История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-12-12 | 250 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума(минимума) если существует окрестность Оd(х0) такая, что f(x)<=f(x0) (f(x)>=f(x0)) при всех хÎ Оd(х0)
Значение f(x0) – локальный максимум(минимум). Точки локальных максимумов(минимумов) называются экстремумами функций.
Необходимое условие существования экстремума.
Если в точке х0 f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна 0 (или не существует).
Дано: в точке х0 f(x) имеет локальный максимум.
Доказать: в этой точке f’(x)=0 или не существует
Доказательство.
Если в точке х0 – локальный максимум, то существует Оd(х0), что f(x)<=f(x0) для всех хÎ Оd(х0).
Выберем Dх так чтобы х0+Dх Î Оd(х0).
Тогда Dу=f(х0+Dх)-f(х0) <= 0при любом Dх.
Тогда f’(x0) = limDx->0Dy/Dx
Если Dx>0, то limDx->0+0Dy/Dx = f’(x0+0)<=0
Если Dx<0, то limDx->0-0Dy/Dx = f’(x0-0)>=0
Если производная существует, то это возможно, когда f’(x0+0)= f’(x0-0)
ð f’(x0)=0
если эти односторонние пределы отличны от 0, то производная не существует.
Точки, в которых производная не существует – критические точки.
Критические точки, в которых производная равна - - стационарные точки.
Критические точки называются точками, подозрительными на экстремум. Это условие явл необходимым, но не достаточным.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА.
Пусть х0 – критическая точка ф-ии y=f(x) непрерывной
Если при переходе через эту точку, производная ф-ии меняет знак с – на +, то в этой точке находится локальный минимум, если с + на -, то локальный максимум. Если же производная не меняет знака, то в точке х0 экстремума нет.
Док-во.
Пуст в точке x0-Dx f’(x)<0
X0+Dx f’(x)>0 (с – на +) >0
Тогда в точке x0-Dx ф-я убывает и f(x0)<f(x0-Dx)
В точке X0+Dx f’(X0+Dx)>0 и ф-я возрастает, т.е. f’(X0+Dx)>f(x0)
|
ð X0 – точка локального минимума
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА.
Пусть х0 – стационарная точка ф-ии y=f(x) т.е. f’(x0)=0
Тогда, если f”(x0)>0, то x0 – точка локального минимума. F”(x0)<0, - точка локального максимума.
Доказательство.
Если f”(x0)>0, то f’(x) возрастает в Оd(х0) и при переходе черех точку х0 меняет знак с – на +. Значит х0 – локальный минимум.
ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.
Определение. График дифференцируемой ф-ии y=f(x) называется выпусклым вниз (вогнутым) на интервале (a,b), если для любого x, принадлежащего этому интервалу, касательная, проведенная к графику ф-ии в этой точке, лежит ниже графика этой ф-ии. Аналогично, график ф-ии называется выпуклым вверх в этом интервале, если для любого х, принадлежащего интервалу, касательная к графику ф-ии, проведенная в точке х, лежит выше графика ф-ии. Точка М0(x0,f(x0)) графика ф-ии, в которой хар-р выпуклости меняется на противоположный, называется точкой перегиба.
Теорема.
Если ф-я y=f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b) и f”(x)>0 в этом интервале, то график этой ф-ии выпуклый вниз в этом интервале. Если f”(x)<0 в этом интервале, то выпуклый вверх.
Теорема.
Пусть для ф-ии y=f(x), определенной в точке х0 вторая производная без знака и при переходе через эту точку f”(x) меняет знак, то эта точка – точка перегиба графика ф-ии.
АССИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ.
ассимптоты бывают 2х видов – вертикальные и наклонные.
Определение. Прямая x=x0 называется вертикальной ассимптотой графика ф-ии y=f(x) если хотя бы один из односторонних пределов ф-ии f(x) в точке x0 равен +(-) бесконечность.
Ясно, что непрерывная на всей оси ф-я вертикальных ассимптот не имеет.
Определение. Прямая y=kx+b называется наклонной ассимптотой (при к=0 – горизонтальной) графика ф-ии y=f(x) при x стремящемся к +(-) бесконечности, если ф-ию f(x) можно представить в виде:
F(x) = kx + b + a(x), где a(x) стремится к 0 при х стремящемся к +(-) бесконечности.
|
Если такое представление возможно только при х стремящемся к +бесконечности, то соответствующая наклонная ассимптота называется правой (-бесконечности – левой).
Теорема.
Для того, чтобы график ф-ии y=f(x) имел наклонную ассимптоту y=kx+b необходимо и достаточно чтобы существовали конечные пределы.
= k
И = b
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!