Способ вспомогательных плоскостей

Способ вспомогательных плоскостей применяется для построения линии пересечения таких пар поверхностей, которые пересекаются с семейством посредников по графически простым линиям (прямым и окружностям). Такие пары поверхностей составляют:

¨ две плоскости;

¨ плоскость и поверхность многогранника;

¨ две многогранные поверхности;

¨ плоскость и линейчатая поверхность;

¨ плоскость и поверхность вращения;

¨ две поверхности вращения с параллельными осями;

¨ две конические, коническая и цилиндрическая, две цилиндрические поверхности;

¨ две линейчатые поверхности с общей плоскостью параллелизма и некоторые другие пары поверхностей.

Некоторые примеры с плоскостями и гранными поверхностями мы рассмотрели ранее. Остановимся на примерах с криволинейными поверхностями.

Пример 1. Построить линию пересечения конической поверхности вращения Ф (i,m) со сферой D(O,r) (рис. 12.1).

Рис.12.1

Обе поверхности в качестве горизонталей со-держат семейства окружностей, поэтому в качестве посредника мы примем горизонтальные плоскости уровня Гi.

Экстремальные (выс-шая и низшая) точки А,В линии пересечения определяются проведением общей плоскости симметрии S(i,O) данных поверхностей. Точками видимости на П₂ будут эти же точки, так как они принадлежат очерковым линиям поверхности конуса и сферы на П₂. Точки видимости D₁,D¢₁ на П₁ определяются проведением посредника Г, проходящего через центр сферы. В этом случае плоскость Г пересекает сферу по окружности d, проекция d₁ которой на П₁ будет очерковой.

Случайные точки 1,1¢ и 2, 2¢ линии пересечения l определяются проведением горизонтальных плоскостей уровня Г¢ и Г¢¢: Г¢ÇF=q¢, G¢ÇD=d¢, q¢Çd¢=1,1¢; Г²ÇF=q², Г²ÇD=d², q²Çd²=2,2¢.

Так как общая плоскость симметрии S данных поверхностей параллельна П₂ то на П₂ видимая и невидимая ветви проекции l₂ линии пересечения совпадают. На П₁ проекция дуги DАD¢ линии пересечения видима, а проекция дуги D¢ВD - невидима; в точках D₁,D¢₁ горизонтальная проекция l₁ линии пересечения касается очерковой линии d₁ сферы.

Рис.12.2

Пример 2. Построить линию пересечения l отсеков конических поверхностей Ф(S,а), D(S¢,b), направляющие а, b которых принадлежат одной плоскости Г (рис. 12.2).

Задачу решим способом вращающейся плоскости. Этот способ применяется для построения линии пересечения двух конических, конической и цилиндрической, двух цилиндрических поверхностей. Способ состоит в том, что множество (пучек) плоскостей - посредников qⁱ проходящих, через вершины S,S¢ данных конических поверхностей Ф, D, пересекает последние по образующим. При этом прямая s=S È S¢ является осью пучка плоскостей - посредников. Очевидно, название способа связано с кинематическим образованием пучка плоскостей qⁱ, проходящих через фиксированную прямую s.

Порядок решения поставленной задачи будет следующим:

1. Строим прямую s=S È S¢ и находим точку М ее пересечение с плоскостью Г направляющих а,b данных конических поверхностей.

2. Находим экстремальные точки L¢(L¢₁,L¢₂) и L²(L²₁,L²₂) линии пересечения l(l₁,l₂). Для этого в плоскости Г через точку М проводим такие прямые m¢,m², которые проходили бы через концы дуги одной направляющей и пересекли бы вторую направляющую. В нашем случае А¢=m¢Ça, А²=m²Ça. Прямые m¢,m² (плоскости q¢(sÇm¢), q²(sÇm²)) задают пределы изменения положения посредника qⁱ. Плоскость q¢ пересекает коническую поверхность Ф по граничной образующей SА¢, а поверхность D- по образующей S¢В¢. Точка L¢=SА¢ÇS¢В¢ пересечения этих образующих определяет одну из экстремальных точек L¢. Аналогично определяется вторая экстремальная точка L².

3. Строим случайные точки линии пересечения. Для этого угол m¢₁M₁m²₁ делим на несколько частей прямыми mⁱ₁ (на рис. 12.2 показана одна из таких прямых m₁). Плоскость посредник q(sÇm) пересекает конические поверхности Ф,D соответственно по образующим SA(S₁A₁, S₂A₂), S¢B(S¢₁B₁, S¢₂,B₂), где A=qÇa(A₁=m₁Ça₁), B=qÇb(B₁=m₁Çb₁). Точка L(L₁,L₂) пересечения прямых SA,S¢B будет случайной точкой искомой линии l пересечения конических поверхностей Ф, D.

4. Определяем видимость на П₁ с помощью конкурирующих точек 1,2, а на П₂ - точек 3,4.

Способ сфер

Способ концентрических сфер

Использование сфер в качестве посредников возможно на том основании, что две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям (параллелям), проходящим через точки пересечения их меридианов. И поэтому сфера, центр которой принадлежит оси поверхности вращения, пересекается с последней также по окружностям.

Плоскости этих окружностей перпендикулярны оси поверхности вращения. Поэтому их проекции (одна или обе) будут графически простыми линиями лишь тогда, когда ось вращения будет проецирующей или линией уровня.

Способ концентрических сфер применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.

В этом случае оси данных поверхностей принадлежат общей плоскости симметрии и поэтому пересекаются в точке, которая и будет являться центром вспомогательных сфер с rⁱ.

Алгоритмы способа концентрических сфер рассмотрим на примере построения линии пересечения двух цилиндрических поверхностей вращения l(i,a) и D(j,b)(рис. 12.3).

Отмечаем точку О=iÇj - центр вспомогательных сфер - посредников Wⁱ. Поверхности W,D имеют общую плоскость

Рис.12.3

симметрии Ф||П₂, которая пересекает данные поверхности по очерковым линиям на П₂, точки пересечения А,В которых принадлежат искомой линии l. Точки А и В наиболее удалены от центра О, поэтому отрезок ОА или ОВ определяет r_max одной граничной сферы. Другая граничная сфера будет определяться r_min, ко-торый равняется радиусу окружности большего цилиндра. Эта сфера будет касаться по окружности поверхности D и пересекать l по окружности q. Полученные окружности пересекутся в точках C,D, которые являются также опорными. Случайные точки определятся построением сфер Wⁱ с радиусом rⁱ. Проекция кривой пересечения поверхностей на П₂ - l₂ будет получена плавным соединением построенных точек. На П₁ - l₁ совпадает с проекцией поверхности меньшего цилиндра l.

В силу параллельности плоскости симметрии Ф фронтальной плоскости проекций видимая и невидимая ветви фронтальной проекции l₂ линии пересечения l накладываются друг на друга. Поэтому на чертеже l₂ изображается линией видимого контура.

Способ эксцентрических сфер

Рис.12.4

Этот способ применяется для построения линии пересечения циклической поверхности с поверхностью вращения, если они имеют общую плоскость симметрии, которая должна быть плоскостью уровня.

Алгоритм предлагаемого способа рассмотрим на примере построения линии пересечения поверхности конуса вращения и торовой поверхности (рис. 12.4).

Экстремальные точки А,В линии пересечения будут определены как точки пересечения очерковых линий рассматриваемых поверхностей, которые расположены в плоскости симметрии Ф||П₂. Проекции точек А,В вначале обозначаем на П₂ (А₂,В₂), а затем на П₁(А₁,В₁).

Для построения случайных точек 1,1¢,2,2¢,3,3¢ проводим проекции фронтально проецирующих плоскостей S,S¢,S¢¢, как показано на рисунке. Поверхность тора будет пересекаться ими по окружностям t, t¢, t¢¢ с центрами, лежащими в месте пересечения плоскостей и осевой окружностью тора (1₀,2₀,3₀). Из отмеченных точек восстанавливаем перпендикуляры, которые пересекут осевую линию конуса в точках 0₁,0₂,0₃. Эти точки и являются центрами сферических поверхностей посредников, проведя которые через проекции окружностей тора t₂,t¢₂,t¢¢₃ на П₂, получим проекции окружностей - параллелей на конической поверхности (d₂,d¢₂,d¢¢₂). Соответствующие проекции окружностей тора и конуса пересекутся в точках 1₂º1¢₂, 2₂º2¢₂, 3₂º3¢₂. С помощью построенных параллелей конуса на П₁ найдем проекции случайных точек 1₁,1¢₁,2₁,2¢₁,3₁,3¢₁.

Выполнив обводку проекции линии пересечения l(l₂) на П₂, находим точки видимости С, D с помощью параллели конуса q, диаметр окружности которой равен диаметру образующей окружности тора. С₂ÙD₂=l₂Çq₂. С_1,D₁ расположены на П₁ на очерковой линии тора. Эти точки будут разделять видимую и невидимую часть проекции линии пересечения l(l₁) на П₁.

Вопросы для самопроверки к лекции 12:

1. В чем сущность и порядок решения второй основной позиционной задачи?

2. В каких случаях можно применить способ вспомогательных секущих плоскостей?

3. Когда можно применить способ концентрических и когда способ эксцентрических сфер?

ЛЕКЦИЯ 13

РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

13.1. Основные понятия и определения

Если абстрактную математическую поверхность представить в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, то некоторые из поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок. Поверхности, обладающие этим свойством, называется развертывающимися, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой.

Построение разверток представляет важную техническую задачу, так как множество изделий различных отраслей промышленности изготавливаются из листового материала путем изгибания. Это - обшивки самолетов и судов, всевозможные резервуары и трубопроводы, техническое оборудование сельскохозяйственного производства, изделия швейной и кожевенной промышленности и т.д.

Одним из основных этапов проектирования таких изделий является построение разверток. С целью упрощения изготовления изделий со всевозможными отверстиями, проемами, окнами и т.п. предварительно с большой точностью выполняют их развертку с тем, чтобы после гибки получить готовые изделия, удовлетворяющие всем исходным требованиям.

Представление поверхности в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки достаточно наглядно, но оно не позволяет исследовать необходимые и достаточные условия развертываемости поверхностей и свойства их разверток. Знания этих условий и свойств необходимо для разработки алгоритмов построения разверток поверхностей и решения соответствующих задач. Поэтому данную поверхность и ее развертку следует рассматривать как точечные множества, между которыми устанавливается взаимнооднозначное соответствие: каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот. На основании этого формулируются следующие свойства:

1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой, следствием чего является: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.

3. Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке.

4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке.

В дифференциальной геометрии показывается, что к развертывающимся криволинейным поверхностям относятся только поверхности нулевой кривизны. Эти поверхности составляют подмножество линейчатых поверхностей, для которых касательная плоскость, построенная в какой-либо точке поверхности, касается ее во всех точках прямолинейной образующей, проходящей через эту точку. Иными словами, у развертывающихся (линейчатых) поверхностей касательные плоскости, проведенные во всех точках одной образующей, совпадают.

Указанным признаком развертываемости на плоскость обладают лишь три группы линейчатых поверхностей: цилиндрические, конические и торсовые.

Для этих поверхностей строятся приближенные развертки, ибо они в процессе построения развертки заменяются (аппроксимируются) вписанными или описанными многогранниками. Точные развертки аппроксимирующих многогранных поверхностей принимаются за приближенные развертки развертываемых поверхностей.

Хотя все остальные поверхности теоретически не развертываются на плоскость, но инженерная практика тем не менее требует построения их разверток. Для этих поверхностей строятся так называемые условные развертки.