Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

o. Ряд вида

, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x

o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится

О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2

О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.

Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.

1) Если степенной ряд a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|

2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|

Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:

(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:

-- формула Даламбера

-- формула Коши

Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R

Из т-мы Абеля следует, что для любого степ ряда найдется такое неотриц число, R наз радиусом сх-ти, что при всех x, | x |< R, ряд сх-ся, а при всех x, | x |> R, ряд расходится.

Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a_nxⁿ сходится при x=x₀, то он сходится причем абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|. 2) Если же ряд a_nxⁿ расходится при x=x_1, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x₁|. (Док-во 1)Так как числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то a_nx₀ⁿ=0. Это означает, что числовая последовательность {a_nx₀ⁿ} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a₀ + a₁x₀ (x/x₀) + a₂x₀²(x²/x₀²) +…+…= a_nx₀ⁿ (x/x₀)². Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a₀| + |a₁x₀ (x/x₀) | + |a₂x₀²(x²/x₀²) | +…+…<= M + M| x/x₀| + M| x/x₀|² +…= M(1+q+ q²+…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x₀)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x^*, | x^*|> x_1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x^*. В том числе должен сходится и при x= x₀, так как | x |< | x^*|. Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

33. Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f(x) разлагается в ряд по степеням (x - x₀), то этот ряд имеет вид: f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀)/1! (x - x₀)+ (f ’’(x₀) (x - x₀)²)/2!+…+ =(f ⁿ (x₀) (x - x₀)ⁿ)/n! +…= (f ⁿ (x₀) (x - x₀)ⁿ)/n! Степ ряд такого вида наз-ся рядом Тейлора ф-и f(x) в т. x₀. Если x₀ = 0, то такой ряд наз-ся рядом Маклорена. Теорема: Ряд Тейлора сходится тогда и только тогда, когда остаток ряда стремится к нулю при , т.е. для всех значений x из интервала сходимости . Теорема(дост. условие разложения в ряд Тейлора): Если производные любого порядка n=0,1,2… функции f(x) ограничены в некоторой окрестности точки x˳ одним и тем же числом M>0, т.е. , то ряд Тейлора функции f(x) сходится к f(x) для любого x из этой окрестности. Теорема: Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена): 1) Находим знач. произв. f(x˳), f’(x˳),… (x˳) для ряда Тейлора и f(0), f’(0),…, (0) для ряда Маклорена. 2) Находим общую формулу для n-ой производной данной функции. 3) Записываем разложения в ряд Тейлора или Маклорена. 4) Находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши.

Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее.

1) - остаточный член в форме Лагранжа.

2) - остаточный член в форме Коши.

Формула Тейлора применяется при приближенном подсчете значения функции в какой-либо точке, а остаточный член посчитанный в этой точке показывает погрешность вычислений