Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 199 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Двойной интеграл.
Задача об объеме цилиндрического тела.
z Рассмотрим тело, ограниченное
поверхностью z = f(x,y), цилиндрической
поверхностью с образующими,
параллельными оси oz и частью плоскости
f(Pi) xy (областью (D)). Такое тело называется
цилиндрическим (f(x,y) > 0).
у
x
∆σiPi( ξ i,η i) (D)
Разобьем область (D) произвольным образом на n ячеек. Через границу каждой ячейки проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси oz и рассмотрим произведение f(Pi)∆σi = f(ξi, ηi)∙∆σi, где ∆σi - площадь ячейки.
Геометрически это произведение дает объем цилиндра основанием ∆σi и высотой f(Pi). Составим сумму
(*)
Эта сумма тем точнее характеризует истинный объем цилиндрического тела, чем меньше ∆σi. Поэтому за объем цилиндрического тела принимаем предел
(λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек).
Если этот предел существует, если он не зависит от способа разбиения области (D) на частичные области и от выбора точек Pi, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области (D).
Очевидно,
Теорема существования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области (D), то существует двойной интеграл от этой функции по области (D).
Вычисление двойного интеграла.
Вычислим , пользуясь тем, что Фиксируем x и проводим плоскость, перпендикулярную к оси ох.
Q(x) = . Тогда
y y = φ2(x) z z = f(x,y)
a x b x a y
y = φ1(x) x
b
y = φ2(x)
y = φ1(x)
Пусть область (D) – правильная в направлении оси ox. Аналогично
y
b
x = φ1(y) x = φ2(y)
x
a
x
.
П р и м е р 1. Вычислить где (D) область, ограниченная линиями y = x2 и x = y2. y y = x2
|
y x = y2
x = y2
y = x2 y
y = x2
x
x x
x = y2
П р и м е р 2. Изменить порядок интегрирования
y
y = 2 2
y =
-4 x x 4 x
П р и м е р 3. Изменить порядок интегрирования.
5
1 y = x - 1
2 x 3
Свойства двойного интеграла.
1. Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла.
3. Если область (D) разбита на две области (D1) и (D2) без общих внутренних
точек, то
(D1) (D2)
П р и м е р. Свести двойной интеграл к двукратному.
(D): x = 2, y = x, xy = 1.
y
y = x 2
y = 1/x x = y
y x = 2
1 x 2 x 1
y x = 2
0.5 2 x
x = 1/y
Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.
z z = f(x,y)
y П р и м е р. Вычислить объем, ограниченный
поверхностями: y = 9 – x2, x + z = 2, x = 0, y = 0,
x (D) z = 0 (x ≥ 0).
z z = 2 - x y
y = 9 – x2
9
9 y
2 0 x 2 x
x
z V = SD ∙ h = SD.
z = 1
y
x (D)
С другой стороны, .
П р и м е р. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y2 = x + 1, x – y – 1 = 0.
x = y2 – 1, y2 – y – 2 = 0, y1 = -1, y2 = 2.
= -8/3 + 2 + 4 – 1/3 – ½ + 2 = 8 – 3 -1/2 = 9/2
y
2
x = y2-1 x = y +1
-1
x
-1
Теорема существования.
Если функция определена и непрерывна в замкнутой области (V), то существует тройной интеграл от этой функции по области (V).
Вычисление тройного интеграла.
z z = φ2(x, y) Пусть область (V) такова, что любая
прямая, параллельная оси z и
проходящая через внутреннюю точку
области (V), пересекает границу
z = φ1(x, y) области ровно в двух точках.
Y Тогда
P(x,y)
(D)
Если областью (D) является круг, то при вычислении внешнего двойного интеграла переходят к полярным координатам x = ρ∙ cosφ, y = ρ∙sinφ. Тогда
|
Двойной интеграл.
Задача об объеме цилиндрического тела.
z Рассмотрим тело, ограниченное
поверхностью z = f(x,y), цилиндрической
поверхностью с образующими,
параллельными оси oz и частью плоскости
f(Pi) xy (областью (D)). Такое тело называется
цилиндрическим (f(x,y) > 0).
у
x
∆σiPi( ξ i,η i) (D)
Разобьем область (D) произвольным образом на n ячеек. Через границу каждой ячейки проведем цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси oz и рассмотрим произведение f(Pi)∆σi = f(ξi, ηi)∙∆σi, где ∆σi - площадь ячейки.
Геометрически это произведение дает объем цилиндра основанием ∆σi и высотой f(Pi). Составим сумму
(*)
Эта сумма тем точнее характеризует истинный объем цилиндрического тела, чем меньше ∆σi. Поэтому за объем цилиндрического тела принимаем предел
(λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек).
Если этот предел существует, если он не зависит от способа разбиения области (D) на частичные области и от выбора точек Pi, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области (D).
Очевидно,
Теорема существования.
Если функция f(x,y) непрерывна в области (D), то существует двойной интеграл от этой функции по области (D).
Вычисление двойного интеграла.
Вычислим , пользуясь тем, что Фиксируем x и проводим плоскость, перпендикулярную к оси ох.
Q(x) = . Тогда
y y = φ2(x) z z = f(x,y)
a x b x a y
y = φ1(x) x
b
y = φ2(x)
y = φ1(x)
Пусть область (D) – правильная в направлении оси ox. Аналогично
y
b
x = φ1(y) x = φ2(y)
x
a
x
.
П р и м е р 1. Вычислить где (D) область, ограниченная линиями y = x2 и x = y2. y y = x2
y x = y2
x = y2
y = x2 y
y = x2
x
x x
x = y2
П р и м е р 2. Изменить порядок интегрирования
y
y = 2 2
y =
-4 x x 4 x
П р и м е р 3. Изменить порядок интегрирования.
5
1 y = x - 1
2 x 3
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!