пути l, если движение происходит в одном направлении.

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.

Средняя скорость перемещения – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

= / t. (1.1)

Пусть точка движется по траектории от A до B. На рис.1.3 показаны перемещение и вектор средней скорости .

Гораздо чаще для характеристики движения мы пользуемся понятием средней скорости прохождения пути, равной отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

v_{ср l} = l / t. (1.2)

На рис.1.4 l – это длина кривой AB. Ясно, что, поскольку ½ ½ ≤ l, то ½ ½ ≤ v_{ср l}.

Мгновенная скорость – скорость тела в данный момент времени.

Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения D к промежутку времени Δ t, за который это перемещение произошло, при стремлении Δ t к нулю, то есть первая производная радиуса-вектора по времени:

. (1.3)

 

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: направлено вдоль секущей АВ (рис.1.3). Если Δ t стремится к нулю, то в пределе точки А и В сольются в одну точку, при этом секущая превращается в касательную.

Рис.1.4

Рассмотрим движение точки относительно прямоугольной системы координат (рис. 1.5). Положение точки характеризуется положением радиуса –вектора . Из рисунка видно, что перемещение точки равно изменению радиуса-вектора: , .

Рис. 1.5

Тогда мгновенную скорость точки можно определить как первую производную радиуса-вектора по времени:

. (1.4)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке

Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает со средней скоростью перемещения:

= = = .

Пусть x ₀ – координата точки в момент времени t = 0, а x – координата в момент времени t. Тогда = x - x ₀.

Рис. 1.6

 

Из определения скорости мы можем определить уравнение движения:

Постоянный вектор определяем из начальных условий. Пусть в момент времени t= 0

 

Тогда уравнение движения в векторной форме имеет вид: (1.5).

В проекции на ось OX

x = x ₀ + v _xt, (1.6)

 

Скорость v _x = ±v, где v = .

Тогда получаем закон движения в том виде, в котором чаще всего он используется при решении задач:

x = x ₀ ± v t. (1.7)

 

Относительность движения

Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела относительно разных тел, причем эти тела, а следовательно, связанные с ними системы отсчета, могут двигаться друг относительно друга.

Если известна скорость тела в движущейся системе отсчета со скоростью, называемой относительной скоростью , и известна скорость подвижной системы относительно неподвижной со скоростью, называемой переносной , то скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, абсолютная скорость – , определяется согласно классическому закону сложения скоростей:

= + ,

Т.е. абсолютная скорость тела равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Обратим внимание на то, что взяв производную по времени от левой и правой частей этого равенства, мы получим выражение для мгновенного ускорения.

Если же тела, с которыми связаны неподвижная и подвижная системы отсчета движутся равномерно друг относительно друга и одна из систем является инерциальной (см. ниже), то ускорения тела равны:

=

 

Ускорение

Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением.

Среднее ускорение – величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

= /Δ t. (1.10)

Если и – мгновенные скорости в моменты времени t ₁ и t ₂, то

= – , Δ t = t ₂ – t ₁.

На рис.1.8 изображены векторы мгновенных скоростей. Чтобы их сравнить, сделаем параллельный перенос вектора в точку А. Тогда определит направление .

 

Рис. 1.8

Мгновенное ускорение – ускорение тела в данный момент времени. Это физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении промежутка времени к нулю:

= . (1.11)

Вектор направлен так же, как и вектор при Δ t ® 0, и не совпадает в общем случае с направлением вектора скорости .

 

Рис. 1.9

Пусть вектор мгновенного ускорения направлен, как указано на рис.1.9, под углом к вектору скорости. Ускорение характеризует изменение скорости по модулю и по направлению. Разложим ускорение на две составляющие: а _t – тангенциальное (касательное) ускорение и а_n – нормальное (центростремительное) ускорение. Компонента а _t направлена по касательной к траектории и характеризует изменение скорости по модулю, а_n направлено к центру кривизны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости по направлению. Компонента а_n = v²/ R, где – мгновенная скорость, R – радиус кривизны траектории в данной точке,

= + . (1.12)

Модуль мгновенного ускорения равен

а _мгн = . (1.13) При прямолинейном движении a_n = 0, скорость не изменяется по направлению. Если = остается постоянным, то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно. В этом случае среднее ускорение равно мгновенному:

= .

Из определения ускорения следует , (1.14)

Направим ось ОХ вдоль направления движения тела в момент времени t = 0 (рис.1.10). Из определения ускорения следует

a_x = ,

где v_{0 x} – скорость тела при t = 0.

Тогда v _x = v_{0 x} + a_xt. (1.12)

На рис.1.10 показаны различные направления ускорения.

Проинтегрировав v _x (t) по времени найдем уравнение прямолинейного равноускоренного движения:

(1.15)

В векторном виде уравнение движения имеет вид:

(1.16)

Чаще при решении задач пользуемся уравнениями:

х = х ₀ ± v₀ t ± at ²/2,

v _x = ±v₀ ± at, (1.17)

где v₀ и a – модули начальной скорости и ускорения.

Примеры решения задач

Рассмотрим в качестве примера задачу о движении тела, брошенного со скоростью v₀ под углом a к горизонту. Такое движение называется баллистическим движением.

Даны начальная скорость и угол a, ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения . Определим: 1) уравнение движения; 2) траекторию движения; 3) время полета t _п; 4) дальность полета l; 5) максимальную высоту подъема h _max; 6) a_n и a _t в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема; 7) радиусы кривизны траектории в этих точках.

1) Движение происходит в плоскости хОу (рис.1.16). В начальный момент времени, t = 0, тело находилось в начале координат, т.е. в точке О.

Рис. 1.16

Движение происходит с постоянным ускорением свободного падения.

Тогда уравнение движения имеет вид:

.

В проекциях на оси Ох и Оу имеем:

х = v_{0 x} t = v₀ t cos a; (1.24)

y = v_{0 y} t – gt ²/2 = v₀t sin a – gt ²/2. (1.25)

Согласно закону независимости движений это движение можно представить как сумму двух движений: равномерного движения вдоль оси О х и равноускоренного вдоль оси О у.

Скорость вдоль оси Ох остается постоянной и равной проекции начальной скорости

v _x = v_{0 x} = const. (1.26)

Движение по оси О у равноускоренное с постоянным ускорением а_у = - g и начальной скоростью v_0у = v₀ sin a. Изменение проекции скорости происходит по закону:

v _y = v_{0 y} – gt, (1.27)

2) Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве, т.е. у (х).

Из (1.19) t = x /v₀ cos a, подставим в (1.25):

y = x tg a – . (1.28)

Уравнение (1.23) – уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начала координат (рис.1.16).

3) Воспользуемся формулой (1.25) для определения времени полета тела. (рассмотрение движения вдоль оси О х не позволит определить время полета, так как вдоль этой оси тело могло бы равномерно двигаться сколь угодно долго.) Приравняв у = 0 (координата тела по О у в начале и конце полета), получим:

t (v₀ sin a – gt /2) = 0,

t ₁ = 0, t ₂ = (2v₀/ g) sin a. (1.29)

Искомое время полета t _п = (2v₀/ g) sin a.

4) Так как вдоль оси О х движение равномерное и известно время движения (1.29), то

x _max = l = v_{0 x} t _п = (v₀ cos a · 2v₀ sin a)/ g = . (1.30)

5) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (1.28), подставив в нее время подъема t _под, которое можно определить по формуле (1.27), из условия, что v_y в наивысшей точке подъема равно 0:

0 = v_{0 y} – gt _под,

t _под = (v₀/ g) sin a.

Таким образом,

y _max = h _max = v_{0 y}t _под – = ,

h _max = . (1.31)

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола – симметричная кривая. Зная дальность полета, можно определить х -координату наивысшей точки подъема:

х = l /2 = sin a cos a.

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

h _max = ,

h _max =

6) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное – по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения . Раскладываем на две составляющие в точках O и А (рис.1.17).

Рис.1.17

В точке O

a _0t = g sin a, a _{0 n} = g cos a.

В точке А

a _{t А} = 0, a_nА = g.

Нормальное ускорение определяется по формуле

а _n = v²/R,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке, т.е. радиус окружности, часть дуги которой совпадает с траекторией в данной точке. Отсюда R = v²/ a _n.

В точке O

v = v₀, a _n = g cosa,

тогда R ₀ =

В точке А v _y = 0, скорость имеет только x -компоненту:

v_A = v_{0 x} = v₀cos a,

а нормальное ускорение в точке А (a _n = g). Отсюда

R_A = .

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью v₀ = 5 м/с с высоты
h = 1,5 м. Определите: 1) время полета мяча до его падения на землю t _пол; 2) максимальную высоту подъема h _max; 3) конечную скорость v_к.Большинство задач на криволинейное движение является частным случаем этой общей задачи.

2. Определите полное ускорение автомобиля в конце поворота радиусом 10 м на угол 90°. Скорость в начале поворота v₁ = 72 км/ч, в конце v₂ = 36 км/ч. Считать касательное ускорение постоянным.

3. Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. Определите, на какой высоте касательное (тангенциальное) ускорение тела станет равным его центростремительному (нормальному) ускорению?

4. Вычислите угловую и линейную скорости орбитального движения спутника Земли, если период его обращения 121,16 мин, а высота полета 1700 км.

5. На наклонную плоскость с углом у основания 30° с высоты 1 м падает мяч. Длина наклонной плоскости 10 м. Сколько раз мяч ударится о наклонную плоскость, прежде чем соскочит с нее? Удар считать упругим.

6. Под углом 60° к горизонту бросают камень со скоростью 19,6 м/с. Определите центростремительное и касательное ускорения через 0,65 с после начала движения.

Курс лекций для бакалавров

Лекция 1

Предмет физики. Физические модели: материальная точка, абсолютное твердое тело.

Механическое движение. Классификация движений.

Основная задача механики.

Кинематические характеристики поступательного движения твердого тела и материальной точки: перемещение, путь, скорость, ускорение (полное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения).

Угловые кинематические характеристики движения: Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение. Связь линейных и угловых кинематических характеристик.

Предмет физики

Физика – это наука о природе, но ведь такие науки, как химия, астрономия, биология, медицина тоже изучают природу. Прежде всего, физика изучает неживую природу, поэтому ее трудно спутать с биологией, хотя открытие двойной спирали ДНК, «главной молекулы», было сделано в физической лаборатории. Это открытие определило пути развития молекулярной биологии, призванной ответить на вопрос: что такое жизнь?

Физика изучает фундаментальную структуру материи.

Именно благодаря тому, что физика изучает элементарные системы, она является основой практически всех естественных наук. Например, квантовая теория позволила химикам объяснить химическое строение вещества, законы распространения звука помогают геологам изучать земные недра. Физическими методами исследования пользуются ученые практически всех областей науки.

Огромную роль играет физика и в технике. В физических лабораториях проводятся опыты, результаты которых затем используются при создании приборов и методов исследования во многих областях техники, в частности в строительстве. Исследования физических свойств строительных материалов, таких как упругость, прочность, тепло- и влагопроводность позволяет правильно решить инженерные задачи прочности сооружений, теплоустойчивости зданий. Законы гидродинамики позволяют рассчитать воздушный режим зданий и сооружений и т.д. Трудно найти проблему в строительстве не связанную с физикой. Широко используются физические методы исследования – моделирование процессов, теории размерности и подобия.

Физика учит правильности обработки экспериментальных данных, подходу к точности измерения и теории, обобщению результатов исследования.

В физике вводятся физические величины, устанавливается между ними связь, то есть формулируется закон, которым затем пользуются инженеры. Нет абсолютно точных законов, как и нет абсолютно точных измерений.

У каждого закона есть пределы применимости. Так, широко известен закон Ома – сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению:

Однако этот закон справедлив не для всех проводников. Например, он неприменим для ионизованного газа. Кроме того, им можно пользоваться только в определенном интервале значений силы тока, в котором можно считать сопротивление постоянным. На самом деле, при протекании тока, проводник нагревается, сопротивление проводника увеличивается, и сила тока будет отличаться от расчетной по приведенной формуле.

Целью физики является такое описание физического явления, которое бы, в конечном счете, сводилось к соотношению между числами. Английский физик Дж. Клерк Максвелл говорил: «Точные науки стремятся к тому, чтобы свести загадки природы к определению некоторых величин путем операций с числами».

Физика способствовала развитию многих областей математики.

Например, И. Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисление, пытаясь написать уравнения движения тел.

Математика иногда является не только вспомогательным инструментом для формулировки законов, но и способствует их открытию. Так, стремление к простоте математического описания позволило австрийскому физику Э. Шредингеру записать уравнение, которому подчиняется мир атомов.

Несмотря на множество теорий, существующих в настоящее время, физика продолжает бурно развиваться. Каждый новый эксперимент позволяет усовершенствовать теорию, некоторые эксперименты заставляют вообще отказаться от определенных представлений (так было с теорией теплорода). Между теорией и экспериментом существует неразрывная связь, непрерывное взаимодействие. Так, мы уже сказали, что как теория подтверждается экспериментом, так и направление экспериментальной деятельности, постановка новых экспериментов диктуются теорией.

Одной из современных проблем физики является проблема, из чего состоят все тела, т.е. проблема первоматерии; основной здесь вопрос – это вопрос о составе элементарных частиц, которых в наше время обнаружено множество, кроме этого неизменен интерес к проблеме происхождения Вселенной. В настоящее время мы наблюдаем бурное развитие физики, исследования на Большом адроном коллайдере в Церне приблизили физиков к подтверждению Стандартной модели, объединяющей три вида взаимодействия.

Конечно, еще многие вопросы физики остаются открытыми, однако практически относительно каждой проблемы высказаны рабочие гипотезы, сделаны предположения. Процесс изучения физики во многом повторяет исторический ход развития этой науки. Поэтому каждый раз, начиная изучение физики с механики, мы снова вводим известные понятия, но уже, находясь на новой ступени познания, позволяющей глубже и тоньше понимать законы природы.

Физические модели: материальная точка, абсолютное твердое тело

Под моделью понимается некоторое упрощенное описание реального объекта или явления, которое достаточно для того, чтобы их понять. Модель должна сохранять те свойства реального объекта, которые определяют его поведение. Очевидно, что проблема становится более понятной с помощью конкретных образов, именно поэтому модель чаще всего бывает механической. Например, движение молекул газа наглядно можно представить как движение упругих шариков. При усложнении задачи усложняется и модель.

Одна из первых моделей, которой мы будем пользоваться, – это материальная точка, т. е. тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Последние слова являются ключевыми: именно условия конкретной задачи позволяют применить данную модель.

Так, камень, брошенный вертикально вверх, мы можем рассматривать как материальную точку при оценке высоты его подъема, времени полета, скорости и т. д. При этом мы, как правило, пренебрегаем сопротивлением воздуха, т. е. пользуемся грубой моделью, которая, однако, позволяет получить желаемый результат. Но, если рассматривать движение капли дождя в воздухе, мы должны при определении тех же физических величин учитывать изменение формы капли, сопротивление воздуха, так как именно движение воздуха может стать фактором, определяющим траекторию ее движения.

Сначала, когда данных мало, модель, как правило, получается грубой, по мере накопления экспериментальных фактов модель уточняется. Все же отметим, что иногда для ответов на некоторые важные вопросы можно остановиться и на примитивной модели.

Второй моделью, которой мы пользуемся в механике, это абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении.

Эти две модели позволяют не рассматривать деформацию тел при их движении.