Понятие средней величины. Виды средних и их соотношение

Средняя величина – обобщающая количественная характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку. Характеризует величину изучаемого признака, приходящуюся на единицу совокупности.

Средняя гармоническая

Рассчитывается, когда изучаемые показатели связаны между собой как x и1/ x (показатели на единицу времени, сырья и т.д.).

Средняя гармоническая простая: .

Пример 6.4. Требуется вычислить среднюю производительность труда бригады из 3-х человек, если первому рабочему требуется для изготовления одной детали 1/4 часа, второму - 1/3 часа, третьему - 1/2 часа.

часа.

 

Средняя гармоническая взвешенная: .

Средняя геометрическая

Применяется, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин.

.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Пример 6.5. В результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за 2-й год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Т.е. за 2 года цена выросла в 6 раз. Какой средний темп роста цены за год?

Если считать по средней арифметической, то раза, тогда за два года выросла бы в 2,5 · 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз.

Средняя геометрическая дает правильный ответ: раза.

Средняя квадратическая

Применяется, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.

Средняя квадратическая простая:

.

Пример 6.6. Имеется 3 участка земельной площади со сторонами квадрата: x₁ = 100 м; x₂ = 200 м; x₃ = 300 м. Чему равна средняя площадь участков?

Общая площадь участков равна (100)² + (200)² + (300)² = 140000 м².

Если считать по средней арифметической, то м², тогда общая площадь равна 3 · (200)² = 120000 м², что неверно.

Средняя квадратическая дает правильный ответ:

м².

Средняя квадратическая взвешенная:

.

 

Средняя степенная

Обобщает все виды средних

.

Если k = -1, то это средняя гармоническая,

k = 0 – средняя геометрическая (после преобразований),

k = 1 – средняя арифметическая,

k = 2 – средняя квадратическая,

k = 3 – средняя кубическая.

Имеется следующее соотношение между формами средних величин:

или

.

Пользуясь этим правилом статистика может управлять средними.

Пример 6.7. Студент на экзамене получил за 1-й вопрос оценку 2, за 2-ой вопрос – 5.

балла.

балла.

балла.

Исходя из полученных средних можно как «завалить» студента, так и «вытянуть».

 

Понятие средней величины. Структурные характеристики.

 

Средняя величина – обобщающая количественная характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку. Характеризует величину изучаемого признака, приходящуюся на единицу совокупности.

Структурные характеристики

Если величина средней зависит от всех значений признака, встречаемых в данном распределении, то значение средней определяется структурой распределения, местом распределения.

Медиана – значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Медиана делит совокупность на две равные части.

Пример. Вес 7 телят: 75, 80, 83, 87, 92, 97, 101 кг.

Медиана равна 87 кг (половина телят имеет вес меньше 87 кг, а половина – больше 87 кг).

Вес 8 телят: 75, 80, 83, 87, 92, 97, 101, 105 кг.

Медиана равна (87+92)/2=89,5 кг.

 

Медиана в интервальном ряду рассчитывается следующим образом:

Сначала исчисляют порядковый номер медианы по формуле и строят ряд накопленных частот S_i=f_i+S_i-1 (S₁=f₁).

Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, соответствует медианный интервал. Медиана равна:

,

где x₀ – нижняя граница медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

f_i – частота i-го интервала;

S_ме-1 – сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному;

f_Me – частота медианного интервала.

Пример Имеются данные о заработной плате рабочих:

 

Месячная з/п, $	Количество рабочих, fi	Накопленные частоты, Si
до 800
800 – 1000
1000 – 1200
1200 – 1400
1400 и более
Итого		-

, следовательно, медианный интервал 1000-1200.

$ (половина рабочих имеет заработную плату ниже 1050$, а половина – выше 1050$).

Квартили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равные по числу единиц части.

Номер квартильного интервала рассчитывается аналогично медианному в соотношении ¼ к совокупности. 1-й квартиль равен:

,

x_Q1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%),

h – величина интервала,

f_Q1 – частота квартильного интервала,

S_Q1-1 – сумма накопленных частот в интервале, предшествующего квартильному.

2-й квартиль:

Q₂=Мe.

3-й квартиль:

,

обозначения аналогичны 1-му квартилю с изменением на номер интервала.

Пример. По данным примера 6.9.

, следовательно, 1-й квартильный интервал 800-1000.

$ (25% рабочих получает заработную плату ниже 900$).

, следовательно, 3-й квартильный интервал 1000-1200.

$ (25% рабочих получает заработную плату выше 1175$).

 

Децили – значения признака, делящие ранжированную совокупность на десять равных по числу единиц частей.

Вычисляются они по той же схеме, что и медиана, и квартили. Обычно рассчитывают только первый и девятый децили:

 

,

.

Пример. По данным примера 6.9.

, следовательно, 1-й децильный интервал до 800.

$ (10% рабочих получает заработную плату ниже 800$).

, следовательно, 9-й децильный интервал 1200-1400.

$ (10% рабочих получает заработную плату выше 1400$).

 

Децильный коэффициент . Широко применяется при изучении дифференциации доходов.

Пример. По данным примера 6.11.

(10% самых высокооплачиваемых работников получают зарплату в 1,75 раза больше 10% самых низкооплачиваемых работников).

 

Мода – значение признака, которое чаще других встречается в изучаемом ряду распределения.

Мода для дискретного ряда определяется как варианта, имеющая наибольшую частоту.

Для интервального ряда:

,

где x₀ –нижняя граница модального интервала,

d - величина модального интервала,

f_Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo - частота модального интервала,

f_Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Пример. По данным примера 6.9.

Модальный интервал с наибольшей частотой f_i = 4 равен 1000-1200.

$ (наибольшее число рабочих получает зарплату 1050$).

 

Показатели размера вариации

Вариация – изменение значения признака при переходе от одной единицы совокупности к другой.

Для измерения вариации используются следующие показатели.

1. Размах вариации – показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения

R=x_max-x_min,

где x_max – максимальное значение признака,

x_min – минимальное значение признака.

2. Среднее линейное отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются значения признака от его среднего значения.

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

,

где k – число групп.

3. Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

.

Дисперсия имеет большое значение в статистическом анализе. Однако ее не всегда удобно использовать, потому что размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. Поэтому рассчитывают среднее квадратическое отклонение.

4. Среднее квадратическое отклонение – показывает, на сколько в среднем отклоняются значения признака от его среднего значения (обладает лучшими свойствами, чем среднее линейное отклонение).

По несгруппированным данным

.

По сгруппированным данным

.

Выражается в тех же единицах измерения, что и признак.

5. Коэффициент вариации – показывает степень интенсивности вариации, однородность совокупности.

Совокупность считается однородной, если , где V_норм – нормативная величина коэффициента вариации (для разных совокупностей может колебаться от 1% до 30%).

6. Линейный коэффициент вариации – отношение среднего линейного отклонения к средней.

Пример. Распределение коров фермы по годовому удою молока.

 

Годовой удой молока от коровы, тыс. кг (xi)	Число коров, fi	Средняя величина признака	xi*fi
до 2		1,5		-1,3	5,2	1,69	6,76
2-3		2,5		-0,3	0,6	0,09	0,18
3-4		3,5		+0,7	1,4	0,49	0,98
4-5		4,5	4,5	+1,7	1,7	2,89	2,89
5 и более		5,5	5,5	+2,7	2,7	7,29	7,29
Итого					11,6		18,1

1) Средняя арифметическая тыс. кг.

2) Размах вариации R = 6 – 1 = 5 тыс. кг.

3) Среднее линейное отклонение тыс. кг.

4) Дисперсия тыс. кг².

5) Среднее квадратическое отклонение тыс. кг.

6) Коэффициент вариации - совокупность неоднородна.

7) Линейный коэффициент вариации .

 

Показатели вариации альтернативного признака.

Доля вариантов обладающих изучаемым признаком обозначается р, а доля вариантов не обладающих изучаемым признаком – q=1-p.

Средняя величина: .

Дисперсия: .

Пример. Совокупность новорождённых – 205 чел., девочки – 100 чел.

Доля девочек р = 100/205=0,488,

Доля мальчиков q = 105/205=0,512,

Дисперсия σ ² = 0,488*0,512= 0,2498