Методы решения задач дифракции; рефракция электромагнитных волн; общие свойства направляемых электромагнитных волн, направляющие системы; резонаторы.

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов геометрической оптики. Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Явление дифракции характерно для волновых процессов. Поэтому если свет является волновым процессом, то для него должна наблюдаться дифракция, т. е. световая волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна огибать его (проникать в область геометрической тени). Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. (напр.бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно).

Волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Для количественного описания явления дифракции Френель предложил метод зон Френеля, предполагающий условное деление волновой поверхности на участки (зоны). Найдем в произвольной точке Мамплитуду световой волны, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S.

Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на λ/2, т. е. Р₁М-Р₀М=Р₂М-Р₁М=...= λ/2. Т.к. колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на λ/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М: А=А₁-А₂+А₃-А₄+... (1), где А₁, А₂,... - амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й,.... m-й зонами. Исследования, проведенные Френелем, показали: 1) А₁>А₂>А₃>А₄>…, 2) амплитуда колебания Аm от некоторой m-йзоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т. е. (2). Учитывая (2) в (3), получаем: А=А₁/2±A_m/2. Т.к. оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ±A_m/2 ничтожно мала, то амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке Мопределяется действием только половины центральной зоны Френеля.

Рефракция электромагнитных волн

Рефракция - плавное изменение направления луча, показывающего путь вектора Пойнтинга П =[ Е, Н ] в среде с гладко изменяющимся коэффициентом преломления n.

На рис. а и б в среде 1 ε_r1 = const; в среде 2 на рис. а ε_r2 плавно возрастает вдоль оси z,а на рис. б ε_r1 плавно уменьшается. В каждой точке среды в соответствии со вторым законом Снеллиуса луч на рис. а поворачивается немного вверх, а на рис. б немного вниз. Особенно существенно рефракция проявляется при распространении электромагнитных волн в плазме.

направляющие системы

Полностью отражающая граница раздела сред обладает особенностью направлять движение электромагнитной энергии. Устройства, основанные на этом явлении, обычно называют направляющими системами. Направляющая система (НС)—это устройство, предназначенное для передачи электромагнитной энергии в заданном направлении. Современные направляющие системы передачи высокочастотной энергии разделяются на:

- воздушные линии связи (ВЛС);

- симметричные кабели (СК), коаксиальные кабели (КК);

- сверхпроводящие кабели (СПК);

- волноводы (В);

- световоды (С), оптические кабели (ОК);

- линии поверхностной волны (ЛПВ);

- диэлектрические волноводы (ДВ);

- ленточные кабели (ЛК) (полосковые линии ПЛ);

- радиочастотные кабели (РК).

Общие свойства направляемых электромагнитных волн.

Прежде всего, необходимо определить тип волн, которые могут распространяться в направляющей система и способ их возбуждения. Также необходимо рассчитать потери электромагнитной энергии при распространении волны вдоль систем. При определении структуры возможных типов волн и способов их возбуждения в целях упрощения исследования можно показать, что проводники направляющей системы обладают бесконечно большой проводимостью, а диэлектрики проводимостью равной нулю. Таким образом, реальную систему можно заменить идеализированной системой без потерь. Направляемая волна существует лишь при частотах боле высоких, чем критическая.

Перечислим основные свойства направляемых электромагнитных волн:

1.Полное отражение, обуславливающее направляемую волну, происходит от границы оптически менее плотной среды (n2<n1)

2.Плоскости равных фаз перпендикулярны плоскостям равных амплитуд

3.Компоненты поля(H или E) параллельны её направлению распространения

5.Фазовая скорость направляемой волны больше фазовой скорости волны, свободно распространяющейся в первой среде, но меньше этой же величины для второй среды.

Во второй среде существует поле, экспоненциально спадающее по нормали к границе и переносящее энергию лишь вдоль границы.

Резонатор — колебательная система с резко выраженными резонансными свойствами. На практике резонаторами обычно называют колебательные системы с распределёнными параметрами (с бесконечным числом степеней свободы).

В качестве резонансных контуров при не очень высоких частотах применяют контуры с сосредоточенными индуктивностями и емкостями или отрезки линий с распределенными параметрами. При сверхвысоких частотах в качестве устройства, выполняющего функции резонансного контура с высокой добротностью, применяют объемные резонаторы. Объемный резонатор представляет собой полый прямоугольный параллелепипед или полый металлический цилиндр с донышками. Стенки резонаторов выполняют из хорошо проводящего материала и полируют. Длины трех ребер прямоугольного резонатора и длина и радиус цилиндрического резонатора находятся, как и в волноводе, в определенных соотношениях с длиной волны и составляют несколько сантиметров. Резонатор возбуждает так же, как и волновод, например, с помощью стерженька или петли с током. В полости объемного резонатора возникают стоячие электромагнитные волны, так как со всех сторон полость ограничена хорошо проводящими стенками.

При колебательном процессе в резонаторе энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. В прямоугольном и цилиндрическом резонаторах энергия каждого из полей распределена по всей полости резонатора. В других устройствах сверхвысоких частот (клистронах, магнетронах) энергии этих полей распределены преимущественно в различных областях.

Под добротностью резонаторапонимают Q = ω₀W₀/P.Здесь W₀- энергия электромагнитного поля, запасенная в резонаторе; Р – активная мощность, затрачиваемая на потери от вихревых токов в стенках резонатора, на потери через щель в виде излучения, а если диэлектрик, имеющийся в полости резонатора, не идеальный, то и на потери в диэлектрике. Добротность Q достигает значения 10⁴ и более.

13. Дискретное преобразование Фурье (обратное ДПФ, взвешивание окном, быстрое ДПФ). Область применения. Преобразование частоты дискретизации (прореживание, интерполящия, преобразование с рациональным коэффициентом).

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье.

Прямое преобразование:

Обратное преобразование:

Обозначения:

· — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;

· — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;

· — комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;

· — обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;

· — фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);

· — частота k-го сигнала, равная , где — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

В некоторых задачах цифровой обработки сигналов возникает задача изменения шага дискретизации по времени. Соответствующая операция называется передискретизацией, а реализующее её устройство – передискретизатором. Если частота дискретизации увеличивается в целое число раз, такая передискретизация называется интерполяцией, если уменьшается в целое число раз – децимацией(прореживанием). Рациональный коэффициент – комбинация двух предыдущих.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — это алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть, алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем , требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2, имеющего сложность .

Основной алгоритм

Покажем как выполнить дискретное преобразование Фурье за действий при . В частности, при понадобится действий.

Дискретное преобразование Фурье преобразует набор чисел в набор чисел , такой, что , где и при . Алгоритм быстрого преобразования Фурье применим к любым коммутативным ассоциативным кольцам с единицей. Чаще всего этот алгоритм применяют к полю комплексных чисел (c ) и к кольцам вычетов.

Основной шаг алгоритма состоит в сведении задачи для чисел к задаче для числам, где — делитель . Пусть мы уже умеем решать задачу для чисел. Применим преобразование Фурье к наборам для . Покажем теперь, как за действий решить исходную задачу. Заметим, что . Выражения в скобках нам уже известны — это -тое число после преобразования Фурье -той группы. Таким образом, для вычисления каждого нужно действий, а для вычисления всех — действий, что и требовалось получить.

БПФ подвержено тем же эффектам утечки спектра, что и ДПФ. Для уменьшения утечки можно умножить исходную последовательность на окно. Использование окон уменьшает разрешение по частоте. Кстати, при дополнении последовательности нулями мы должны умножать последовательность на окно до добавления нулей. Применение окна к дополненной нулями последовательности приведет к искажению окна и ухудшит утечку спектра. Хотя взвешивание окном и уменьшает утечку спектра, оно не устраняет проблему полностью. Даже при использовании окна мощные спектральные составляющие могут замаскировать слабые компоненты спектра. Это особенно заметно, когда исходные данные содержат постоянную составляющую. При вычислении БПФ в этом случае постоянная составляющая высокого уровня на частоте 0 Гц закрывает соседние компоненты спектра. Можно устранить эту проблему, вычислив среднее значение исходных данных и вычтя его из исходной последовательности. (Усреднение и вычитание должны выполняться до взвешивания окном.) Этот подход позволяет сделать постоянную составляющую равной нулю и удаляет составляющую с частотой 0 Гц из результата БПФ.

14. Анализ и проектирование КИХ-фильтра (разностное уравнение фильтра, понятие свертки, структура фильтра, ФЧХ фильтра). Пример использования.

Цифровой фильтр может представлять собой компьютерную программу, программируемый аппаратурный процессор или специализированную интегральную схему. Линейные цифровые фильтры делятся на два больших класса: фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины (БИХ-фильтры) и фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

В общем случае при вычислении очередного выходного отсчета y(k) используется информация двух типов: некоторое количество отсчетов входного сигнала и некоторое количество предыдущих отсчетов выходного сигнала. Хотя бы один отсчет входного сигнала должен участвовать в вычислениях, в противном случае выходной сигнал не будет зависеть от входного. В противоположность этому, предыдущие отсчеты выходного сигнала могут и не использоваться.

На рисунке изображена структурная схема нерекурсивного (КИХ) фильтра. Некоторое количество предыдущих отсчетов входного сигнала хранится в ячейках памяти, которые образуют дискретную линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты и суммируются, формируя выходной отсчет y(k). Так как при вычислениях не используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными.

Дискретная свертка представляет собой процесс, на вход которого поступают две последовательности и результатом которого является новая последовательность.

Уравнение фильтра имеет следующий вид:

где x(k) -входной сигнал, y(k) -выходной, -коэффициенты фильтра. Количество используемых предыдущих отсчетов m называется порядком фильтра.

Пусть , где -дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра равна:

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию КИХ-фильтра:

Импульсная характеристика дискретного фильтра определяется как разложение в ряд Фурье комплексного коэффициента передачи цифрового фильтра :

Для получения ФЧХ

Нерекурсивные фильтры позволяют легко обеспечить линейную ФЧХ.

КИХ-фильтры используют, если число коэффициентов фильтров не очень велико, и в частности если нужно, чтобы фазовое искажение отсутствовало или было малым. Кроме того архитектуры новейших процессоров ЦОС приспособлены к КИХ-фильтрации, а некоторые специально разработаны для КИХ-фильтров.