Построение графиков функций, не являющихся элементарными

 

Определение функции не предполагает, что функция обязательно задается одной формулой. Может оказаться так, что на различных участках изменения аргумента функция задаетя различными аналитическими выражениями. Приведем некоторые примеры.

Пример 4. Поcтроить график функции сигнум, которая задается выражением

Решение. Если , то функция задана равенством и ее графиком будет полупрямая, параллельная оси , причем точка не будет принадлежать графику сигнума (будет выколотой). Для значений функция и ее графиком будет полупрямая, параллельная оси , причем точка будет выколотой. При сигнум тоже равен нулю, поэтому на графике следует изобразить точку . Таким образом, сигнум является кусочно-постоянной функцией. Его график изображен на рис. 14.

 

 

Рис. 14. График функции .

Пример 5. Пусть , где обозначает наибольшее целое чило, не превосходящее . Функция называется целой чаcтью числа . Построить график .

Решение. Если - целое число, то . Если , то , если , то и т.д. Рассмотрим отрицательные значения . Если , то , если , то и т.д. График функции показан на рис. 15. Отметим, что левые концы сплошных отрезков принадлежат графику, а правые - не принадлежат.

 

Пример 6. Построить график функции . Функция называется дробной частью числа .

Решение. Дробная часть числа удовлетворяет неравенствам . Если целое, то, очевидно, его дробная часть равна нулю: . При получим , при имеем , при получим и т.д. Если , то . Если , то и т.д. График функции изображен на рис. 16. Заметим, что левые концы сплошных отрезков принадлежат графику, а правые - не принадлежат.

 

 

 

Рис. 15. График функции .

 

Рис. 16. График функции .

Пример 7. Построить график функции, определенной равенством

Решение. Функция задает прямую, проходящую через точки и . Изобразим эту прямую при . Функция - это парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина находится в точке (0,1). Парабола проходит через точки и . Наконец, при , изобразим прямую , проходящую через точки и . Получим график непрерывной функции (см. рис. 17).

 

 

Рис. 17. К примеру 7.

 

4. Действия с графиками функций

 

В этом пункте мы рассмотрим сложение, вычитание, умножение и деление графиков функций. Также по графикам двух известных функций построим график суперпозиции этих функций.

 

4.1. Сложение и вычитание графиков

 

Сложение. Пусть даны две функции и и их графики изветны. Требуется изобразить график функции . Для этого построим на одном чертеже графики слагаемых функций. Затем проведем ряд вертикальных прямых, пересекающих графики этих функций, и пометим на них точки, ординаты которых равны сумме ординат слагаемых функций. Например (см. рис. 18), при имеем , , значит . Заметим, что при сложении нужно учитывать знак ординат, например, при имеем , а , значит .

Соединяя полученные точки плавной кривой, получим эскиз графика функции (см. рис. 18).

 

 

Рис. 18. Графики функций , и .

 

Вычитание. При построении эскиза графика разности двух функций , графики которых известны можно либо сложить графики функций и либо провести вертикальные прямые, пересекающих графики функций и , и отметить на них точки, ординаты которых равны разности ординат функций и .

 

Пример 8. Построить график функции .

Решение. График функции есть прямая, проходящая через точки и , график изображен на рис. 7. Построим график функции сложением графиков функций и (см. рис. 19).

 

Рис. 19. Графики функций , и .

Пример 9. Построить график функции .

Решение. Построим графики функций и и вычтем график второй функции из графика первой (см. рис. 20). При этом, учитывая вид графика вертикальные прямые, пересекающие графики функций, будем проводить на расстоянии друг от друга.

 

 

Рис. 20. Графики функций , и .

 

 

4.2. Умножение и деление графиков

 

Изучим правила перемножения и деления графиков функций. Рассмотрим как построить график суперпозиции двух функций. Приведем некоторые примеры.

Произведение. Пусть известны графики двух функций и . Построим график функции . Для этого изобразим на одном чертеже графики функций, входящих в произведение. Затем проведем ряд вертикальных прямых, пересекающих графики этих функций, и пометим на них точки, ординаты которых равны произведению ординат перемножаемых функций. При этом, если ордината одной их функций, входящих в произведение равна нулю, т.е. ее график пересекает ось , то и ордината произведения будет равна нулю, т.е. график будет пересекать ось при том же значении абсциссы. Если ордината одной их функций или равна , то ордината произведения этих функций будет раположена на графике другой функции. Если перемножаются ординаты одного знака (либо обе ординаты имеют знак " ", либо обе ординаты имеют знак " "), то произведение будет положительно. Если в произведение входят ординаты разных знаков (одна ордината имеет знак " ", а другая " "), то их произведение будет отрицательно. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим эскиз графика функции (см. рис.).

Например (см. рис. 21), при имеем , , значит .

 

Рис. 21. Графики функций , и .

Пример 10. Построить график функции .

Решение. График функций и нам известны. График - бисектрисса первого и третьего координатных углов, а график изображен на рис. 22. Заметим, что функция - нечётная и - нечётная, поэтому их произведение - чётная функция. Следовательно, достаточно построить график только для , а затем симметрично отобразить на полуплоскость . Заметим также, что поскольку , то произведение , т.е. график не выходит за пределы линий и .

Итак, пусть . В точках , где произведение равно нулю, следовательно в этих точках график пересекает ось . Удобно также отметить точки, в которых , поскольку при график попадает на прямую , а при - на прямую .

Проведя вертикальные прямые через точки , ..., и перемножая соответствующие ординаты функций и , получим график функции (см. рис. 22).

Рис. 22. Графики функций , и .

Частное. Теперь, зная графики функций и изобразим график функции . Если знаменатель дроби отличен от нуля: , то при делении графиков совершаются действия, аналогичные действиям при умножении графиков. А именно, изображаются графики и , проводится ряд вертикальных прямых, пересекающих эти графики, отмечаются точки, ординаты которых равны , полученные точки соединяются плавной линией (см. рис. 23).

Рис. 23. Графики функций , и .

Точки, в которых заслуживают особого внимания, поскольку в этих точках функция не существует. В окрестнотях точек, в которых знаменатель функция может вести себя по разному. Рассмотрим возможные варианты.

Пусть при (). Возможны два случая: или .

При функция неограниченно возрастает или убывает в окрестности точки . В этом случае, нужно обратить внимание на знак частного при и при . Рассмотрим, например, правую окрестность, т.е. точки , которые больше : . Если при , достаточно близких к , таких, что частное , то график функции будет уходить вверх, прижимаясь справа к прямой , но не пересекая её. Если же , то график будет идти вниз, прижимаясь справа к прямой (см. рис. 23).

Аналогично поведет себя график и в левой окрестности, т.е. при (только прижиматься к прямой график будет слева) (см. рис. 23).

Ситуацию когда и и можно тщательно изучить только пользуясь теорией пределов, однако в некоторых случаях можно определить поведение функции исходя из графиков и и в этом случае.

Отметим также, что для построения частного можно перемножить графики и .

Замечание. При построении графиков произведения и частного двух функций полезно помнить, что если обе функции и чётные или обе нечётные, то и произведение и частное будет чётной функцией. Если же одна из функций или нечётная, а другая чётная, то их произведение и частное будет нечётной функцией.

Пример 11. Построить график функции .

Решение. Используя рис. 2 и таблицу 1 изобразим графики функций и (см. рис. 24).

Функции определена и непрерывна во всех точках, за исключением нуля.

Заметим, что - четная функция, причем при , функция тоже четная, причем для всех . Поэтому функция график будет симметричен относительно оси и расположен выше оси .

Построим график при . Проведем вертикальные линии, проходящие через точки , , , и отметим на них значение частного функций и . Так при будем иметь , при получим и т.д.

Замечая, что при знаменатель дроби обращаетя в нуль, а числитель отличен от нуля (равен единице), и учитывая, что для всех (значит, и в любой окрестности точки ) получим, что график рассматриваемой функции при будет уходить вверх, прижимаясь справа к оси .

Рис. 24. Графики функций , и .

Соединяя отмеченные точки и рисуя график функции в промежетке от до уходящим вверх и приближающимся справа к оси , получим график функции при . В силу четности рассматриваемой функции, слева от оси изображаем кривую, симметричную кривой справа от оси , получаем искомый график (см. рис. 24).

4.3. Построение графиков сложных функций

Суперпозиция. Пусть графики функций и известны. Для того, чтобы изобразить график сложной функции (суперпозиции двух функций) (см. рис. 25) составим таблицу (см. таблицу 2).

В первой строке таблицы запишем значения аргумента , при этом выберем интересующую нас область построения (на рис. 25 - это отрезок ) и значения аргумента будем брать на некотором расстоянии друг от друга (на рис. 25 мы берем точки ... ).

Во вторую строку таблицы исходя из графика (если есть аналитическое выражение для нужно использовать его) запишем значения внутренней функции в соответствующих точках из первой строки (так в таблице 2 это ; ;...; ; ).

В третьей строке таблицы запишем значения внешней функции от значений из второй строки (в таблице 2 это ; ;...; ; ).

На график нанесем точки с координатами из первой и третьей строк таблицы и соединим их плавной линией. Получим эскиз графика (см. рис. 25).

Таблица 2.

 

 

Продолжение таблицы 2.

 

 

 

Рис. 25. Графики функций и .

Пример 12. Построить эскиз графика .

 

Решение. Функция является суперпозицией функций и . Областью определения функции , как и функции является вся числовая ось. Поэтому областью определения функции также является вся числовая ось. Очевидно, что при любых , поэтому график будет расположен полностью выше оси .

Составим таблицу, в первой строке которой укажем значения аргумента (рассмотрим значения от до с шагом в половину единичного отрезка), во второй - значения функции при соответствующих значениях аргумента, в третьей - значения .

Таблица 3.

 

Отметим точки, соответствующие первой и третьей строкам таблицы 3, на чертеже, соединим их плавной линией и получим эскиз графика функции (см. рис. 26)

 

Рис. 26. График функции .

 

Пример 13. Построить эскиз графика .

 

Решение. Данная функция определения для всех значений . В силу (1), её областью значений является отрезок . Поскольку

то функция является четной и достаточно построить её график в области .

Используя равенство (3), получим

Вспомним, что функция является обратной к только при . Следовательно, при , т.е. при (мы взяли по причине четности рассматриваемой функции).

Имеем, что при выполняется равенство .

Если , то и, отняв из неравенств , получим . Учитывая, что будем иметь

 

Поэтому при график функции совпадает с графиком функции (см. рис. 27).

При получаем, что и . Поскольку , то на указанном промежутке . Следовательно, при график функции совпадает с графиком функции (см. рис. 27).

Аналогично при , , имеем, что график исходной функции совпадет с графиком функции

Начертив график функции при , симметрично изобразим его и при . Эскиз графика функции представлен на рис. 27.

 

 

Рис. 27. График функции .

 

 

5. Графики в полярных координатах

 

5.1. Полярные координаты

 

Положение точки в полярных координатах на плоскости (см. рис. 28) определяется:

1) ее расстоянием от некоторой данной точки , называемой полюсом;

2) углом , который образует отрезок с заданным направлением прямой , которая называется полярной осью).

 

 

Рис. 28. Точка в полярных координатах.

 

При этом называют радиусом-вектором и - полярным углом. Если принять полярную ось за , а полюс - за начало координат, то имеем, очевидно (см. рис. 29):

 

 

Рис. 29. Точка в полярных координатах.

 

Данному положению точки соответствует одно определенное положительное значение и бесчисленное множество значений , которые отличаются слагаемым, кратным . Если совпадает с , то и - неопределенно.

Всякая функциональная зависимость вида (явная) или (неявная) имеет в полярной системе координат свой график.

В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения , причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение , то условимся откладывать это значение в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением .

 

5.2. Графики кривых в полярных координатах

 

Для того, чтобы построить график в полярных координатах по точкам нужно заполнить таблицу, в первой строке которой записать значения угла из интересующего промежутка, а во второй - соответствующие значения функции . Затем, отметить и соединить эти точки плавной ли<