Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .

Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).

Свойства

Теорема 1: справедливо равенство

Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула

, где А и В постоянные числа.

Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение

Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство

Теорема 5: справедлива формула

Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что

Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.

Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.

Приведение двойного интеграла к повторному

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d

Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл

Работа плоского поля: формула Грина как частный случай теоремы Остроградского-Гаусса.

Пусть P(x,y) и Q(x,y) гладкие в области D, а Г – контур в области D, ограниченный под областью D. Тогда:

Формула Грина является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса, когда поверхность является плоской.

Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .

Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).

Свойства

Теорема 1: справедливо равенство

Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула

, где А и В постоянные числа.

Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение

Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство

Теорема 5: справедлива формула

Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что

Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.

Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.

Приведение двойного интеграла к повторному

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d

Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл