Замена переменной в неопределенном интеграле

Певообразная и ее свойства

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Свойства первообразной.

Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале.

Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

2 Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Замена переменной в неопределенном интеграле

 

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

а) где монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:

где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:

Интегрирование по частям

Нахождение интеграла по формуле азывается интегрированием по частям. Здесь U=U(х),υ=υ(x) непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за υ берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dU – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Формула Ньютона–Лейбница

Непрерывность определенного интеграла как функции верхнего предела

Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a, b], то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [а, х], вложенном в [a, b]. Функция ,

где х Î [a, b], называется интегралом с переменным верхним пределом. Значение функции Ф (х) в точке х равно площади S(x) под кривой y = f (x) на отрезке [а, х]. В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] то функция Ф (х) также непрерывна на [а, b].

Пусть Δх таково, что х + Δ х Î [a, b]. Имеем

По теореме о среднем найдется такое значение с Î [ x, x + Δ x], что Поскольку с Î [x, x + Δ x], и функция f (x) ограничена, то переходя к пределу при Δ x → 0, получим

ОДР 1-го порядка

 

В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

 

Пример 1

 

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

 

В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя

Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

 

Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

 

В исходное уравнение:

 

Вместо x подставляем вместо y подставляем производную не трогаем: Буква лямбда – это некоторый абстрактный числовой параметр, дело не в самих лямбдах, и не в их значениях, а дело вот в чём:

 

Если в результате преобразований удастся сократить ВСЕ «лямбды» (т.е. получить исходное уравнение), то данное дифференциальное уравнение является однородным.

 

Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: Теперь в правой части выносим лямбду за скобки: Обе части уравнения можно сократить на эту самую лямбду: В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

 

Вывод: Данное уравнение является однородным

ЛОУ.Общие св-ва решений

3. Линейные однородные уравнения второго порядка. Общие свойства решений

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет вид: (8) то есть является линейным относительно неизвестной функции y и ее производных и . Коэффициенты и и правая часть этого уравнения непрерывны. Если правая часть уравнения , то уравнение называют линейным неоднородным. Если же , то уравнение имеет вид (9) и называется линейным однородным. Пусть и –какие–либо частные решения уравнения (9), то есть не содержат произвольных постоянных. Теорема 1. Если и –два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка, то так же является решением этого уравнения. Так как и –решения уравнения (9), то они обращают это уравнение в тождество, то есть и (10) Подставим в уравнение (9). Тогда имеем: в силу (10). Значит, –решение уравнения. Теорема 2. Если –решение линейного однородного уравнения второго порядка, а C –постоянная, то также является решением этого уравнения. Доказательство. Подставим в уравнение (9). Получим: то есть –решение уравнения. Следствие. Если и –решения уравнения (9), то так же является его решением в силу теорем (1) и (2). Определение. Два решения и уравнения (9) называются линейно зависимыми (на отрезке ), если можно подобрать такие числа и , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация этих решений тождественно равна нулю на , то есть если . Если же таких чисел подобрать нельзя, то решения и называются линейно независимыми (на отрезке ). Очевидно, решения и будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, то есть (или наоборот ). В самом деле, если и –линейно зависимы, то , где по меньшей мере одна постоянная или отлична от нуля. Пусть, например, . Тогда , , Обозначая получим , то есть отношение –постоянно. Обратно, если то . Здесь коэффициент при , то есть отличен от нуля, что по определению означает, что и являются линейно зависимыми. Замечание. Из определения линейно независимых решений и рассуждений выше можно сделать вывод, что если и –линейно независимы, то их отношение не может быть постоянным. Например, функции и при –линейно независимы, так как , так как . А вот функции 5 x и x –линейно зависимы, так как их отношение . Теорема. Если и –линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка, то их линейная комбинация , где и –произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения. Доказательство. В силу теорем 1 и 2 (и следствия к ним) является решением уравнения (9) при любом выборе постоянных и . Если решения и –линейно независимы, то –общее решение, так как это решение содержит две произвольные постоянные, которые не могут быть сведены к одной. В тоже время, если бы и были линейно зависимыми решениями, то уже не являлось бы общим решением. В этом случае , где α –константа. Тогда , где является постоянной. не может быть общим решением дифференциального уравнения второго порядка, так как зависит лишь от одной постоянной. Итак, общее решение уравнения (9): (11) где и –линейно независимые частные решения этого уравнения, а и –произвольные постоянные.

19.Понятие линейно-независимой системы функций. определитель Вронского. достаточное условие линейной независимости. понятие фундаментальной системы функции. Примеры. Необходимое и достаточное условие отличия от нуля определителя Вронского на отрезке [а,в]

Понятие линейно-независимой системы функций

 

Функции называются линейно зависимыми на , если одна из них является линейной комбинацией других . Другими словами, функции называются линейно зависимыми на , если существуют числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что

. (4)

Если тождество (4) выполняется лишь в случае, когда все , то функции называются линейно независимыми на .

Система из линейно независимых на интервале решений

однородного дифференциального уравнения -го порядка (3) с непрерывными на коэффициентами называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка (3) с непрерывными коэффициентами , надо найти его фундаментальную систему решений.

Согласно теореме 1 произвольная линейная комбинация из решений , т. е. сумма

, (5)

где - произвольные числа, есть в свою очередь решение уравнения (3) на . Но оказывается, что и обратно, всякое решение дифференциального уравнения (3) на интервале есть некоторая линейная комбинация из указанных (независимых между собой) его частных решений (см. ниже теорему 4), образующих фундаментальную систему решений.

Таким образом, общее решение однородного дифференциального уравнения (3) имеет вид (5), где - произвольные постоянные, а - частные решения (3), образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения.

Отметим, что общее решение неоднородного уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения однородного уравнения

. (6)

В самом деле,

.

С другой стороны, если есть произвольное решение уравнения (1), то

,

и, следовательно, есть решение однородного уравнения; но тогда существует такие числа , что

,

т. е. для этих чисел выполняется равенство (6).

 

Определитель Вронского.

Теорема 2. Если функции линейно зависимы на и имеют производные до -го порядка, то определитель

. (7)

Я ндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com

Определитель (7) называется определителем Вронского или вронскианом и обозначается символом .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы на , то существуют такие не все равные нулю числа , при которых выполняется тождество (4) на . Дифференцируя его раз, получим систему уравнений

Эта однородная система по условию имеет нетривиальное решение (т. е. хотя бы одно ) при . Последнее возможно, когда определитель системы, который является определителем Вронского , тождественно равен нулю. Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 2 вытекает, что если хотя бы в одной точке , то функции линейно независимы на .

Пример 2. Функции линейно независимы на любом , так как

.

Пример 3. Функции линейно независимы на любом , если - различные числа (действительные или комплексные).

В самом деле.

,

так как последний определитель есть определитель Вандермонда, который при различных не равен нулю.

Пример 4. Функции линейно независимы на любом .

Так как и

,

то линейная независимость указанных функций вытекает из второго примера.

Теорема 3. Для того чтобы решения линейного дифференциального однородного уравнения с непрерывными коэффициентами были линейно независимыми на , необходимо и достаточно, чтобы для всех .

Доказательство. 1) Если на , то функции линейно независимы независимо от того, являются они решениями уравнения или нет (см. замечание).

2) Пусть являются линейно независимыми функциями на и являются решениями уравнения .

Докажем, что всюду на . Допустим противное, что существует точка , в которой . Выберем числа , одновременно не равные нулю, так, чтобы они были решениями системы

(8)

Это можно сделать, так как определитель системы (8) есть . Тогда в силу теоремы 1 функция будет решением уравнения с нулевыми начальными условиями (по (8))

.

Но таким же условиям удовлетворяет и тривиальное решение . В силу теоремы существования и единственности решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, может быть только одно, следовательно, на т. е. функции линейно зависимы на , что не предполагалось. Теорема доказана.

Если - разрывные функции в интервале, где мы ищем решение, то уравнение может иметь не одно решение, удовлетворяющее начальным условиям , и тогда возможно, что на .

Пример 5. Легко проверить, что функции

линейно независимы на и для них на .

Это связано с тем, что функция является общим решением уравнения

,

где разрывна в точке . Для этого уравнения теорема существования и единственности не имеет места (в окрестности точки ). Не только функция , но и функция является решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим условиям и при .

Структура общего решения.

Я ндекс.Директ Все объявления Решение уравнений онлайн! Калькулятор ЛовиОтвет – решение уравнений одним кликом! Скачай бесплатно!loviotvet.ru Кто такой Иисус Как узнать, кто такой Иисус Христос на самом деле?godlovesrussia.com

Теорема 4. Если - линейно независимые на решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка с непрерывными коэффициентами , то функция

, (9)

где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения , т. е. сумма (9) при любых , есть решение этого уравнения и, обратно, всякое решение этого уравнения представимо в виде суммы (9) при соответствующих значениях .

Доказательство. Мы уже знаем, что сумма (9) при любых есть решение уравнения . Пусть, обратно, есть произвольное решение этого уравнения. Положим

. (10)

Для полученных чисел составим линейную систему уравнений относительно неизвестных чисел :

(11)

Определитель системы (11) не равен нулю, так как функции — линейно независимые на решения уравнения . Поэтому существует единственная система чисел , удовлетворяющих уравнениям (11). Подставляя их в (9), получим решение нашего уравнения в виде

,

удовлетворяющее тем же начальным условиям (10), которым удовлетворяет . Но тогда на основании теоремы существования и единственности имеет место равенство . Теорема доказана.

Таким образом, чтобы найти общее решение однородного уравнения , достаточно найти какие-нибудь линейно независимых решений этого уравнения, и тогда общее решение будет их линейной комбинацией (9). Напомним, что любую совокупность из линейно независимых частных решений уравнения мы условились называть фундаментальной системой решений этого уравнения.

Возникает вопрос, всегда ли существует фундаментальная система (3) с непрерывными коэффициентами? Покажем, что существует.

Зададим векторов

Каждому из этих векторов приведем в соответствие решение уравнения (3). Именно, пусть есть решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Определитель Вронского для этой системы решений при , очевидно, есть определитель матрицы, составленной из векторов . Он равен 1:

.

Но тогда система решений линейно независима, потому что для зависимой системы определитель Вронского был бы тождественно равен нулю.

20.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения

Ответ на вопрос 21-23

4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение , (8) где – вещественные постоянные. Для нахождения общего решения уравнения (8) поступаем так. Составляем характеристическое уравнение для уравнения (8): (9) Пусть - корни уравнения (9), причем среди них могут быть и кратные. Возможны следующие случаи: а) - вещественные и различные. Общим решением однородного уравнения будет ; б) корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные, т.е. , тогда общее решение будет в) если корни характеристического уравнения комплексные (k=a±bi), то общее решение имеет вид . Пример 8. Решить уравнение, y"-4y¢+3y=0, y(0)=6, y¢(0)=10. Решение. Составим характеристическое уравнение . Решим . - корни различны. Значит, . Используя начальные условия, определим , так как y(0)=6 и y¢(0)=10, то и . Решаем систему: Получаем , тогда частное решение имеет вид: . Пример 9. Решить уравнение y"+9y=0. Решение. Составим характеристическое уравнение . Решаем его: , отсюда . Корни характеристического уравнения комплексные: α=0, β=3. Тогда общее решение имеет вид или .

24.Линейные неоднородные уравнения. Принцип суперпозиции. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n –го порядка

y ⁽ⁿ⁾ + a_{n -1}(x) y ^{(n - 1)} +... + a ₁(x) y ' + a ₀(x) y = f (x).

с непрерывными коэффициентами a_{n -1}(x), a_{n -2}(x),..., a ₁(x), a ₀(x) и непрерывной правой частью f (x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных дифференциальных уравнений.

1. Если y ₁(x) и y ₂(x)— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y ⁽ⁿ⁾ + a_{n -1}(x) y ^{(n - 1)} +... + a ₁(x) y ' + a ₀(x) y = 0

то любая их линейная комбинация y (x) = C ₁ y ₁(x) + C ₂ y ₂(x) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y ₁(x) и y ₂(x) — два решения линейного неоднородного уравнения L (y) = f (x), то их разность y (x) = y ₁(x) − y ₂ (x) является решением однородного уравнения L (y) = 0.

 

3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L (y) = f (x) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

 

4. Если y ₁(x) и y ₂(x) — решения линейных неоднородных уравнений L (y) = f ₁(x) и L (y) = f ₂(x) соответственно, то их сумма y (x) = y ₁(x) + y ₂(x) является решением неоднородного уравнения L (y) = f ₁(x) + f ₂(x).

 

Обычно именно это последнее утверждение называют принципом суперпозиции.

Метод вариации постоянных

Рассмотрим неоднородное уравнение -го порядка

, (1)

где коэффициенты и правая часть - заданные непрерывные функции на интервале .

Допустим, что нам известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

(2)

Как мы показали в § 1.15 (формула (6)), общее решение уравнения (1) равно сумме общего решения уравнения (2) и какого-либо решения уравнения (1).

Решение неоднородного уравнения (1) можно по<