Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-12-13 | 146 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла.
3. Если область (D) разбита на две области (D1) и (D2) без общих внутренних
точек, то
(D1) (D2)
П р и м е р. Свести двойной интеграл к двукратному.
(D): x = 2, y = x, xy = 1.
y
y = x 2
y = 1/x x = y
y x = 2
1 x 2 x 1
y x = 2
0.5 2 x
x = 1/y
Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
z z = f(x,y)
y П р и м е р. Вычислить объем, ограниченный
поверхностями: y = 9 – x2, x + z = 2, x = 0, y = 0,
x (D) z = 0 (x ≥ 0).
z z = 2 - x y
y = 9 – x2
9
9 y
2 0 x 2 x
x
z V = SD ∙ h = SD.
z = 1
y
x (D)
С другой стороны, .
П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y2 = x + 1, x – y – 1 = 0.
x = y2 – 1, y2 – y – 2 = 0, y1 = -1, y2 = 2.
= -8/3 + 2 + 4 – 1/3 – ½ + 2 = 8 – 3 -1/2 = 9/2
y
2
x = y2-1 x = y +1
-1
x
-1
Двойной интеграл в полярных координатах.
M(ρ, φ) – полярные координаты точки М.
● M(ρ,φ) ρ – полярный радиус, φ – полярный угол.
ρ
φ
Формулы связи между декартовыми и полярными координатами имеют вид:
y
:
ρ y x = ρ cos φ, y = ρ sin φ
φ
0 x x
y
x = ρ cosφ, y = ρ sin φ, dS = dxdy = ρdρdφ
dφ dρ
x
ρ ρ + dρ
ρdφ
Двойной интеграл в полярных координатах имеет вид:
|
П р и м е р 1.
Найти объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1, z = x2 + y2, z = 0.
ρ = 1
z
φ
z = x2 + y2 φ ρ
y
x
П р и м е р 2. Найти объем, ограниченный поверхностями z = x2 + y2, x2 + y2 – 2y = 0, z = 0.
z
(D)
ρ = 2sin φ
z = x2 + y2
φ
y
0 ρ
x
Тройной интеграл.
Рассмотрим функцию u = f(x,y,z), в замкнутой области (V) трехмерного пространства.i
P(x, y, z) Рассмотрим задачу об определении массы тела (V) при
условии, что плотность распределения вещества не является
постоянной величиной. Рассмотрим частичный объем ∆V c
массой ∆m.
∆m/∆V – средняя плотность.
(V) - плотность в точке P(x, y, z).
Pi(ξi, ηi, ςi) Разобьем объем (V) произвольным образом на частичные
объемы ∆Vi. В каждом частичном объеме ∆Vi возьмем
точку Pi(ξi, ηi, ςi) и найдем f(Pi)∙∆Vi. Это произведение
равно массе ячейки ∆Vi при условии, что плотность
постоянна и равна плотности в точке Pi.
(V)
Составим сумму Эта сумма называется интегральной суммой.
За массу следует принять предел при условии, что все ячейки сжимаются в точки.
(*) .
λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек.
Предел (*), если он существует, если он не зависит от способа разбиения области (V) на частичные области и от выбора точек Pi, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z).
Очевидно, масса тела равна
.
Теорема существования.
Если функция определена и непрерывна в замкнутой области (V), то существует тройной интеграл от этой функции по области (V).
Вычисление тройного интеграла.
z z = φ2(x, y) Пусть область (V) такова, что любая
прямая, параллельная оси z и
проходящая через внутреннюю точку
области (V), пересекает границу
z = φ1(x, y) области ровно в двух точках.
Y Тогда
P(x,y)
(D)
Если областью (D) является круг, то при вычислении внешнего двойного интеграла переходят к полярным координатам x = ρ∙ cosφ, y = ρ∙sinφ. Тогда
|
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!