Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат.

Декартова прямоугольная и полярная с-ма координат.

Прямоугольная с-ма координат на плоскости.

Две взаимноперпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу образуют прямоуг. с-му координат на плоскости. Ось Ох-ось абсцисс, ось Оу-ось ординат, точка О-начало координат. Плоскость, расположенную на осях Ох и Оуназыв. корд.плоскостью. Пусть М - произвольная точка, опустим перпендикуляр на ось Ох и Оу соотв. МА и МВ. Точке М на плоскости ставят в соотв-е 2 числа: абсциссу и ординату . =расстоянию от О до А взятому со знаком «+» если А лежит правее О и «-» - если левее. =расстоянию от О до В, взятому со знаком «+» если В выше О и «-» - если ниже.

Абсцисса и ордината в точке М, наз-тсяпрямоуг. (декартовыми) координатами точки М. Введение прямоуг. с-мы координат позволяет установить взаимнооднозначноесоотв-е между всеми точками плоскости и множ-вом пар чисел, что дает при решении геом. задач применять алгебраические методы.

Полярная с-ма координат(П.С.К.).

П.С.К. состоит из нек-рой точки О, называемой полюсом и луча ОЕ, исходящего из точки О, называемого полярной осью. Кроме этого задается единица масштаба. Пусть задана полярная с-ма координат и пусть М-произв. точка плоскости. Положим r–это расстояние ОМ, j-угол, на к-рый нужно повернуть полярную ось для совмещения с лучом ОМ. Полярными координатами точки М наз-ют числа r и j, при этом r-1-ая координата, j-2-ая, называемая полярным углом. Точка М обозначается , при чем r[0,+¥), j[0;2p].-рав-во 1. Однако в ряде случаев приходится рассматривать углы больше 2p, а также отриц. углы, т.е. отсчитываемые от полярной оси по часовой стрелке. Полюсу Осоотв-ет полярный радиус r=0, а полярный угол не определен.

Связь между полярными и Декартовыми координатами.

Будем предполагать, что начало прямоуг. с-мы координат находится в полюсе О, а полож. полуось абсцисс совпадает с направлением полярной оси. Пусть М имеет прямоуг. корд. и полярные . (рис.) Не сложно показать, что (1). Ф-лы (1) выражают прямоуг. корд.через полярные. Выразим полярные коорд. через прямоугольные. (2). Разделим второе ур-ние на первое (3). Заметим, что ф-ла (3) определяет 2 значения полярного угла j. Из этих двух значений выбираем то, при к-ром вып-тсярав-во 1.

 

 

Простейшие задачи аналитической геометрии.

Расстояние между двумя точками.

Теорема. Для любых двух точек и на плоскости расстояние между ними выраж-тся ф-лой:

Док-во:

1.Пусть х₁ не = х₂,и у₁ не =у₂

Тогда М₁N=/ х₂- х₁/; М₂N=/ у₂- у₁/;М₁М₂=

2.Пусть х₁=х₂, и у₁ не=у₂,тогда

М₁М₂=/у₂- у₁/= =

Аналогич.если у₂=у₁

3.пусть х₁=х₂, у₂=у₁.тогда точки совпадают и расстояние равно 0; М₁М₂=0=

Пр. Найти расстояние от (-1;2) до (3;-4)

 

Площадь треугольника.

Т. Для любых точек не лежащих на одной прямой, выражается ф-лой

3)Ур-ние прямой на плоскости

Пусть на плоскости задана прямоуг. с-ма координат и нек-рая линия .

О. Ур-ние вида связывающее переменные и наз-тся ур-нием линии (в заданной с-ме координат); если этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на линии .

Примеры ур-ний линий на плоскости.

1. Рассм. прямую параллельную оси Оу. Обозначим буквой А точку пересечения А с Ох. Точка А(а,0).

Ур-ние х=а явл. ур-нием данной прямой, т.к. этому ур-нию удовлетворяют координаты любой точки М(а,у) и не удовлетворяют координатам ни одной точки не лежащей на этой прямой. Если а=0, то прямая совпадает с осью Оу.

2. Ур-ние определяет множ-во точек плоскости, составляющих биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

3. . Данноеур-ние задает множ-во точек на плоскости, составляющих биссектрисы коорд. углов.

4. . Это ур-ние задает единственную точку на плоскости с коорд (0,0). . Это ур-ние с центром в точке (0,0)

Общее ур-ниепрямой.

Т. Каждая прямая на плоскости с прямоуг. с-мой корд.определяется ур-нием первой степени , где α и b одновременно не равны 0. a² + b² ≠0 определяет нек-рую прямую на плоскости.

Док-во:Пусть прямая имеет ур-ние ,тогда к х-у+b,тоесть А=к,В=-1,С=b,следовательно Ур-ние прямой удовлетворяет общему виду Ур-ний;

Обратно если прямая задается этим урачнение,по условию хотябы один из коэффициентов отлтченотнуля делим на этот коэффициент,и получаем прямую которая соответствует Ур-нию с угловым коэффициентом.

Это ур-ние называют общим ур-нием прямой на плоскости.

Умножение матриц на число.

О. Произведение матрицы А на число aназ-тся матрицей aА, элементы к-рой равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц.

О. Произведение матриц размерности m´n и матрицы В размерности наз-тся матрица С размерности , элементы к-рой вычисляются как сумма произведений соотв-щих элементов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.

Пр.

О.Квадратная матрица порядка nназ-тсяединичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения:

ü умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А

ü умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют.

ü если А матрицы размерности m´n, В размерности , то

 

Транспонирование матрицы.

О. Если в матрице А размерности n´m все стороки заменить соотв-щими столбцами, то получим матрицу размерности m´n, к-руюназ-ют транспонированной матрицей А.

Св-ва транспонирования:

Y

Y

Y

Элементарные преобразования строк матрицы:

* умножение строк матрицы на ненулевое действительное число;

* прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на нек-рое число.

Лемма: с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.

Ступенчатая матрица -матрица, обладающая след.св-вами:

1. если iтая строка нулевая то также нулевая.

2. если первые ненулевые элементы той строки и находятся соотв-но в столбцах с номерами k и p. Тогда k<p

Теорема. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

О. Ранг матрицы - число ненулевых строк в ступенчатом виде этой матрицы.

Пр.

- ранг 3

 

Определители, их свойства.

О. Определителем 2-го порядка наз-тся число, вычисляемое по ф-ле

Определителем 3-го порядка соответствующих матрицы А называется число вычисляемое по формуле, которую удобно связывать со следующим правилом:

 

Т. Определитель 3-го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.

Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз-тся число, равное сумме произведений элементов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

О. Минором наз-ют определитель, полученный из данного путем вычеркивания той строки и –того столбца. Алгебраическимдаполнением наз-ют число равное

Св-ва определителя:

f Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

f Опред. матрицы с нулевой строкой или нулевым столбцом равен нулю

f При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

f Если матрица А получается из матрицы В умножением каждого элемента нек-рой строки(столбца) на число , то определитель равен

f Если матрица В получается из матрицы А перестановкой строк(столбцов), то определитель меняет знак.

f Определитель матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0.

f Определитель матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на нек-рое действительное число.

f Определитель произведения равен произведению определителей.

, где А и В- квадратные матрицы одног7о порядка.

 

Обратная матрица.

Квадратная матрица А порядка наз-тся обратимой, если сущ-ет такая матрица В, что . В этом случае В-обратная для матрицы А и обозначают А^-1.

Т. Справедливы след.утверждения:

² если матрица обратима, то сущ-ет только одна ей обратная матрица.

² определитель обратимой матрицы отличен от 0.

² если А и В- обратимые матрицы порядка , то АВ- также обратима. Причем обратная для произведения равна В^-1А^-1. (АВ)^-1= В^-1А^-1

Док-во:

1)пусть В и С матрицы обратные матрице А тогда АВ=ВА=Е и АС=СА=Е,тогда В=В*Е=АС*В=ЕС=С,противоречиепоказывающее,что обратная матрица только одна.

2)т.к.А*А^-1=Е,то /А*А^-1/=/Е/=1, А^-1 не=0;

3) (АВ)^-1= В^-1А^-1докажем,что В^-1А^-1 обратная для (АВ),

(АВ)* В^-1А^-1=А*Е*А^-1=Е

(АВ)^-1= В^-1А^-1=Е

 

Т. Квадратная матрица А обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от 0. Если отличен от 0, то А^-1=

Пр. , ; ; ;

 

Понятие непрерывности ф-и.

Ф. , определенная на наз-тся непрерывной в точке если

Т. Ф. непрерывна в точке только тогда, когда

Док-во:

Предел при (х-х0) стремящемся к 0(f(x)-f(x0))=0;предел при х стремящемся к х0f(x)=f(x0)

Т. Если ф. и непрерывны в точке , то непрерывна в этой точке их сумма, разность, произведение, а также частное при усл.

Док-во:
Док-во непосредственно следует из определения непрерывности и свойств

О. Ф. наз-тся непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1-ая теорема Бальцама - Коши: Пусть ф. непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значение разных знаков, тогда сущ-ет точка такая, что

Т. Пусть ф. непрерывна на отрезке причем . Пусть –число, заключенное между А и В, тогда сущ-ет точка такая, что

1-ая теорема Вейерштрасса: Если ф. определена и непрерывна на , то она ограничена на этом отрезке.

2-ая теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наиб.инаим. значения.

Системы линейных уравнений.

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз-тся коэффициентами с-мы. Числа - свободными коэффициентами.

Решением с-мы (1) наз-тся совокупность чисел при подстановке к-рых в с-му (1) вместо получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-маназ-тся совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

наз-тся матрицей с-мы (1).

Если к данной матрице добавить столбец свободных коэф-тов, такую матрицу наз-ют расширенной матрицей с-мы

 

Критерий совместимости с-мы.

Т. Кронекера-Копелли: Для того, чтобы с-ма линейных ур-нийбыла совместно необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом матрицы с-мы.

Пр.

Метод Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

О. С-му будем наз-тьступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейныхур-ний нам понадобится след алгоритм:

1. Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.

2. если ранги не равны, то с-манесовместна

3. если ранги равны и равны числу , то с-масовместна и остается записать ее решение

4. используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му.

5. если = , т.е. ранг совпадает с числом неизвестных, то с-ма имеет единственное решение.

Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

6. если < , то в с-ме ур-ний и неизвестных. Неизвестные, к-рые первыми встречаются в ступенчатой с-ме ( -неизвестных) назовем главными неизвестными, а остальные –свободными неизвестными. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-нийназ-тся крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

, где D-определитель матрицы с-мы, а - определитель, полученный из D подстановкой вместо того столбца столбец свободных коэф-тов.

Док-во:
т.к матрица системы А не вырождена,то для нее существует обратная матрица А^-1,вычисляемая по формуле:

А^-1=

Запишем систему в виде матричного Ур-ния АХ=С,

А^-1АХ= А^-1С

ЕХ= А^-1С;Х= А^-1С

Предположим,что решение не единственное,тогда

АХ1=С и АХ2=С;АХ1=АХ2;Х1=Х2-данное протеворечиепоказывает,что решение единственное..найдемрешение Ур-ния Х= А^-1С

Пр. ; ; ; ;

Предел ф-и.

О. Число А наз-тся пределом ф-и , при (или в точке ). Если для любого числа >0, сущ-ет такое число d>0, что при всех , удовлетворяющих условию 0< <dвып-тсянер-во <e.

Для 0< <d (1) Þ <e.

Обозначается

Геометрический смысл определения. Нер-во (1) означает, что расположено от на расстоянии не более d, т.е. за исключением самой точки . Нер-во (2) означает, что значение ф-и не выходит из интервала или . След-но точки графика ф-и должны находится в полосе шириной 2e, если

Односторонние пределы.

О. Число А наз-тся правым(левым) пределом ф-и в точке , если для "e>0сущ-етd>0, такое,что для всех , удовлетворяющих рав-ву < < +d ( -d< < ); <e.

"e>0$d>0:" < < +d ( -d< < )Þ <e.

Связь между односторонними пределами.

Ф-я имеет в предел только тогда, когда в этой точке сущ-ет как левый так и правый предел и они равны. В этом случае предел ф-и равен одностороннему пределу.

Пределы ф-и при стремлении аргумента к бесконечности.

О. Пределом ф-и при наз-тся число А такое, что для"e>0 $d>0:" >dÞ <e. Обозначают .

О. Число наз-тся пределом ф-и при ®+¥ ( ®-¥) если для "e>0 $d>0:" >d( <-d)Þ ().

 

Теорема Лагранжа.

Пусть на определена ф-я причем:

ü непрерывна на

ü диффер. на

Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. , такая, что

Док-во:
Введем в рассмотрение функцию F(x),для функции выполняется:1)F(x) не преывна на отрезке [a;b],как сумма не прерывных функции.2)F(x) ифференцируема на на интервале (a;b) как сумма дифференцируемых функции.3)F(a)=F(b)=0 следовательно существует такая т.С принадлежащая (a;b),что F’(C)=0,следовательно F’(C)=

Теорема Коши.

Пусть и непрерывны на и дифференцируемы на и пусть кроме того , тогда сущ-ет такая, что . Если в кач-ве взять ф-ю. = , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть и определены и дифф. на содержащим точку за исключением быть может самой точки . Пусть предел при и на , тогда если сущ-ет конечный предел, при, то сущ-ет и причем они равны

14)Исследование поведения ф-и и построение её графика.

Признак ­ и ¯.

О. Ф-я на наз-тся: 1)постоянной, если , где для ;2)возрастающей, если для любых двух значений , таких что < вып-тсянер-во < ; 3)убывающей, если из < следует >

Достаточное условие ­ и ¯ функции.

Если в данном промежутке «+», то ф-я ­ в этом промежутке, если «-», то ф-я ¯. Если же на промежутке , то ф-я постоянна на этом промежутке.

Док-во:
Рассмотрим функцию у= f(x) на интервале(а;b) рассмотрим произвольные х1 и х2,такие что х1 ч2,по теоремк Лагранжа сущт.С принадлежащая(х1;х2),такая,что f(x2)- f(x1)=f’(c)(х2-х1);преположим,что производная на (а$b) положительна тогда f(x2)больше f(x1),соответственно если отриц.томеньше,если =0 то раны.В силу произвольности х1 и х2 функция fя вляетсяпостояннлй

Экстремумы ф-и.

Рассм. нек-рую ф-ю , определенную на . Пусть , d–нек-рое «+» число, d-окрестностью в точке будем наз-ть интервал и обозначать .

О. Если можно указать такую d–окрестность , принадлежащую , что для всех вып-тся > , то наз-ют максимумом ф-и и обозначают . Если же вып-тсянер-во, то минимумом –

и наз-ют экстремумом. Значение аргумента, при к-ром достигается экстремум, наз-ют точкой экстремума.

Т. (необходимое условие экстремума). В точке экстремума дифф. ф-и ее производная =0.

Если производная =0, то отсюда не следует, что -точка экстремума.

 

О. Точка, в к-рой производная =0 наз-тся стационарной. Точки, в к-рых произв. =0, а также точки, в к-рых производная не существует, либо =¥наз-ют критическими точками. Т.о. точки экстремума следует искать среди критических точек.

Т.(достаточное условие экстремума). Пусть ф-я дифференцируема в нек-рой окрестности . Если в точке производная=0 и меняет знак при переходе через , то –точка экстремума, причем: 1)если произв. меняет знак с – на + это точка минимума; 2)с + на – точка максимума.

Т.Если в точке 1-ая произв. дифф-мая. в нек-рой окрестности ф-и =0, а 2-ая произв. отлична от нуля, то явл. точкой экстремума. Причем - если >0, и - если <0.

Направление выпуклости и точки перегиба.

О. График наз-тсявыпуклым вниз в данном промежутке, если он целеком расположен выше касательной в его производной точке и выпуклым вверх-если расположен ниже касательной.

Т. Достаточный признак выпуклости графика ф-и.

Если ф-и –«+» в данном промежутке, то график ф. явл. выпуклым вниз в данном промежутке. Если же –«-«, то-выпуклым вверх.

О. Точка, в к-рой меняется направление выпуклости наз-тся точкой перегиба.

Т.(достаточный признак существования точки перегиба).

Если в точке =0 и меняет знак при переходе через нее, то –точка перегиба.для х в 4 н выполняется.

Асимптоты.

Если график ф-и сколь угодно близко приближается к прямой, то такую прямую наз-ют асимптотой.

О. Прямая наз-тся вертикальной асимптотой графика ф-и , если хотя бы одно из предельных значений стремится к ¥.

О.Предположим, что определена при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента (будем рассм. «+» значения). Прямая наз-тся наклонной асимптотой графика ф-и , если эта ф-я представлена в виде , где –бесконечно малая, то ®0, при .

Т. (необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты). График ф-и имеет при наклонную асимптоту , если сущ-ют 2 конечных предела. и

Исследование ф-и и построение графика:

I. Найти область определения (Д)

II. обл. значений

III. четность и периодичность

IV. точки пересечения с осями координат

V. изучить поведение ф-и при стремлении аргумента к концам обл. определения.

VI. точки экстремума и промежутки ­ и ¯

VII. промежутки выпуклости ф-ий, точки перегиба

VIII. асимптоты графика

IX. построить график ф-и.

О. Ф-я наз-тся четной, если: 1) ; 2)

О. Ф-я наз-тсяпериодической, если сущ-ет такое Т>0, что 1)

2)

 

15)Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Предел.

Множ-во точек , координаты к-рых удовлетворяют нер-ву <dназ-сяd -окрестностью точки .

О. Пусть нек-рая ф-я определена в нек-рой окрестности точки кроме самой точки . Число А наз-тся пределом ф-и при , или . Если для любого существует , такое что для всех и из -окрестности точки вып-тсянер-во <e.

, <e

Предел ф-и двух переменных обладает св-вами, аналогичнымисв-вам предела ф-и одной переменной. О. Ф-я наз-тся непрерывной в точке если:

1. она определена в

2. имеет конечный предел при ,

3. этот предел = значению ф-и, т.е. .

 

II. М-д замены переменной.

Теорема: если F(x)-первообр. f(x), -дифференц. ф-я. Тогда также имеет первообр. Причем

Док-во: По правилам диф. сложной ф-и дает , т.е. -одна из первообр. для . След-но