Суммировать моменты инерции частей фигуры относительно разных осей нельзя.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ»

для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения

 

Тюмень, 2010

 

УДК 620.1

К-93

 

Куриленко Е.Ю., Огороднова Ю.В.: Сопротивление материалов: Методические указания к выполнению расчетно-проектировочной работы по теме «Геометрические характеристики плоских сечений» для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения. – Тюмень: РИО ГОУ ВПО ТюмГАСУ, 2010.—51с.

 

Методические указания разработаны на основании рабочих программ ГОУ ВПО ТюмГАСУ дисциплины «Сопротивление материалов» для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения. Они содержат необходимые сведения по теории; примеры выполнения расчетно-проектировочной работы; варианты заданий, а также необходимые для выполнения заданий справочные материалы.

Рецензент Кутрунова З.С.

 

Тираж 100 экз.

 

© ГОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет»

© Куриленко Е.Ю., Огороднова Ю.В.

 

 

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно - строительный университет»

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………...4

1 Основные определения………………………………………………4

2 Основные теоремы и формулы…………………………………………….9

3 Геометрические характеристики простейших сечений…………………13

4 Вычисление геометрических характеристик составного сечения……...15

4.1 Расчет несимметричного сечения……………………………………...15

4.2 Расчет симметричного сечения………………………………………...22

Приложение А. Расчетно-проектировочная работа «Геометрические характеристики плоских сечений»………………………………………………...28

Приложение Б. Геометрические характеристики простейших сечений…..32

Приложение В. Сортамент прокатных сталей………………………………35

Таблица В1. Сталь прокатная угловая равнополочная…………………...35

Таблица В2. Сталь прокатная угловая неравнополочная………………...43

Таблица В3. Двутавры стальные горячекатаные………………………….46

Таблица В4. Швеллеры стальные горячекатаные………………………...49

Библиографический список…………………………………………………..51

 

 

Введение

 

Напряженно-деформированное состояние бруса зависит не только от внешней нагрузки, но также и от формы и размеров его поперечного сечения. Эту зависимость можно учесть, вводя так называемые геометрические характеристики поперечного сечения бруса. К ним относятся: площадь сечения, статические моменты, осевые и центробежный моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции и так далее.

 

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня), покажем систему координат (рисунок 1). Обозначим через А площадь всей фигуры, через dA—элемент площади, вырезанный вокруг произвольной точки фигуры с координатами x,y.

 

 

Рисунок 1

 

Статическими моментами S_X, S_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

Размерность статических моментов: [см³, м³, ].

Осевыми моментами инерции J_X, J_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Полярным моментом инерции J_P называется выражение:

 

 

Центробежным моментом инерции J_XY называется выражение:

 

 

Размерность осевых, полярного и центробежного моментов инерции: [см⁴, м⁴, ].

 

Осевыми моментами сопротивления сечения W_X, W_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Здесь |x_max|; |y_max| - расстояния от осей X,Y соответственно до наиболее удаленных точек сечения (рис.2).

 

 

 

Рисунок 2

 

 

Полярным моментом сопротивления сечения W_P называется выражение:

 

 

Здесь ρ_max - расстояние от начала координат до наиболее удаленной точки сечения (рис.2).

Размерность моментов сопротивления: [см³, м³, ].

 

Осевыми радиусами инерции сечения i _X, i _Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Размерность радиусов инерции: [см, м, ].

Как следует из приведенных определений, осевые и полярные моменты инерции и моменты сопротивления, а также радиусы инерции сечения могут принимать только положительные значения, а статические

и центробежный моменты могут принимать положительные, отрицательные и нулевые значения.

Из определения геометрических характеристик также вытекает, что их величины существенно зависят от выбора системы координат. Вычисляя геометрические характеристики сечения относительно разных систем координат, мы будем получать и разные значения геометрических характеристик для одного и того же сечения бруса. Например, вычисляя Wx для разных систем –OXY и CX₁Y₁ (рис.3), мы будем иметь разные значения y_max, а, значит, и разные значения Wx.

 

Рисунок 3

Действительно,

 

 

Чтобы избавиться от такого произвола, необходимо систему координат связать с рассчитываемым сечением бруса. Сделать это можно следующим образом.

Начало координат поместим в центр тяжести сечения – т.С. Полученные таким образом оси CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ (рис.4) называются центральными.

Рисунок 4

 

 

Геометрические характеристики сечения, в частности, осевые и центробежный моменты инерции, вычисленные относительно разных центральных осей CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ будут иметь, конечно, разные значения. Можно показать, что найдутся такие оси CXY, относительно которых центробежный момент инерции Jxy=0. Такая система называется главной центральной системой координат.

Осевые моменты Jx, Jy, вычисленные относительно главной центральной системы координат, называются главными центральными моментами инерции. Они обладают свойством экстремальности: относительно одной из главных осей момент инерции максимален, а относительно другой – минимален.

Геометрические характеристики поперечного сечения бруса, входящие во все основные формулы сопротивления материалов, всегда определяются относительно главных центральных осей.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ

 

Для определения положения главных центральных осей и вычисления геометрических характеристик необходимо будет использовать некоторые теоремы и формулы, которые приведены без доказательств и выводов.

2.1 Определение положения центра тяжести сечения.

(1)

 

С помощью формул (1) можно определять величину статических моментов:

S_x= y_СA; S_Y= x_СA. (2)

 

Из (2) следует, что статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

2.2 Пусть сечение имеет ось симметрии и одна из координатных осей, например, ось Y, совпадает с ней (рис.5).

 

Рисунок 5

 

Можно показать, что тогда Jxy=0. Таким образом, если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ось, ей перпендикулярная, образуют главную систему координат.

2.3 Если сечение имеет больше двух осей симметрии, то все центральные оси такого сечения – главные и все главные центральные моменты инерции равны между собой. К таким сечениям относятся круг, квадрат, другие правильные многоугольники (рис.6).

 

Рисунок 6

 

2.4 Теорема о параллельном переносе осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX_cY_c, то есть Jy_с, Jx_с, Jx_сy_c –заданы (рис.7).

 

Рисунок 7

Рассмотрим еще одну систему координат OXY.

Тогда моменты инерции относительно осей, параллельных центральным, определятся по формулам:

(3)

 

Здесь a,b – координаты точки О в системе CX_cY_c. Из выражений (3) следует, что относительно любой нецентральной оси осевой момент инерции больше, чем относительно центральной.

2.5 Теорема о повороте осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX₁Y₁, то есть Jy₁, Jx₁, Jx₁y₁ –заданы (рис.8).

 

Рисунок 8

 

Тогда моменты инерции относительно осей, повернутых на угол α, определятся по формулам:

 

(4)

2.6 Пусть оси OXY – главные. Тогда J_XY=0 и из последней из формул (4) следует

Тогда

(5)

 

Эта формула используется для определения положения главных осей OXY относительно произвольных осей OX₁Y₁. Положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки. Если при этом Jx₁y₁ < 0, то ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через первую и третью четверти системы координат, а если Jx₁y₁ > 0 – через вторую и четвертую.

2.7 Величины главных центральных моментов инерции сечения определяются по формуле:

(6)

 

2.8 Теорема о сложении моментов инерции.

При вычислении моментов инерции сложной фигуры относительно какой-либо оси нужно последнюю разбить на ряд простейших фигур и длч каждой вычислить момент инерции относительно этой оси (рис.9).

 

Рисунок 9

 

Тогда момент инерции всей фигуры определяется как сумма моментов инерции составных частей:

(7)

Библиографический список

1. Александров А.В. Сопротивление материалов /А.ВАлександров, В.Д.Потапов, Б.П.Державин – М.: Высшая школа, 2007.–560с.

2. Варданян Г.С. Сопротивление материалов с основами строительной механики /Г.С.Варданян–М.: ИНФРА-М, 2003. –572c.

3. Сопротивление материалов /под ред. А.Ф.Смирнова–М.: Высшая школа, 1975.–540с

4. Куриленко Е.Ю. Краткий справочник по сопротивлению материалов.—Тюмень: РИО ТюмГАСУ, 2002.—34с.

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ»

для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения

 

Тюмень, 2010

 

УДК 620.1

К-93

 

Куриленко Е.Ю., Огороднова Ю.В.: Сопротивление материалов: Методические указания к выполнению расчетно-проектировочной работы по теме «Геометрические характеристики плоских сечений» для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения. – Тюмень: РИО ГОУ ВПО ТюмГАСУ, 2010.—51с.

 

Методические указания разработаны на основании рабочих программ ГОУ ВПО ТюмГАСУ дисциплины «Сопротивление материалов» для студентов специальности 270102 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения. Они содержат необходимые сведения по теории; примеры выполнения расчетно-проектировочной работы; варианты заданий, а также необходимые для выполнения заданий справочные материалы.

Рецензент Кутрунова З.С.

 

Тираж 100 экз.

 

© ГОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет»

© Куриленко Е.Ю., Огороднова Ю.В.

 

 

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно - строительный университет»

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………...4

1 Основные определения………………………………………………4

2 Основные теоремы и формулы…………………………………………….9

3 Геометрические характеристики простейших сечений…………………13

4 Вычисление геометрических характеристик составного сечения……...15

4.1 Расчет несимметричного сечения……………………………………...15

4.2 Расчет симметричного сечения………………………………………...22

Приложение А. Расчетно-проектировочная работа «Геометрические характеристики плоских сечений»………………………………………………...28

Приложение Б. Геометрические характеристики простейших сечений…..32

Приложение В. Сортамент прокатных сталей………………………………35

Таблица В1. Сталь прокатная угловая равнополочная…………………...35

Таблица В2. Сталь прокатная угловая неравнополочная………………...43

Таблица В3. Двутавры стальные горячекатаные………………………….46

Таблица В4. Швеллеры стальные горячекатаные………………………...49

Библиографический список…………………………………………………..51

 

 

Введение

 

Напряженно-деформированное состояние бруса зависит не только от внешней нагрузки, но также и от формы и размеров его поперечного сечения. Эту зависимость можно учесть, вводя так называемые геометрические характеристики поперечного сечения бруса. К ним относятся: площадь сечения, статические моменты, осевые и центробежный моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции и так далее.

 

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение стержня), покажем систему координат (рисунок 1). Обозначим через А площадь всей фигуры, через dA—элемент площади, вырезанный вокруг произвольной точки фигуры с координатами x,y.

 

 

Рисунок 1

 

Статическими моментами S_X, S_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

Размерность статических моментов: [см³, м³, ].

Осевыми моментами инерции J_X, J_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Полярным моментом инерции J_P называется выражение:

 

 

Центробежным моментом инерции J_XY называется выражение:

 

 

Размерность осевых, полярного и центробежного моментов инерции: [см⁴, м⁴, ].

 

Осевыми моментами сопротивления сечения W_X, W_Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Здесь |x_max|; |y_max| - расстояния от осей X,Y соответственно до наиболее удаленных точек сечения (рис.2).

 

 

 

Рисунок 2

 

 

Полярным моментом сопротивления сечения W_P называется выражение:

 

 

Здесь ρ_max - расстояние от начала координат до наиболее удаленной точки сечения (рис.2).

Размерность моментов сопротивления: [см³, м³, ].

 

Осевыми радиусами инерции сечения i _X, i _Y относительно осей X, Y соответственно называются выражения:

 

 

Размерность радиусов инерции: [см, м, ].

Как следует из приведенных определений, осевые и полярные моменты инерции и моменты сопротивления, а также радиусы инерции сечения могут принимать только положительные значения, а статические

и центробежный моменты могут принимать положительные, отрицательные и нулевые значения.

Из определения геометрических характеристик также вытекает, что их величины существенно зависят от выбора системы координат. Вычисляя геометрические характеристики сечения относительно разных систем координат, мы будем получать и разные значения геометрических характеристик для одного и того же сечения бруса. Например, вычисляя Wx для разных систем –OXY и CX₁Y₁ (рис.3), мы будем иметь разные значения y_max, а, значит, и разные значения Wx.

 

Рисунок 3

Действительно,

 

 

Чтобы избавиться от такого произвола, необходимо систему координат связать с рассчитываемым сечением бруса. Сделать это можно следующим образом.

Начало координат поместим в центр тяжести сечения – т.С. Полученные таким образом оси CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ (рис.4) называются центральными.

Рисунок 4

 

 

Геометрические характеристики сечения, в частности, осевые и центробежный моменты инерции, вычисленные относительно разных центральных осей CXY, CX₁Y₁, CX₂Y₂, CX₃Y₃ будут иметь, конечно, разные значения. Можно показать, что найдутся такие оси CXY, относительно которых центробежный момент инерции Jxy=0. Такая система называется главной центральной системой координат.

Осевые моменты Jx, Jy, вычисленные относительно главной центральной системы координат, называются главными центральными моментами инерции. Они обладают свойством экстремальности: относительно одной из главных осей момент инерции максимален, а относительно другой – минимален.

Геометрические характеристики поперечного сечения бруса, входящие во все основные формулы сопротивления материалов, всегда определяются относительно главных центральных осей.

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ

 

Для определения положения главных центральных осей и вычисления геометрических характеристик необходимо будет использовать некоторые теоремы и формулы, которые приведены без доказательств и выводов.

2.1 Определение положения центра тяжести сечения.

(1)

 

С помощью формул (1) можно определять величину статических моментов:

S_x= y_СA; S_Y= x_СA. (2)

 

Из (2) следует, что статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

2.2 Пусть сечение имеет ось симметрии и одна из координатных осей, например, ось Y, совпадает с ней (рис.5).

 

Рисунок 5

 

Можно показать, что тогда Jxy=0. Таким образом, если сечение имеет ось симметрии, то эта ось и ось, ей перпендикулярная, образуют главную систему координат.

2.3 Если сечение имеет больше двух осей симметрии, то все центральные оси такого сечения – главные и все главные центральные моменты инерции равны между собой. К таким сечениям относятся круг, квадрат, другие правильные многоугольники (рис.6).

 

Рисунок 6

 

2.4 Теорема о параллельном переносе осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX_cY_c, то есть Jy_с, Jx_с, Jx_сy_c –заданы (рис.7).

 

Рисунок 7

Рассмотрим еще одну систему координат OXY.

Тогда моменты инерции относительно осей, параллельных центральным, определятся по формулам:

(3)

 

Здесь a,b – координаты точки О в системе CX_cY_c. Из выражений (3) следует, что относительно любой нецентральной оси осевой момент инерции больше, чем относительно центральной.

2.5 Теорема о повороте осей.

Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей CX₁Y₁, то есть Jy₁, Jx₁, Jx₁y₁ –заданы (рис.8).

 

Рисунок 8

 

Тогда моменты инерции относительно осей, повернутых на угол α, определятся по формулам:

 

(4)

2.6 Пусть оси OXY – главные. Тогда J_XY=0 и из последней из формул (4) следует

Тогда

(5)

 

Эта формула используется для определения положения главных осей OXY относительно произвольных осей OX₁Y₁. Положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки. Если при этом Jx₁y₁ < 0, то ось, относительно которой момент инерции максимален, проходит через первую и третью четверти системы координат, а если Jx₁y₁ > 0 – через вторую и четвертую.

2.7 Величины главных центральных моментов инерции сечения определяются по формуле:

(6)

 

2.8 Теорема о сложении моментов инерции.

При вычислении моментов инерции сложной фигуры относительно какой-либо оси нужно последнюю разбить на ряд простейших фигур и длч каждой вычислить момент инерции относительно этой оси (рис.9).

 

Рисунок 9

 

Тогда момент инерции всей фигуры определяется как сумма моментов инерции составных частей:

(7)

Суммировать моменты инерции частей фигуры относительно разных осей нельзя.

Эта теорема справедлива только для статических, осевых и центробежного моментов, но ее ни в коем случае нельзя применять для моментов сопротивления и радиусов инерции сечения.

3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТЕЙШИХ СЕЧЕНИЙ

В приложении Б, в таблице Б1, приведены геометрические характеристики простых сечений, имеющих форму геометрических фигур – круг, полукруг, кольцо, прямоугольник, равнобедренный и прямоугольный треугольники. Кроме этих фигур, в сопротивлении материалов часто приходится иметь дело с профилями стандартного проката – равнополочными уголками (рис. 10а), неравнополочными уголками (рис. 10б), швеллерами (рис.10в), двутаврами (рис.10г).

 

а) б) в) г)

 

Рисунок 10

 

Все размеры этих профилей, в зависимости от их номера, и все геометрические характеристики их приводятся в специальных таблицах ГОСТа, называемых сортаментом. Они приведены в приложении В (таблицы В1-В4).

При пользовании сортаментом полезно помнить следующее правило, вытекающее из определения момента инерции: момент инерции относительно оси, параллельной длинной стороне сечения, всегда меньше момента инерции относительно оси, параллельной короткой стороне.

Центробежные моменты инерции уголков даны в сортаменте по модулю. Определить их действительный знак при расчете сечения удобно с помощью следующего приема. Проведем оси, совпадающие со сторонами уголка. Знак центробежного момента будет зависеть от того, в какой четверти относительно этих осей находится уголок (рис.11).

 

 

 

Рисунок 11