Решение СЛАУ методом Гаусса.

Нахождение множества решений системы линейных уравнений основывается на том, что от заданной системы с помощью элементарных преобразований строк переходят к равносильной системе, которая решается “проще”, чем исходная система.

Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений являются:

1) перемена местами двух уравнений в системе;

2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число С 0;

3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной системы элементарными преобразованиями строк к некоторому специальному виду - прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решений системы с полученной расширенной матрицей, которая будет равносильна исходной. - обратный ход метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, а именно: в первом уравнении должны присутствовать все n неизвестных, во втором уравнении не должно присутствовать первое неизвестное ; в третьем и и т.д., причем коэффициенты при неизвестных, с которых начинается каждое из уравнений, должны быть равны 1.

Любая матрица с помощью элементарных преобразований только строк может быть приведена к некоторому “ступенчатому” виду, а именно:

 

Здесь под “ступеньками”, которые начинаются в левом верхнем углу с элементов главной диагонали, все элементы равны нулю, над “ступеньками” могут быть любые числа, диагонали “ступенек” должны состоять только из 1, горизонтали “ступенек” могут образовываться любыми числами. Если матрицу исходной системы (в расширенной матрице это соответствует элементам до вертикальной черты) удается привести к “треугольному” виду, а именно:

то система будет иметь единственное решение.

Если матрица совместной системы проводится к трапециевидному или ступенчатому виду, значит, система будет неопределенной, т.е. будет иметь бесчисленное множество решений.

Система не будет иметь решений, если в преобразованной матрице в последней ненулевой строке перед вертикальной чертой будут стоять все 0, что будет соответствовать уравнению 0=1, не имеющему решений.

 

Совместность СЛАУ. Т Кронекера-Капелли

Исследование систем линейных уравнений.

Матрица системы (1), дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы (1):

Ранг матрицы А* либо равен рангу матрицы А либо на единицу больше.

Характер множества решений системы (1) зависит только от ранга матрицы А и от ранга расширенной матрицы А*.

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А* равен рангу матрицы А.

Совместная система (1) тогда и только тогда обладает единственным решением, если ранг матрицы А равен числу неизвестных;

если rang А< n - система будет неопределенной.