Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-12 | 270 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Линейное однородное уравнение 2-ого порядка
(1)
p, q — постоянные действительные числа
(2) характеристическое уравнение, его корни
,
При этом возможны следующие случаи:
1. и — действительные и притом не равные между собой числа (). Тогда общее решение имеет вид (3)
2. и — комплексные числа
, , где ,
Общее решение имеет вид (4)
3. и — действительные равные числа ().
Общее решение имеет вид (5)
Пример 9.1. Решить уравнение
Решение. Характеристическое уравнение
; ,
Общее решение
Пример 9.2. Решить уравнение
Решение
; ,
10. Неоднородные линейные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Это уравнение вида
(1)
Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.
№ | Правая часть дифференциальных уравнений | Корни характеристического уравнения | Виды частного решения |
1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения. | |||
2. Число 0 — корень характеристического уравнения кратного S. | |||
1. Число не является корнем характерного уравнения. | |||
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S. | |||
1. Число не является корнем характерного уравнения. | |||
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S. | |||
1. Число не является корнем характерного уравнения. | |||
2. Число является корнем характерного уравнения кратности S. |
Пример 10.1. Решить уравнение
Решение. Характеристическое уравнение
, ,
Общее решение однородных уравнений имеет вид:
Правая часть уравнения , т.к. не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. Случай 2/1)
Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на , будем иметь
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов , и :
Общее решение данного уравнения
Пример 10.2. Найти общее решение уравнения
Решение: характеристическое уравнение k2+ 10k + 25=0 имеет двукратный корень k1 = k2=-5, поэтому y= (C1 +C2 x) e-5x.
Т. к. к=-5 является корнем характеристического уравнения кратности s=2, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл., случай 2(2)):
Подставляя выражения для y,y!,y”в исходное уравнение, получаем
2Ae-5x =4e-5x, A=2, y = 2x2e-5x. Общее решение данного уравнения
Пример 10.3 Найти частное решение уравнения
Подставляя выражения для y,y!,y”в исходное уравнение, получаем:
(B-3A) cosx +(-3B-A) sinx = cosx –3 sinx,
Найдем С1 и С2, используя начальные условия:
Пример 10.4. Решить уравнение:
т. к. 0- простой корень характеристического уравнения, т.е.s=1, то частное решение ищем в виде:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Решить уравнения:
8. За 30 дней распалось 50 % первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1 % от первоначального количества?
(Закон радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент).
9. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы касания.
Ответы:
8.»200 дней.
9.y=Cx2.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!