История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-10 | 254 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Это означает, что все -мерные линейные пространства “устроены” одинаково — как пространство векторов-столбцов из действительных чисел, т.е. что все они изоморфны пространству .
Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.
Свойства линейных пространств.
1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.
2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.
3) Для каждого Î L верно 0× = 0
4) Для каждого a Î R и Î L верно a× =
5) Если a× = , то a = 0 или =
6) (-1) = -
Линейные преобразования.
Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Î L.
Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:
A( + ) = A +A
A(a ) = aA
Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.
Е =
Пример. Является ли А линейным преобразованием. А = + ; ¹ 0.
Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +
Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.
|
Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .
Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.
Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.
Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.
Матрицы линейных преобразований.
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A = a11 + a21 +…+ an1
A = a12 + a22 +…+ an2
……………………………….
A = an1 + an2 +…+ ann
Тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования А.
Если в пространстве L взять вектор = x1 + x2 +…+ xn , то A Î L.
, где
……………………………..
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .
В матричном виде:
, А× , Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:
x¢ = x + y
y¢ = y + z
z¢ = z + x
x¢ = 1×x + 1×y + 0×z
y¢ = 0×x + 1×y + 1×z
z¢ = 1×x + 0×y + 1×z
A =
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Определение: Если вектор переводится в вектор линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).
С = В×А
Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .
|
С = В×А
Т.е.
Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.
Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y.
Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re z, x = Re z;
второе число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im z, y = Im z.
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
Алгебраическая форма записи комплексного числа
Число
, где
называется комплексно сопряженным числу
Комплексное число z = x + iy естественно изображать в виде точки на плоскости с декартовыми координатами (x, y).
Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, j) и воспользовавшись связью
x = r cos j, y = r sin j
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z = r (cos j + isin j).
При этом число r называют модулем комплексного числа, |z| = r, а число j - аргументом комплексного числа,
Arg z = arg z +2k p = j.
При решении задач для вычисления аргумента удобно пользовааться схемой, приведенной ниже:
Справедливы соотношения:
Используя формулу Эйлера
получим показательную форму записи комплексного числа:
Арифметические операции c комплексными числами определяются следующим образом:
если
то
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!