Динамика точки. Две задачи динамики

ДИНАМИКА

ДИНАМИКА ТОЧКИ. ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

Первая основная задача динамики материальной точки

Первая основная задача динамики точки заключается в том, что задан закон (уравнения) движения точки и ее масса, а требуется определить силу, действующую на точку.

Дано: т, x = f ₁(t); y = f ₂(t); z = f ₃(t).

Определить .

Эта задача решается дифференцированием заданных уравнений движения и подстановкой результатов дифференцирования в уравнения:

(75)

Величина и направление силы действующей на точку находится по следующим формулам:

(76)

При решении первой задачи динамики нужно придер-живаться следующей последовательности действий:

1) изобразить точку в текущий момент времени;

2) изобразить активные силы, действующие на точку;

3) освободить точку от связей, заменить действие связей реакциями;

4) выбирать систему координат;

5) составить дифференциальные уравнения движения точки по формулам (75).

В тех задачах, в которых траекторией точки является окружность, дифференциальные уравнения движения выгодно брать в естественной форме:

; (77)

6) найти по заданному закону движения токи проекции ускорения на оси координат по формулам:

; (78)

7) подставитьнайденные величины в уравнения (75), найтипроекции силы, а по найденным проекциям силы определить величину и направление силы по формулам (76).

В частном случае прямолинейного движения точки, для уп­рощения решения задачи, при составлении дифференциальных уравнений движения (75) рекомендуется одну из осей коорди­нат направлять по траектории точки в сторону движения. В случае плоского движения точки систему координат хОу нужно брать в плоскости движения, причем так, чтобы координаты текущего положения точки были положительными. При составлении дифференциальных уравнений (75) касательную к траектории точки следует направлять в сторону положитель­ного направления отсчета дуг, а главную нормаль—в сторону вогнутости траектории

Задачи

Задачи

3.2.1*. Корпус кривошипно-ползунного механизма укреплен на глад­ком основании с помощью болтов (рис. 379). Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найти силу давления корпуса на основа-ние, а также горизонтальное усилие, воспринимаемое болта-ми при работе механизма, если ОА = АВ = l = 0,5м, масса кривошипа т ₁ = 1 кг, масса шатуна m ₂ = 1 кг, масса ползуна т ₃ = 2 кг, масса корпуса m ₄ = 5 кг, ω = 14 рад/с.

Ответ: N = 88,2 - 588 cos 14 t H,

Рис. 379 R = 98 sin 14 t H.

3.2.2. Положение центра масс С механической системы массой т = 50 кг определяется радиус-вектором . Опре­делить статический момент масс этой системы относительно плос­кости Оху. (250)

3.2.3. Определить координату х_С центра масс кривошипно-ползунного механизма (рис. 380) при уг­лах φ = 90° и α = 30°, если масса кривошипа 1 равна 4 кг, а масса шатуна 2 равна 8 кг. Ша­тун 2 длиной 0,8 м считать однородным стерж­нем. Массой ползуна 3 пренебречь.(0,231)

3.2.4. Тело массой т = 2 кг движется по гори­зонтальным направляющим (рис. 381) согласно закону s = 2 t ² + 1. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на тело. (8)

Рис. 380 Рис. 381 Рис. 382

3.2.5. Тело 1 массой т = 50 кг поднимается по наклонной плоскости с помощью троса (рис. 382), нама­тываемого на барабан 2 радиуса R = 0,4 м. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на тело 1, если угловое ускорение барабана ε = 5 рад/с². (100)

3.2.6. Механическая система (рис. 383) движетсятак, что проекции ускорения ее центра масс С на оси координат равны а_{С х} = 1 м/с², а_Су = 2 м/с², а_Сz = 4 м/с². Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на систе­му, если масса системы т = 40кг. (183)

3.2.7. Движение центра масс механической систе­мы определяется радиус-вектором (рис. 384). Определить проекцию на ось Оу главного вектора внешних сил в момент времени t = 0,5 с, если масса системы m = 10 кг. (-197)

 

Рис. 383 Рис. 384 Рис. 385

3.2.8. Диск массой т = 20 кг вращается равно­мерно вокруг неподвижной оси с угловой ско­ростью ω = 10 рад/с (рис. 385). Определить модуль глав­ного вектора внешних сил, приложенных к диску, если его центр тяжести удален от оси вращения на расстояние ОС = 0,5 см. (10)

3.2.9. Центр масс колеса С (рис. 386) движется по окруж­ности радиуса R = 1,3 м согласно закону s = 4 t. Определить модуль главного вектора внешних сил, приложенных к колесу, если его масса т = 15 кг. (185)

3.2.10. Кривошип 1 шарнирного параллелограмма (рис. 387) вращается равномерно с угловой скоростью ω = 5 рад/с. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на звено 2, если его масса т = 8кг, длина ОА = 0,4 м. (80)

 

Рис. 386 Рис. 387 Рис. 388

3.2.11. Однородный равносторонний треугольник ОАВ массой т = 5 кг (рис. 388) вращается равномерно вокруг неподвижной оси. Определить его угло­вую скорость ω, если главный вектор внешних сил, действующих на него, равен 300 Н, а длина l =0,4м. (16,1)

3.2.12. Шкив 2 (рис. 389)радиуса R = 0,2 м, вращаясь с угловым ускорением ε₂ = 10 рад/с², подни­мает однород-ный цилиндр 1, масса которого т = 50 кг. Определить модуль главного век­тора внешних сил, действующих на цилиндр. (50)

3.2.13. Однородный диск радиуса (рис. 390) R = 0,5 м, масса которого т = 20 кг, вращается с посто­янным угловым ускорением ε = 10 рад/с². Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на диск. (0)

 

Рис. 389 Рис. 390 Рис. 391

3.2.14. Однородный стержень ОА (рис. 391) массой т = 10 кг вращается равномерно с угловой ско­ростью ω = 10 рад/с. Определить модуль глав­ного вектора внешних сил, действующих на стержень, если его длина ОА = 1 м. (500)

3.2.15. Ползун А (рис. 392) движется под действием силы с постоянной скоростью . Определить реакцию направляющей на ползун А в тот мо­мент времени, когда ускорение ползуна В равно а_B = 4 м/с², если масса однородного стержня АВ равна 5 кг. Массой ползунов пре­небречь. (10)

3.2.16. Кривошип 1 (рис. 393) длиной ОА = 0,25 м, враща­ясь равномерно с угловой скоростью ω = 10 рад/с, приводит в движение кулису 2, масса которой т = 5 кг. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на кулису в момент времени; когда угол φ = 60°. (62,5)

Рис. 392 Рис. 393 Рис. 394

3.2.17. Определить модуль главного вектора внешних сил, действующих на шатун АВ кривошипно-ползунного механизма (рис. 394) в момент времени, когда угол φ = 180°, а точки А и В имеют ускорения а_A = 10 м/с², a_B = 14 м/с². Шатун массой т = 5 кг считать однородным стержнем. (60)

3.2.18. Определить проекцию ускорения центра масс С механической системы (рис. 395) на ось Оу в момент времени, когда координата у_C = 0,8 м, если масса системы т = 10 кг, а главный век­тор приложенных внешних сил . В начальный момент времени центр масс сис­темы находился в точке О в покое. (1,2)

3.2.19. Тело 1 массой 4кг может двигаться по го­ризонтальной направляющей (рис. 396). На какое рассто­яние переместится тело 1, когда однородный стержень 2 массой 2 кг и длиной l = 0,6 м, опускаясь под действием силы тяжести, займет вертикальное положение. В начальный момент система находилась в покое. (0,1)

3.2.20. Тело 1 массой m = 0,7 кг (рис. 397) может дви­гаться по горизонтальной направляющей. Определить модуль ускорения тела 1 в момент времени t = 0,25 с, если относительно него под действием внутренних сил системы движется тело 2 массой т = 0,1 кг согласно уравне­нию s = sin 4 t. (0,841)

 

 

Рис. 395 Рис. 396 Рис. 397

 

3.2.21. На тело 1 (рис. 398) действует постоянная сила F = 10 Н. Определить ускорение этого тела в момент времени t = 0,5 с, если относительно него под действием внутренних сил системы движется тело 2 согласно уравнению х = cos π t. Массы тел: m ₁ = 4 кг, m ₂ = 1 кг. Тела движутся поступательно. (2)

 

Рис. 398 Рис. 399

3.2.22. Определить ускорение тела 1 (рис. 399), скользящего по гладкой наклонной плоскости, если в гори­зонтальных направляющих относительно него под действием внутренних сил системы дви­жется тело 2 согласно уравнению х = t ². Мас­сы тел: m ₁ = m ₂ = 1 кг. Тела движутся по­ступательно. (4,04)

3.3. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Производная по времени от количества движения системы материальных точек равна главному вектору внешних сил действующих на систему

,

или в дифференциальной форме: Дифференциал количества движения системы материальных точек равен векторной сумме элементарных импульсов действующих на систему внешних сил

.

Решение задач с помощью теоремы об изменении ко­личества движения по сравнению с решением задач с ис­пользованием дифференциальных уравнений движения системы упрощается, поскольку применение теоремы ис­ключает необходимость рассмотрения внутренних сил си­стемы. Решение оказывается особенно простым в том случае, когда выполняется закон сохранения количе­ства движения.

Решение задачи с помощью теоремы обизменении ко­личества движения рекомендуется проводить в следую­щей последовательности.

1. Изобразить систему в положении, которое она зани­мает в промежуточный момент времени (t > 0).

2. Изобразить на рисунке все приложенные к системе внешние силы (как активные, так и реакции связей).

3. Провести оси координат. Если на систему действу­ют только параллельные силы, то одна из осей проводит­ся перпендикулярно направлению действия сил, в противном же случае оси проводятся наиболее естественным способом, вытекающим из условия задачи. Начало коор­динат следует совместить с положением основного тела при t = 0 или с положением его статического равновесия.

4. Составить уравнения теоремы об изменении коли­чества движения в проекциях на выбранные, оси коорди­нат в дифференциальной форме:

dQ_х/dt = , dQ_y/dt= , dQ_z/dt = ,

или в интегральной форме:

, , .

4. Изобразить на рисунке абсолютные и относитель­ные скорости тел системы и подсчитать проекции коли­чества движения системы на оси координат. Необходимо иметь в виду, что в выражения

, ,

входят абсолютные скорости. Если направление скорости какой-либо точки заранее не­известно, то скорость направляют в сторону положитель­ных направлений осей координат.

6. Подставив выражения проекций количества движе­ния системы в формулы теоремы (п. 4), определить не­известные силы пли получить дифференциальные уравнения движения интересующей нас части системы.

7. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения и найти искомые неизвестные.

8. Если выполняется закон сохранения количества движения или какой-либо его проекции (т. е. если = 0 или = 0 и, следовательно, = const = или

Q_x= const = Q_x0), то задача сводится к определению количеств движения системы (или их проекции) в на­чальный и заданный (или текущий) моменты времени и приравниванию их друг другу

Пример 1. На железнодорожной платформе, свободно стоя­щей на рельсах, установлена лебедка А с барабаном радиусом r (рис. 400). Лебедка предназначена для перемещения по платформе гру­за B массой т ₁. Масса платформы с лебедкой m ₂. При включении ле­бедки барабан вращается по закону, ω = f (t) рад/с. В начальный момент система неподвижна. Пренебрегая трением, найти закон изменения скорости платформы после включе­ния лебедки.

Решение. Чтобы исключить неизвестные силы взаимодействия между лебедкой и платформой, лебедкой и грузом, грузом и платформой, рассмотрим платформу, лебедку и груз как единую механическую систему. Тогда все внешние силы, действующие на эту систему (силы тяжести , и реакции , ) будут вертикальными. Проведем ось х перпендикулярно им и за­пишем теорему об изменении количества движения системы в про­екциях на эту ось:

.

Таким образом, мы имеем

Риc. 400 случай сохранения проекции

количества движения системы: Q_x= const = Q_x0, поскольку в начальный момент система неподвижна, Q_x0 = 0, и решение задачи сводится к тому, чтобы найти количество движе­нии в момент времени t > 0 и приравнять полученное выраже­ние нулю. Обозначим скорость тележки через и направим ее в сторону положительного направления оси х. Скорость груза В относительно платформы обозначим ; при этом v ₂ = ωr. Абсо­лютная скорость груза равна v_B = v ₁+ v ₂ = v ₁ + ωr. Тогда

Q_x = m ₂ v ₁+ (т ₁ v ₁ – ωr) = 0,

откуда

.

Знак минус показывает, что платформа будет перемещаться в сто­рону, противоположную относительному движению груза.

Пример 2. Электрический мотор массой т ₁ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте (рис. 401). На валу мотора под прямым углом за­креплен одним концом невесомый стержень длиной l, на другой конец стержня насажен точечный груз А массой m ₂. В момент включения мо­тора стержень занимает вертикаль­ное положение. После включения мотора угловая скорость его вала по­стоянна и равна ω. найти:

1) горизонтальное движение мотора; 2) силу давления мотора на фундамент.

Решение. Изобразим мотор в положении φ = ωt > 0. К системеприложены внешние силы: силы тяжести , и реакция фундамента . Все они

Рис. 401вертикальны, поэтому ось х проведем гори­зонтально. Начало отсчета выберем в положении, которое занимает центр мотора при φ = 0, т. е. при t = 0. Запишем теорему в про­екциях на оси координат:

dQ_х/dt = ,

следовательно, Q_х = const = Q_х0 = 0, так как до включения мотор и груз А были неподвижны; dQ_у/dt = = = N- Р - Q, откуда N = g (m₁+ m₂)+ dQ_y/dt. Таким образом, задача сводится к определению проекций количества движения системы. Пусть центр мотора дви­жется вправо со скоростью v_c, тогда

Q_x = m ₁ v_c + m ₂ v_Ax, Q_у = m ₂ v_Ay,,

где — абсолютная скорость груза А. Переносной скоростью гру­за является скорость мотора , относительной — скорость при вращении груза А вокруг точки С: v_r = ωl. Тогда v_Ax = v_с – ωl cos ωt, v_Aу =- ωl sin ωt и, следовательно,

Q_x = (m₁ + m₂) v_c - m₂ωl cos ωt, Q_y = - m₂ ωl sin ωt.

Так как Q_х = 0, получаем, что

откуда + С. Из начальных условий (t = 0, х_С = 0) находим С = 0 и окончательно

,

т. е. центр мотора будет совершать горизонтальные гармонические колебания относительно своего начального положения с амплиту­дой m ₁ l/ (m ₁ + т ₂). Сила давления мотора на фундамент по вели­чине равна реакции фундамента, действующей на мотор, поэтому

N = g (т ₁+ m ₂) + = g (т ₁ + т ₂) - m ₂ ω²l cos ωt).

Минимальное значение реакции достигается при cos ωt = 1, т. е. при φ = 0, а максимальное — при φ = π:

N_min = g (m ₁ — m ₂) + т ₂ ω ² l, N_max = g (m ₁+ m ₂) + m ₂ ω ² l.

Если N_min < 0, то мотор начинает подпрыгивать на фундаменте. В этом случае его угловаяскорость

.

Пример 3. Призма А мас­сой т ₁ лежит на гладкой наклон-ной плоскости. По ней дви­жется тело В массой т ₂ при­чем это относительное движе­ние происходит по закону s = nt ² / 2. В начальный момент тело А находится в покое. Оп­ределить зависимость скорости тела А от времени (рис. 402).

Решение. Система состоит из двух тел: А и В. На нее действуют следующие внешние силы: - сила тяжести тела А, - сила тяжести тела В, - реакция наклонной плоскости. Для решения задачи применим теорему об изме­нении количества движения системы в интегральной форме в про­екциях на ось х:

,

где Q_0x — проекция количества движения системы в начальный момент времени, а Q_x — та же проекция в произвольный момент времени t.

Определим количество движения системы в момент t: , где - количество движения тела А, — количество движения тела В, и — абсолютные скорости тел А и В.

Для тела В переносной

Рис.402 скоростью является скорость тела А (), а относительная скорость nt, следовательно,

.

Проекция количества движения системы на ось х равна

Q_x = (m ₁+ m ₂) v_A + m ₂ nt cos β.

По условию при t = 0, v_a = 0, и поэтому Q_х0 = 0. Определим про­екции импульсов внешних сил на ось х за время t:

,

,

, так как N_x= 0.

Подставив найденные величины в формулу теоремы, получим

(m ₁ + m ₂) v_А + т ₂ пt cos β = g (m ₁+ m ₂) t sin α,

или

.

Таким образом, скорость призмы А пропорциональна времени, а ее направление зависит от знака выражения, стоящего в скобках. Призма будет двигаться вверх по наклонной плоскости, если g sin α – т ₂ п cos β/(m ₁ + m ₂) < 0, т. е. если относительное ускоре­ние а_r = = п тела В превышает значение

.

Задачи

Моменты инерции

Осевые:

Центробежные:

Полярный .

.

Задачи

3.4.1. Определить момент инерции относительно плоскости Оху материальной точки массой 2 кг, если ее координаты х = 0,8 м, у = 0.6 м, z = 0,4 м. (0,32)

3.4.2. Определить момент инерции относительно плоскости Оху механической системы (рис. 425), состоя­щей из четырех одинаковых материальных точек, если масса каждой точки т = 1,5 кг, а радиус r = 0,4 м. (0,48)

3.4.3. Определить момент инерции относительно оси Оу механической системы (рис. 426), состоящей из трех одинаковых материальных точек, если радиус r = 0,6 м, а масса каждой точки т = 3кг. (1,62)

Рис. 425 Рис. 426 Рис. 427

3.4.4. Определить момент инерции относительно центральной оси Оу однородной тонкой квад­ратной пластины (рис. 427) массой т = 0,3 кг, имеющей отверстие радиуса r = 0,04 м. (4,89 ·10^-4)

3.4.5. Определить полярный момент инерции ме­ханической системы (рис. 428), состоящей из трех одина­ковых материальных точек, относительно нача­ла координат О, если расстояние l = 0,3 м, а масса каждой точки т = 0,5 кг. (0,27)

3.4.6. Определить момент инерции однородного диска (рис. 429) относительно центра О, если его момент инерции относительно оси Ох равен 3 кг·м². (6)

3.4.7. Определить центробежный момент инерции J_xy материальной точки массой 0,5 кг относительно осей Ох, Оу, если координаты точки х = 0,4 м, у = -0,5 м, z = 0,4 м. (-0,1)

 

Рис. 428 Рис. 429 Рис. 430

 

3.4.8. Определить центробежный момент инер­ции механической системы (рис. 430), состоящей из четы­рех

одинаковых материальных точек, относи­тельно осей Ох, Оу, если расстояния l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 0,8 м, а масса каждой точки т = 2 кг. (0,64)

3.4.9. Определить центробежный момент инер­ции механической системы (рис. 431), состоящей из двух материальных точек, относительно осей Ох, Оу. Массы точек т ₁ = 1 кг, т ₂ = 2 кг, рассто­яние l = 0,5 м. (-0,325)

Рис. 431 Рис. 432 Рис. 433

3.4.10. Определить центробежный момент инер­ции J_xy однородного конуса (рис. 432) относительно осей Оу, Oz. (0)

3.4.11. Определить радиус инерции тела (рис. 433) массой т = 150 кг относительно оси Oz, если его момент инерции относительно этой оси равен 1,5 кг·м². (0,1)

Кинетический момент системы

Кинетическим моментом системы называют главный момент количества движения всех точек системы:

.

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси его вращения определяют формулой

Задачи

3.4.12. Материальная точка массой т = 0,5 кг движется по оси Оу согласно уравнению у = 5 t ². Определить момент количества движения этой точки относительно центра О в момент времени t = 2 c. (0)

3.4.13. Материальная точка массой т = 1 кг движется по закону: х = 2 t, у = t ³, z = t ⁴. Определить момент количества движения этой точки относительно оси Оу в момент времени t = 2 с. (-96)

3.4.14. Скорость материальной точки массой т = 1кг определяется вы­ражением . Определить модуль момента количества движения точки относитель-но начала координат в момент времени t = 2 с, когда ее координаты х = 2м, у = 3 м, z = 3 м. (10,0)

3.4.15. Трубка (рис. 434) равномерно вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. По трубке движется шарик массой m = 1 кг. Определить момент количества движения шарика относительно оси вращения трубки, когда расстояние ОМ = 0,5 м и скорость шарика относительно труб­ки v_r = 2 м/с. (2,5)

3.4.16. Конус (рис. 435) вращается равномерно вокруг оси Az с угловой скоростью ω = 4 рад/с. По обра­зующей конуса движется материальная точка М массой

1 кг. Определить момент количества движения материальной точки относительно оси Oz в положении, когда расстояние ОМ = 1 м, если угол α = 30°. (1)

Рис. 434 Рис. 435 Рис. 436

3.4.17. Однородный стержень (рис. 436) длиной l = 1 м и массой т = 6 кг вращается с угловой ско­ростью ω = 10 рад/с. Определить кинетический момент стержня относительно центра О. (20)

3.4.18. Тонкостенная труба (рис. 437) массой т = 10 кг ка­тится по горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить кинети­ческий момент цилиндра относительно мгно­венной оси вращения, если радиус r = 10 см. (2)

 

 

Рис. 437 Рис. 438 Рис. 439

3.4.19. Кривошип ОА (рис. 438) вращается с постоян-ной угловой скоростью ω = 6 рад/с. Колесо 2 ка­тится по неподвижному колесу 1. Определить кинетический момент колеса 2 относительно его мгновенного центра скоростей К, если радиус r = 0,15 м. Колесо 2 считать однород­ным диском массой т = 3 кг. (1,22)

3.4.20. Конус катится по неподвижной плоскости без скольжения (рис. 439). Скорость центра основания конуса v_C = 0,9 м/с, радиус r = 30 см. Опре­делить модуль кинетического момента конуса относительно мгновенной оси вращения, если его момент инерции относительно этой оси равен 0,3 кг·м². (1,04)

Рис. 440 Рис. 441

3.4.21. В плоскости Оху (рис. 440) движутся мате-риальные точки M ₁ и M ₂, массы которых m ₁ = m ₂ = 1 кг. Определить кинетический момент дан­ной системы мате-риальных точек относительно точки О в положении, когда скорости v ₁ = 2 v ₂ = 4 м/с, расстояния ОМ ₁= 2 ОМ ₂ = = 4 м и углы a ₁= α ₂ = 30°. (6)

3.4.22. Материальные точки M ₁, М ₂, М ₃, массы которых m ₁ = m ₂ = m ₃ = 2 кг, движутся по окружности радиуса r = 0,5 м (рис. 441). Определить кинетический момент системы материальных точек относительно центра О окружности, если их скорости v ₁= 2 м/с, v ₂ = 4 м/с, v ₃ = 6 м/с. (12)

 

3.4.3. Теорема об изменении кинетического момента систе­мы

Кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра равен геометрии-ческой сумме момента относительно этого центра количества движения системы, условно приложенного в центре масс, и кинетического момента системы относительно центра масс в ее относительном движении по отношению к центру масс.

.

Теорема об изменении кинетического момента систе­мы чаще всего применяется для исследования движения механической системы, состоящей из основного тела, несущего другие тела, при условии, что тело-носитель со­вершает вращательное движение относительно неподвиж­ной оси или неподвижной точки (в частности, относи­тельно центра масс), а движения несомых тел по отно­шению к основному заданы. При этом рекомендует-ся следующая последовательность решения задачи.

1. Изобразить материальную систему в промежуточ­ный (или заданный) момент времени.

2. Изобразить на рисунке приложенныек системе внешние силы.

3. Провести оси координат. Их начало и их направле­ния выбираются таким образом, чтобы суммы моментов внешних сил (активных и реакций) относительно наи­большего количества осей равнялись нулю. Если этого осуществить нельзя, то оси проводятся наиболее естест­венным образом, причем одна из них проводится вдоль оси вращения основного тела.

4. Записать формулы теоремы об изменении кинетиче­ского момента в проекциях на выбранные оси координат:

, , .(a)

5. Вычислить кинетические моменты системы L_x, L_y, L_z относительно осей для текущего момента времени, под­ставить их значения в уравнения теоремы и получить дифференциальные уравнения движения системы.

6. Используя дифференциальные уравнения, найти ве­личины, подлежащие определению.

7. Если одна из правых частей уравнений (a) рав­на нулю, то относительно соответствующей оси выполня­ется закон сохранения кинетического момента системы/

Например, если , то L_х = const = L_{x 0}. В этом случае решение задачи сводится к определению кинети­ческого момента системы в начальный и текущий (или заданный) моменты времени и приравниванию этих зна­чений друг другу.

Пример 1. Круглая однородная горизонтальная платфор-ма радиусом r = √ 3 м и массой m ₁= 20 кг вращается без трения вок­руг вертикальной оси с угловой скоростью ω = 2рад/с (рис. 442). В точке А на ободе платформы находится материальная точка К массой m ₂ = 10кг. В некоторый момент времени (t = 0) эта точка начинает двигаться по хорде АВ платформы с постоянной относительной скоростью v_r = 4 м/с. Определить угловую скорость плат­формы, когда точка К попадает в точку В хорды АВ.

Решение. Изобразим механическую систему, состоящуюизплатформы и точки, в положении, когда материальная точка К находится в точке В платформы. В этот момент угловая ско­рость платформы равна ω. Изобразим внешние силы: силы тяжести , и реакции подши-пников . Все они или параллельны оси вращения, или пересекают ее, следова­тельно, их моменты относительно этой оси равны нулю. Поэтому проведем ось z вдоль оси вращения платформы и составим уравнение теоремы об из­менении кинетического момента систе­мы в проекциях на эту ось:

= 0,

т. е. выполняется закон сохранения кинетического момента си­стемы относительно оси z, поэтому

L_z = L_z0,

и задача сводится к подсчету кинетического момента в началь-ный момент и в момент, когда точка К достигла точки В хорды

Рис. 442 АВ.

Так как система состоит из двух тел, то ее кинетический мо­мент относительно оси z равен сумме кинетических моментов плат­формы и точки:

L_{z точ} =L_{z пл} + l_{z точ}.

При подсчете кинетические моментов следует помнить, что вих выражения входят абсолютные скорости. Относи-тельная скорость точки К нам задана: v_r = 4 м/с, а переносная — скорость точки В платформы — равна v_e = ωr. Поэтому

l_{z точ} = т ₂ v_rr cos 30˚ + m ₂ ωr ₂ ..

Для платформы кинетический момент определяется как для твер­дого тела относительно его оси вращения:

.

Тогда

.

В начальный момент точка К относительно платформы не двига­лась, т. е. v_r0 = 0, поэтому

.

Приравнивая значения кинетических моментов системы для двух положений точки К получаем

= ,

откуда

рад/с.

Пример 2 Однородный блок Е массой т ₁ и радиусом r мо­жет вращаться вокруг горизонтальной оси Оz (рис 443). Через блок перекинута гибкая нерастя­жимая нить на конце А кото-рой подвешен груз М массой т ₂, а ко­нец В прикреплен к пружине BD жесткостью с. Конец D пружины закреплен неподвижно. Найти закон движения груза М, если в началь-ный момент он находился в положении статического равно­весия и имел скорость v₀ направ­ленную вертикально вниз. Тре­нием и проскаль-зыванием нити по блоку пренебречь.

Решение. Изобразим систе­му, состоящею из блока и груза, в произвольный момент времени. Изобразим на схеме действую­щие на систему внешние силы силы тяжести

Рис. 443 , ,

силу упругости пружины и реакцию оси блока , неизвест-ную ни по модулю, ни по направлению Положение блока определяется его углом поворота φ а положение груза – координатой s. Проскальзывание нити по блоку отсутствует и поэтому φr = s. Вы­берем начало отсчета φ и s в положении статического равновесия систе