Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.

Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.

 

1. В урне N билетов. Из них M выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным?

2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень - круг радиуса R см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Какова вероятность попадания в круг радиуса r см.

3. Имеется собрание из N томов некоего автора. Все N томов расставляются на полке случайным образом на книжной полке. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,…N или N...2,1?

4. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Каков вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2, …, М или М, …, 2, 1?

5. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность, что для размещения на верхней поле будут выбраны тома 1, 2, …, М?

6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания в мишень равны р₁,р₂, р₃. Какова вероятность того, что:

А) все три выстрела окажутся успешными;

Б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;

В) точно один выстрел окажется успешным, два неуспешными?

7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятности выхода волка на первого охотника – р₁,, на второго - р₂, на третьего - р₃, на четвертого - р₄. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него, - р₁,. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него, - р₂. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него, - р₃. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него, - р₄. Какова вероятность убийства волка?

8. М% всех мужчин и N% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин одинаково.

9. Футболист бьет пенальти N раз. Вероятности забить при одном ударе – р. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2 мячей? Найти математическое ожидание и дисперсию.

10. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Хi	-3
Pi	P1	P2	P3	P4

Найти математическое ожидание МХ, дисперсию ДХ, вероятности Р (Х<0), P (X>0), P (-1<X<3).

Для случайной величины Y=2X+6 найти математическое ожидание MY, дисперсию ДY.

11. Количество Х принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – λ. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2 звонков? Найти математическое ожидание и дисперсию.

12. Функция плотности случайной величины Х имеет вид:

f(x)=	{	0 при X>0
nx при 0≤x≤√2/n
0 при x≥√2/n

Найти математическое ожидание, дисперсию, P (0<X<0,1).

13. Случайная величина Х – время ожидания дождя в сутках – имеет равномерное распределение на отрезке [0, N]. Найти математическое ожидание, дисперсию, P (X<5),

P (3<X).

14. Вероятность безотказной работы прибора в течение х часов равна . Найти математическое ожидание М – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов.

15. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,σ). a = MX, σ = √DX – среднеквадратичное отклонение. Найти P (X<1), P (-1<X<1), P (-5<X<5), P (- σ<X-а< σ), P (-2 σ <X-а<2 σ).

 

 

ЗАНЯТИЕ 11. Применение критериев согласия

Основные принципы статистической проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простойи сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы.

Понятия наблюдаемого значения критерия и критической точки.

Критерии для проверки гипотез о вероятности события, о математическом ожидании, о сравнении двух дисперсий.

Критерий «хи-квадрат» К. Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

«СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ»

А) По данной выборке объема строится статистический ряд

Здесь — элементы выборки, записанные в порядке возрастания, — число повторений элемента в выборке. Очевидно, что

Б) При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы, и строится группированная выборка, а затем группированный статистический ряд. Для этого отрезок , содержащий все элементы выборки, разбивается на интервалов одинаковой длины . В зависимости от объема выборки число интервалов группировки берется от до . Находятся концы интервалов , середины интервалов и соответствующие эмпирические частоты — количество элементов выборки, попавших в -ый интервал (элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Очевидно, что

Строится группированный статистический ряд относительных частот: .

В) Строится график выборочной функции распределения , где

при ,

при

при .

Г) Строится гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами .

Д) Находится оценка математического ожидания – выборочное среднее

оценка дисперсии – исправленная выборочная дисперсия:

исправленное среднее квадратическое отклонение: .

Е) Находятся теоретические частоты , где

Значения функции Лапласа находятся по таблицам.

 

 

Ж) Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности сначала составляется расчетная таблица:

Номер интервала	Границы интервала	Эмпирические частоты	Теоретические частоты

З) Если или при некотором , то -ый интервал объединяется с соседним, при этом эмпирические и теоретические частоты суммируются. После объединения получаются интервалов , в каждом из которых и .

И) По расчетной таблице находится наблюдаемое значение статистики «хи-квадрат»:

К) По заданному уровню значимости и числу степеней свободы находится из таблиц критическая точка . Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины и поэтому она принимается. Если , то гипотезу отвергают.

Л) Если гипотеза принимается, то с помощью таблиц строится график плотности

случайной величины (распределенной по нормальному закону). Этот график строится в тех же осях и масштабе, что и гистограмма относительных частот.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты индивидуальных заданий

 

Ниже приведены варианты индивидуальных заданий для выполнения расчетного задания «Статистическая обработка результатов измерений»; -му варианту соответствуют элементы выборки, расположенные в 15-ти последовательных строках таблицы, начиная с -ой (объем выборки при этом . При выполнении работы следует принять уровень значимости , отрезок , число интервалов .

 

 

Основы выборочного метода и элементы статистический теории оценивания. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, интервальный вариационный ряд. Полигон, гистограмма. Выборочная функция распределения. Числовые характеристики выборки. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Выборочная средняя как оценка генеральной средней. Оценка генеральной дисперсии. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генеральной средней и генеральной дисперсии.

Статистическое исследование зависимостей. Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции. Построение выборочных линейных уравнений регрессии. Множественная линейная регрессия. Частные и множественные коэффициенты корреляции. Экономические примеры.

Методы статистической проверки гипотез. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Критерий проверки статистической гипотезы, критическая область. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Проверка гипотезы о среднем значении при известной и неизвестной дисперсии. Гипотеза о равенстве генеральных средних. Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова.

 

Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.

 

1. В урне N билетов. Из них M выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным?

2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень - круг радиуса R см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Какова вероятность попадания в круг радиуса r см.

3. Имеется собрание из N томов некоего автора. Все N томов расставляются на полке случайным образом на книжной полке. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,…N или N...2,1?

4. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Каков вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2, …, М или М, …, 2, 1?

5. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность, что для размещения на верхней поле будут выбраны тома 1, 2, …, М?

6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания в мишень равны р₁,р₂, р₃. Какова вероятность того, что:

А) все три выстрела окажутся успешными;

Б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;

В) точно один выстрел окажется успешным, два неуспешными?

7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятности выхода волка на первого охотника – р₁,, на второго - р₂, на третьего - р₃, на четвертого - р₄. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него, - р₁,. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него, - р₂. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него, - р₃. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него, - р₄. Какова вероятность убийства волка?

8. М% всех мужчин и N% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин одинаково.

9. Футболист бьет пенальти N раз. Вероятности забить при одном ударе – р. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2 мячей? Найти математическое ожидание и дисперсию.

10. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Хi	-3
Pi	P1	P2	P3	P4

Найти математическое ожидание МХ, дисперсию ДХ, вероятности Р (Х<0), P (X>0), P (-1<X<3).

Для случайной величины Y=2X+6 найти математическое ожидание MY, дисперсию ДY.

11. Количество Х принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – λ. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2 звонков? Найти математическое ожидание и дисперсию.

12. Функция плотности случайной величины Х имеет вид:

f(x)=	{	0 при X>0
nx при 0≤x≤√2/n
0 при x≥√2/n

Найти математическое ожидание, дисперсию, P (0<X<0,1).

13. Случайная величина Х – время ожидания дождя в сутках – имеет равномерное распределение на отрезке [0, N]. Найти математическое ожидание, дисперсию, P (X<5),

P (3<X).

14. Вероятность безотказной работы прибора в течение х часов равна . Найти математическое ожидание М – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов.

15. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,σ). a = MX, σ = √DX – среднеквадратичное отклонение. Найти P (X<1), P (-1<X<1), P (-5<X<5), P (- σ<X-а< σ), P (-2 σ <X-а<2 σ).